Квадратные корни и преобразование выражений: закрепление способов решения
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске с определением арифметического квадратного корня, свойствами корней и алгоритмом решения $x^{2}=a$.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки с ошибочными решениями для работы в парах — по одной на пару.
- Подготовить листы самооценки с пунктами «нахожу корень», «решаю уравнение», «применяю свойства», «проверяю ответ».
- Вывести на экран таблицу случаев решения уравнения $x^{2}=a$: $a>0$, $a=0$, $a<0$.
- Подготовить маркеры, небольшие листы для приёма «Билет на выход» и таймер.
- Организовать на доске место для эталона преобразования выражения $[31m\sqrt{72}-2\sqrt{8}$.
- Подготовить калькуляторы только для этапа проверки, если это допускается правилами класса; основное решение выполнять без них.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу, обозначить практическую значимость точных преобразований и настроить на закрепление способов действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и предлагает приём «Светофор»: "Покажите карточку зелёного, жёлтого или красного цвета в зависимости от того, насколько уверенно вы работаете с квадратными корнями. Сегодня мы не сравниваем вас друг с другом, а определяем личную точку старта." | Показывают цветную карточку и мысленно формулируют, какое действие вызывает затруднение. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражения $[31m\sqrt{49}$, $x^{2}=49$ и $[31m\sqrt{18}+\sqrt{8}$. "Перед нами три похожие записи, но решаются они по-разному. Сегодня наша задача — не просто получить ответ, а выбрать правильный способ и объяснить каждый шаг." | Называют предполагаемые действия: «найти корень», «решить уравнение», «преобразовать сумму корней»; формулируют личную цель урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили, какие действия уже выполняем уверенно, а какие требуют тренировки. Сейчас быстро восстановим необходимые правила и найдём место возможной ошибки."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения, свойства квадратных корней и случаи решения уравнения $x^{2}=a$.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Запишите определение арифметического квадратного корня и два обязательных условия для числа под знаком корня. Сначала подумайте самостоятельно, затем сравните формулировки с соседом." | Записывают определение, обсуждают в парах и формулируют: «$[31m\sqrt{a}$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $a$; $a\geq0$». |
2 мин | Учитель показывает таблицу и спрашивает: "Как решается уравнение $x^{2}=a$, если $a>0$? Что происходит при $a=0$ и при $a<0$? Почему в первом случае появляются два корня?" | Заполняют пропуски в таблице: при $a>0$ $x=\pm\sqrt{a}$; при $a=0$ $x=0$; при $a<0$ действительных корней нет. Объясняют появление двух противоположных чисел. |
2 мин | Учитель записывает выражения $[31m\sqrt{12}$, $[31m\sqrt{25\cdot4}$ и $[31m\sqrt{50}/\sqrt{2}$. "Назовите свойство, которое можно применить, и укажите, какие ограничения нужно проверить." | Устно преобразуют выражения: $[31m\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, $[31m\sqrt{25\cdot4}=10$, $[31m\sqrt{50}/\sqrt{2}=\sqrt{25}=5$; называют условие неотрицательности подкоренных выражений и ненулевой знаменатель. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают краткую памятку: $[31m\sqrt{a}\geq0$ при $a\geq0$; $[31m(\sqrt{a})^{2}=a$; $[31m\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$; $[31m\sqrt{a^{2}}=|a|$; при $a>0$ уравнение $x^{2}=a$ имеет корни $x=\pm\sqrt{a}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили определения и увидели, что знак «плюс-минус» относится к решению уравнения, а не к арифметическому корню. Теперь проверим это различие на проблемном примере."
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (5 мин)
Цель этапа: обнаружить типичные ошибки и совместно сформулировать алгоритм их предупреждения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки с решениями: 1) $[31m\sqrt{(-5)^{2}}=-5$; 2) для $x^{2}=16$ найден единственный корень $x=4$; 3) $[31m\sqrt{12}+\sqrt{3}=\sqrt{15}$. "Работайте в режиме математического детектива: найдите ошибку, назовите нарушенное правило и исправьте запись. Не достаточно сказать «неверно» — нужна аргументация." | В парах выделяют ошибочные шаги и исправляют: $[31m\sqrt{(-5)^{2}}=5$; $x=\pm4$; сумму корней нельзя объединить в $[31m\sqrt{15}$, но $[31m\sqrt{12}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$. |
2 мин | Учитель собирает ответы и спрашивает: "Какие вопросы нужно задать себе перед каждым преобразованием? Составим алгоритм проверки." На доске фиксирует пункты: определить тип задания, проверить условия, выбрать свойство, выполнить преобразование, проверить результат. | Формулируют алгоритм и записывают его: «Что требуется найти? Допустимо ли действие? Какое свойство применить? Можно ли упростить ответ?». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Причины ошибок мы нашли: смешение корня и корней уравнения, потеря модуля и неверное сложение радикалов. Теперь применим алгоритм сначала вместе, затем самостоятельно."
