Квадратный трёхчлен и его корни
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать квадратный трёхчлен, находить его корни разложением на множители и проверять результат подстановкой за отведённое время.
- Сформировать представление о квадратном трёхчлене вида $ax^2+bx+c$, где $a\ne0$, и его корнях.
- Научиться связывать корни квадратного трёхчлена с разложением выражения на множители.
- Развивать умение анализировать выражение, выбирать способ решения и объяснять последовательность действий.
- Воспитывать ответственность за запись решения, готовность проверять результат и уважительно обсуждать разные способы рассуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность алгебраических моделей для описания зависимостей и решения задач.
- Проявляют познавательный интерес к поиску закономерности между корнями уравнения и множителями многочлена.
- Развивают самостоятельность при выборе уровня задания и способа проверки.
- Формируют ответственное отношение к математической записи и аргументации ответа.
Метапредметные
- Извлекают из текста учебника определение и алгоритм, выделяют существенные признаки.
- Планируют решение, сопоставляют полученный результат с условием и исправляют ошибки.
- Формулируют гипотезу, проверяют её на конкретных примерах и делают вывод.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбранный способ решения.
Предметные
- Знать определение квадратного трёхчлена и понятие его корня.
- Уметь находить корни трёхчлена вида $x^2+bx+c$ подбором разложения на множители.
- Уметь проверять найденные корни подстановкой в трёхчлен.
- Уметь записывать разложение квадратного трёхчлена на множители по его корням.
- Различать квадратный трёхчлен и выражения, не являющиеся квадратными трёхчленами.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к работе с квадратными выражениями.
- Осознают смысл изучения нового способа как инструмента решения уравнений.
- Проявляют инициативу при выборе базового или повышенного задания.
- Оценивают собственный прогресс без сравнения себя с одноклассниками.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе возникшего затруднения.
- Составляют последовательность действий для нахождения корней.
- Осуществляют самопроверку разложения и подстановки.
- Фиксируют ошибку и выбирают способ её исправления.
Познавательные УУД
- Выделяют коэффициенты $a$, $b$, $c$ в записи квадратного трёхчлена.
- Сравнивают несколько выражений и классифицируют их по существенным признакам.
- Устанавливают связь между произведением множителей и корнями трёхчлена.
- Строят простую математическую модель: $x^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)$.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему выбранное разложение является верным.
- Формулируют вопросы о знаках и порядке множителей.
- Сравнивают решения без перехода на оценку личности.
- Участвуют в обсуждении, принимая обоснованные предложения одноклассников.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску с заготовкой: $ax^2+bx+c$, $a\ne0$, и таблицей для коэффициентов $a$, $b$, $c$.
- Подготовить слайд или карточку с выражениями $x^2-5x+6$, $2x^2+3x-2$, $4x+1$, $x^3-x+2$ для классификации.
- Распечатать карточки трёх уровней: минимальный — 2 задания, базовый — 3 задания, повышенный — 2 задания; по одной карточке на каждого ученика.
- Распечатать по одному листу самопроверки на каждого ученика с эталонами разложений.
- Подготовить цветные стикеры или карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор».
- Вывести на экран алгоритм: определить вид трёхчлена; подобрать числа; записать множители; проверить подстановкой.
- Организовать работу с текстом учебника по теме: ученики используют определение и разобранный пример из своего учебника без указания страниц.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры и таймер на 2–4 минуты.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать, что новое понятие помогает быстро решать квадратные уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, учебник и карточка для работы должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не просто выполнять действия по образцу, а сами выясним, как квадратный трёхчлен связан с его корнями. В конце урока каждый выберет задание по силам и проверит себя." | Проверяют готовность, записывают дату и оставляют свободное место для темы урока. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражение $x^2-5x+6$ и обращается к классу: "Представьте, что это выражение появилось при решении квадратного уравнения. Как можно понять, при каких значениях $x$ оно обращается в ноль? Подумайте сначала самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом. Назовите не только ответ, но и способ рассуждения." | Самостоятельно предлагают значения $x=2$ и $x=3$, обсуждают их в парах и формулируют: "$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, поэтому нули выражения — 2 и 3". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже увидели закономерность: выражение можно представить в виде произведения, а затем найти значения, при которых произведение равно нулю. Теперь проверим, какие знания нам понадобятся и что именно предстоит открыть."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о многочленах, разложении на множители и нулевом произведении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает четыре записи и говорит: "Рассмотрите выражения на доске: $x^2-5x+6$, $2x^2+3x-2$, $4x+1$, $x^3-x+2$. Приём называется «Сортировка». Определите, какие записи являются квадратными трёхчленами, и объясните решение через признаки, а не только по внешнему виду." | Заполняют в тетради две группы. Отвечают: "$x^2-5x+6$ и $2x^2+3x-2$ — квадратные трёхчлены; $4x+1$ — двучлен, а $x^3-x+2$ — многочлен третьей степени". |
3 мин | Учитель предлагает устно восстановить правила: "Что означает разложить многочлен на множители? Когда произведение равно нулю? Как раскрыть скобки в выражении $(x-2)(x-3)$? Давайте проговорим каждое действие и сразу проверим его на нашем примере." | Формулируют ответы: "Разложить — представить в виде произведения"; "Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю"; раскрывают скобки и получают $x^2-5x+6$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили признаки трёхчлена, раскрытие скобок и правило нулевого произведения. Но пока не сформулировали общий способ: как по записи $ax^2+bx+c$ находить корни и как убедиться, что разложение выполнено правильно. Это и будет нашей задачей."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и построить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает $x^2+7x+12$ и говорит: "Попробуйте найти такие два числа, которые в сумме дают 7, а в произведении — 12. Почему именно эти два условия могут помочь разложить трёхчлен? Обсудите гипотезу в паре. Если возникнут разные варианты, сравните их раскрытием скобок." | Подбирают числа 3 и 4, формулируют гипотезу: "$x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$, потому что $3+4=7$, а $3\cdot4=12$". |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какую цель поставим на урок? Какие шаги приведут нас к результату? Запишем общий план: распознать трёхчлен, подобрать числа, записать множители, найти корни и выполнить проверку." | Записывают тему «Квадратный трёхчлен и его корни», формулируют цель: "Научиться находить корни квадратного трёхчлена через разложение на множители". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Гипотеза появилась, но её нужно проверить на нескольких выражениях и оформить как правило. Переходим к работе с учебником и открываем алгоритм самостоятельно."