Этап 4. Систематизация способов действий (8 мин)
Цель этапа: систематизировать способы решения на комплексном примере и подготовить учащихся к самостоятельной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает задачу: "Упростите выражение $[31m\sqrt{72}-2\sqrt{8}+\sqrt{18}$. Сначала определите, какие корни можно вынести, затем приведите подобные слагаемые." Учитель задаёт вопросы: "Как разложить 72, 8 и 18 на квадратный множитель и оставшуюся часть? Какие слагаемые станут подобными?" | Предлагают разложения $72=36\cdot2$, $8=4\cdot2$, $18=9\cdot2$; записывают преобразование и проговаривают каждый шаг. |
2 мин | Учитель предлагает парную проверку: "Сравните записи. Если результат отличается, не стирайте решение, а отметьте шаг расхождения и объясните партнёру причину." | Сверяют решения, находят общий множитель $[31m\sqrt{2}$ и исправляют вычислительные ошибки. |
2 мин | Учитель предлагает второй пример: "Решите уравнение $x^{2}-25=0$. Объясните, почему нельзя записать только $x=5$." | Преобразуют уравнение: $x^{2}=25$, затем записывают $x=\pm5$ и выполняют проверку подстановкой. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Эталон решения
$[31m\sqrt{72}-2\sqrt{8}+\sqrt{18}=\sqrt{36\cdot2}-2\sqrt{4\cdot2}+\sqrt{9\cdot2}=6\sqrt{2}-4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$. Для уравнения: $x^{2}-25=0$; $x^{2}=25$; $x=\pm\sqrt{25}$; $x=\pm5$. Проверка: $5^{2}=25$ и $(-5)^{2}=25$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что разные задания требуют разных алгоритмов: корень упрощаем разложением подкоренного выражения, а уравнение решаем с учётом всех возможных знаков. Переходим к закреплению, где каждый выберет удобный темп работы."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить применение определений и свойств квадратных корней через задания с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с заданиями: «Вычислите $[31m\sqrt{81}$ и $[31m\sqrt{0{,}64}$; решите $x^{2}=36$; упростите $[31m\sqrt{48}$.» "Первый ученик решает, второй после каждого шага задаёт вопрос: какое правило применено? Затем поменяйтесь ролями." | Выполняют три задания в парах, проговаривают: $[31m\sqrt{81}=9$, $[31m\sqrt{0{,}64}=0{,}8$, $x=\pm6$, $[31m\sqrt{48}=4\sqrt{3}$. |
2 мин | Учитель показывает на экране четыре ответа и просит поднять карточку «верно» или «ошибка»: $\sqrt{36}=\pm6$; $[31m\sqrt{a^{2}}=a$; $[31m\sqrt{27}=3\sqrt{3}$; уравнение $x^{2}=-9$ имеет корни $x=\pm3$. | Отмечают: первое, второе и четвёртое утверждения ошибочны; объясняют, что $[31m\sqrt{36}=6$, $[31m\sqrt{a^{2}}=|a|$, а $x^{2}=-9$ не имеет действительных корней. |
2 мин | Учитель предлагает короткое задание с выбором: "Выберите одно выражение: $[31m\sqrt{75}-\sqrt{12}$ или $[31m\sqrt{2}(\sqrt{8}+\sqrt{18})$. Объясните решение соседу." | Самостоятельно выбирают выражение, преобразуют его и объясняют партнёру: первый результат $3\sqrt{3}$, второй результат $10$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили не только вычисления, но и понимание правил. Сейчас каждый выполнит работу самостоятельно, чтобы увидеть свой личный результат без подсказок партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (11 мин)
Цель этапа: проверить самостоятельное применение всех изученных способов и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет критерии: "Выберите базовый, средний или повышенный уровень. Базовый обязателен для всех, а следующий уровень можно выбрать при готовности. Записывайте преобразования полностью: по ним будет виден способ." | Выбирают уровень, записывают в тетради номер уровня и начинают работу индивидуально. |
7 мин | Учитель раздаёт карточки. Базовый уровень: вычислить $[31m\sqrt{144}$ и $[31m\sqrt{2{,}25}$; решить $x^{2}=49$; упростить $[31m\sqrt{20}$. Средний уровень: решить $3x^{2}=75$; упростить $[31m\sqrt{108}-2\sqrt{27}$. Повышенный уровень: найти значение $[31m\frac{\sqrt{48}+\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$ и объяснить допустимость преобразований. Учитель наблюдает, задаёт индивидуальные вопросы без сообщения готового ответа. | Выполняют выбранные задания с полной записью решения, отмечают место затруднения условным знаком и при необходимости формулируют вопрос учителю. |
3 мин | Учитель открывает эталон на экране: «Сначала сравните ответы, затем проверьте два наиболее важных шага. Если нашли ошибку, зачеркните только неверный переход и запишите исправление рядом». | Проводят самопроверку, подсчитывают количество верных заданий, исправляют ошибки и заполняют лист самооценки. |
Эталон решения
Базовый уровень: $[31m\sqrt{144}=12$, $[31m\sqrt{2{,}25}=1{,}5$, $x^{2}=49\Rightarrow x=\pm7$, $[31m\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Средний уровень: $3x^{2}=75\Rightarrow x^{2}=25\Rightarrow x=\pm5$; $[31m\sqrt{108}-2\sqrt{27}=6\sqrt{3}-6\sqrt{3}=0$. Повышенный уровень: $[31m\frac{\sqrt{48}+\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}+5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=9$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какой способ уже стал устойчивым, а какой нужно ещё потренировать. Ошибка — это не итог, а указатель на конкретный шаг, который следует повторить. Завершим урок фиксацией главных выводов."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, определить индивидуальное затруднение и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "На отдельном листке завершите три фразы: «Арифметический корень…», «В уравнении $x^{2}=a$ я не забываю…», «При преобразовании выражения я сначала…»." | Письменно завершают фразы: «корень неотрицателен», «учитываю два противоположных корня при $a>0$», «выделяю квадратный множитель и проверяю допустимость». |
2 мин | Учитель предлагает оценить достижение цели: "Поставьте себе знак плюс напротив действия, которое выполняете уверенно, и вопрос напротив действия, которое нужно повторить. Выберите домашний уровень не по желанию получить более высокую оценку, а по честной оценке готовности." | Заполняют лист самооценки, называют одно освоенное действие и одну трудность. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и напоминает контрольные вопросы: "Перед выходом ответьте себе: чем корень отличается от корней уравнения? Когда появляется модуль? Почему нельзя складывать подкоренные выражения при сложении корней?" | Записывают выбранный уровень задания и устно отвечают на контрольные вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы закрепили полный маршрут работы с квадратными корнями: распознать задание, выбрать свойство, выполнить преобразование и проверить ответ. На следующем уроке мы будем применять эти навыки в более сложных выражениях и задачах, где потребуется несколько последовательных преобразований."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, преобразования записаны последовательно, правильно применены свойства корней, решение уравнения содержит все допустимые корни и выполнена проверка.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на выбор основного способа.
- «3» — выполнено не менее 60% заданий, определение и алгоритм в целом поняты, но допущены ошибки при вынесении множителя из-под корня или при записи корней уравнения.
- Ниже отметки «3» — менее 60% верных заданий либо отсутствие обоснованной записи решения; требуется повторная работа по индивидуальному затруднению.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Чем арифметический квадратный корень отличается от корней уравнения $x^{2}=a$? | Проверка понимания различия между значением корня и решениями уравнения. |
Какое свойство квадратных корней вы сегодня применяли чаще всего? | Выявление осознанности выбора способа преобразования. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме решения. |
Какой уровень домашнего задания соответствует вашей готовности и почему? | Формирование самооценки и ответственности за выбор. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы собрали в единую систему четыре важных действия: нашли арифметический корень, решили уравнение, применили свойства и преобразовали выражение. Особенно внимательно следите за двумя типичными ошибками: не ставьте знак «плюс-минус» перед арифметическим корнем и не забывайте модуль в записи $[31m\sqrt{a^{2}}=|a|$. Если ошибка появилась, ищите конкретный неверный переход и исправляйте его. На следующем уроке используем эти навыки в более сложных цепочках преобразований."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: вычислить два арифметических квадратных корня, решить одно уравнение вида $x^{2}=a$ и упростить одно выражение с вынесением множителя из-под знака корня. | Закрепляет базовые алгоритмы; при проверке обратить внимание на знак корня, полный ответ уравнения и последовательность преобразований. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 заданий: решить два уравнения, включая уравнение, предварительно приводимое к виду $x^{2}=a$, и преобразовать три числовых выражения с произведением, частным или суммой квадратных корней. | Развивает перенос свойств корней в новые ситуации; при проверке контролировать допустимость деления и приведение подобных радикалов. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственный мини-набор из 3 заданий: одно с параметром знака $a$ в уравнении $x^{2}=a$, одно на поиск ошибки и одно на многошаговое преобразование выражения с корнями; к каждому дать краткое объяснение выбора способа. | Формирует умение создавать математические задания, анализировать ошибки и аргументировать рациональность решения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Почему $[31m\sqrt{36}=6$, а уравнение $x^{2}=36$ имеет два корня?», «В каком случае $[31m\sqrt{a^{2}}=|a|$?», «Как разложить подкоренное число, чтобы вынести множитель из-под знака корня?», «Почему выражение под знаком корня должно быть неотрицательным?»