Этап 4. Открытие нового знания по учебнику (8 мин)
Цель этапа: вывести способ нахождения корней квадратного трёхчлена вида $x^2+bx+c$.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Откройте учебник на теме урока и найдите определение квадратного трёхчлена и пример его разложения. Читайте с пометками: галочкой отметьте уже известное, знаком плюс — новое, вопросом — непонятное. Особое внимание обратите на связь коэффициентов и выбранных чисел." | Читают определение и пример, делают пометки, выписывают непонятные места. В парах сравнивают понимание терминов «квадратный трёхчлен» и «корень». |
3 мин | Учитель разбирает на доске пример $x^2-8x+15$: "Нам нужны два числа. Их сумма должна быть равна коэффициенту при $x$, то есть $-8$, а произведение — свободному члену 15. Это числа $-3$ и $-5$. Поэтому записываем $x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$. Теперь приравниваем каждый множитель к нулю. Какие значения получаем?" | Записывают разложение, отвечают: "$x-3=0$, значит $x=3$; $x-5=0$, значит $x=5$". |
2 мин | Учитель предлагает проверить открытие: "Подставьте найденные значения в исходный трёхчлен. Если при $x=3$ и при $x=5$ получается ноль, корни найдены верно. Сформулируйте алгоритм четырьмя шагами." | Выполняют подстановку, получают ноль, формулируют алгоритм: подобрать числа; разложить на множители; приравнять множители к нулю; проверить корни. |
Запись в тетрадях
Квадратный трёхчлен — выражение вида $ax^2+bx+c$, где $a\ne0$. Корень квадратного трёхчлена — значение переменной, при котором трёхчлен равен нулю. Для трёхчлена $x^2+bx+c$, если числа $x_1$ и $x_2$ имеют сумму $b$ и произведение $c$, то $x^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)$, а его корни равны $x_1$ и $x_2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили общий алгоритм и проверили его на примере. Теперь применим его вместе, проговаривая каждый шаг, чтобы способ стал устойчивым."
Этап 5. Первичное закрепление (6 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на заданиях с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задание: "Решим вместе трёхчлен $x^2+2x-15$. Сначала назовите требования к двум числам: чему равна их сумма и чему равно произведение? Затем один ученик предложит пару, а класс проверит её раскрытием скобок." | Называют сумму 2 и произведение $-15$, подбирают числа 5 и $-3$, записывают $x^2+2x-15=(x+5)(x-3)$, находят корни $x=-5$ и $x=3$. |
3 мин | Учитель раздаёт карточки с двумя заданиями: $x^2-9x+20$ и $x^2+x-12$. Говорит: "Работайте в парах. Один ученик подбирает числа и объясняет, второй записывает решение и проверяет подстановкой, затем поменяйтесь ролями. На карточке отметьте место, где возникло сомнение." | Выполняют разложения: $x^2-9x+20=(x-4)(x-5)$, корни 4 и 5; $x^2+x-12=(x+4)(x-3)$, корни $-4$ и 3. Проверяют оба корня подстановкой. |
Эталон решения
Для $x^2+x-12$: нужны числа с суммой 1 и произведением $-12$: 4 и $-3$. Поэтому $x^2+x-12=(x+4)(x-3)$. Далее $x+4=0$ или $x-3=0$, откуда $x_1=-4$, $x_2=3$. Проверка: $16-4-12=0$ и $9+3-12=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы потренировались не только получать ответ, но и объяснять, откуда взялись числа. Теперь каждый выполнит самостоятельное задание и выберет уровень сложности."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и организовать самопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточках три уровня. Минимальный уровень подойдёт, если вам нужно ещё раз закрепить сам алгоритм; базовый покажет уверенное владение способом; повышенный потребует анализа и самостоятельного обоснования. Выберите уровень честно, ориентируясь на цель научиться, а не на отметку." | Выбирают карточку, записывают выбранный уровень в верхней части листа. |
5 мин | Учитель напоминает: "В каждом решении обязательно покажите подбор чисел, разложение и корни. Не стирайте промежуточные рассуждения: по ним мы увидим, где возникла ошибка. Минимальный уровень: разложите $x^2-7x+10$ и $x^2+6x+8$. Базовый: дополнительно разложите $x^2-2x-15$. Повышенный: найдите все значения $p$, при которых $x^2+px+12$ имеет корень $-3$, и найдите второй корень." | Решают выбранные задания индивидуально, оформляют три обязательных шага и проверку хотя бы одного корня. |
3 мин | Учитель выводит эталон: $x^2-7x+10=(x-5)(x-2)$; $x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$; $x^2-2x-15=(x-5)(x+3)$. Для повышенного задания предлагает: "Сначала подставьте известный корень в трёхчлен, затем найдите параметр и второй корень." | Сверяют решения, отмечают ошибки условными знаками, исправляют неверные знаки. Для повышенного задания получают $9-3p+12=0$, $p=7$, затем сумма корней равна $-7$, поэтому второй корень равен $-4$. |
Эталон решения
В повышенном задании: если $x=-3$ — корень трёхчлена $x^2+px+12$, то $(-3)^2+p(-3)+12=0$, то есть $9-3p+12=0$. Получаем $21-3p=0$, $p=7$. Трёхчлен имеет вид $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$, поэтому второй корень равен $-4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм можно применять на разных уровнях. Осталось определить, что уже стало понятным, а какой шаг требует дополнительной тренировки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действий, выявить затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если вы можете по трёхчлену подобрать числа и выполнить проверку; жёлтую — если алгоритм понятен, но ошибаетесь в знаках; красную — если нужна совместная тренировка. Объясните соседу по парте один шаг, который сегодня стал понятнее." | Поднимают карточки, называют конкретное затруднение: "Путаю знаки при отрицательном произведении" или "Не забываю проверять корни". |
1 мин | Учитель раздаёт мини-билет на выход: "Запишите ответ на два вопроса: что называют корнем квадратного трёхчлена и как разложить $x^2-6x+8$? Сдайте билет при выходе." | Пишут: корень обращает трёхчлен в ноль; $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$, корни 2 и 4. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень из таблицы. Перед уходом проверьте, что в записи есть подбор чисел, разложение и ответ. На следующем уроке начнём с разбора типичных ошибок в знаках." | Записывают выбранный уровень домашнего задания и контрольные вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания выбранного уровня, корректно подобраны числа, записано разложение, указаны корни и выполнена проверка; в повышенном задании обосновано значение параметра.
- "4" — верно выполнены основные задания, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, исправленная при самопроверке.
- "3" — верно выполнено не менее двух базовых разложений, но есть ошибки в подборе чисел, знаках или записи корней; алгоритм в целом воспроизведён.
- Ниже базового уровня — учитель фиксирует конкретный шаг затруднения и предлагает повторить алгоритм на одном аналогичном выражении.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называют корнем квадратного трёхчлена? | Проверка осознания ключевого определения. |
Какие два условия помогают подобрать множители для $x^2+bx+c$? | Выявление понимания связи суммы и произведения чисел с коэффициентами. |
На каком шаге решения вы чаще всего ошибались? | Выявление точек затруднения в алгоритме и знаках. |
Какой уровень задания вы выбрали и почему? | Оценка самостоятельности и адекватности самооценки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили связь между квадратным трёхчленом и его корнями: сначала подбираем два числа, затем раскладываем выражение на множители и используем правило нулевого произведения. Самая частая ошибка — неверно определить знаки при подборе чисел, поэтому обязательно проверяйте сумму и произведение. Вы уже умеете находить корни простых квадратных трёхчленов и объяснять ход решения. На следующем уроке мы продолжим работу с квадратными уравнениями и сравним этот способ с другими методами."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 квадратных трёхчлена вида $x^2+bx+c$: разложить каждый на множители, найти корни и проверить один корень подстановкой. | Закрепляет распознавание трёхчлена, подбор чисел и правильную запись корней; при проверке смотреть на знаки и наличие проверки. |
Средний (повышающий) | Решить 5 выражений, включая трёхчлены с отрицательным свободным членом и отрицательным коэффициентом при $x$; для каждого записать сумму и произведение подобранных чисел. | Развивает устойчивое применение алгоритма в разных случаях; при проверке оценивать обоснованность подбора и раскрытие скобок. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить три квадратных трёхчлена с заданными корнями, например $2$ и $-5$, $-1$ и $-6$, $3$ и $4$, записать разложения и объяснить связь корней с коэффициентами. | Формирует умение создавать математическую модель и переходить от корней к выражению; при проверке смотреть на правильность знаков и самостоятельность объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Какой вид имеет квадратный трёхчлен? Что означает, что число является его корнем? Какие числа нужно подобрать для разложения $x^2+bx+c$? Как проверить полученный ответ?"
