Стандартный вид числа
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться записывать положительные числа в стандартном виде $a\cdot10^n$, где $1\leq a<10$, определять порядок числа и применять запись при решении практических задач.
- Познакомить учащихся с формой записи очень больших и очень малых чисел через произведение числа от 1 до 10 на степень десяти.
- Сформировать умение переводить числа из обычной записи в стандартный вид и обратно, объясняя положение десятичной запятой.
- Развивать умение выбирать уровень задания, работать в паре, проверять решение по критериям и аргументировать способ преобразования.
- Показать применение стандартного вида числа в физике, географии, биологии и информатике.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность компактной записи чисел, встречающихся в науке и повседневной жизни.
- Проявляют интерес к применению математического языка в естественно-научных и технических профессиях.
- Принимают ответственность за выбор уровня задания и результат индивидуальной работы.
- Формируют уважительное отношение к мнению партнёра при обсуждении разных способов решения.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки стандартного вида числа и формулируют алгоритм преобразования.
- Планируют последовательность действий, осуществляют самопроверку и исправляют ошибки.
- Извлекают информацию из таблицы и текста практической задачи.
- Сотрудничают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбранный способ.
Предметные
- Знать определение стандартного вида числа $a\cdot10^n$, где $1\leq a<10$, а $n$ — целое число.
- Уметь записывать большие и малые положительные числа в стандартном виде.
- Уметь переводить запись $a\cdot10^n$ в десятичную форму.
- Уметь определять порядок числа и проверять правильность коэффициента $a$.
- Уметь применять стандартный вид числа при работе с величинами из физики, биологии и географии.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат на урок и соотносят его с выполненной работой.
- Осознают значение точности записи чисел для научных расчётов.
- Проявляют готовность спокойно анализировать ошибку и использовать её для улучшения результата.
- Выбирают посильный, а затем более сложный уровень задания.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель после выявления затруднения.
- Планируют действия по перемещению десятичной запятой и определению показателя степени.
- Проверяют, соответствует ли коэффициент условию $1\leq a<10$.
- Оценивают работу по предложенным критериям и корректируют решение.
Познавательные УУД
- Сравнивают обычную и стандартную записи одного числа.
- Устанавливают связь между направлением перемещения запятой и знаком показателя степени.
- Моделируют преобразование числа с помощью таблицы разрядов.
- Анализируют ошибки в готовых решениях и формулируют правило.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре и распределяют роли «решающий» и «проверяющий».
- Формулируют полный устный ответ с использованием математических терминов.
- Задают партнёру вопросы о количестве перемещений запятой.
- Согласуют общий вариант ответа и уважительно объясняют расхождения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с примерами: 4500000, 0,000072, 3,2·10^5 и 7,1·10^-4.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки для парной работы с величинами из физики, географии и биологии — по одной на парту.
- Распечатать лист самооценки и критерии оценивания самостоятельной работы — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Вывесить на доске памятку: «1. Перенеси запятую. 2. Посчитай шаги. 3. Запиши степень десяти. 4. Проверь $1\leq a<10$.»
- Подготовить цветные маркеры или магниты для фиксации ответов проблемного диалога.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и индивидуальной работы.
- Организовать на доске таблицу «Обычная запись — Стандартный вид — Объяснение».
- Подготовить калькуляторы или разрешить их использование только на межпредметном этапе для проверки порядка величины.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость компактной записи чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня вы сможете выбрать уровень практических заданий и сами проверить качество решения. На доске записаны два числа: 150000000 и 0,0000000016. Как вы думаете, удобно ли постоянно работать с такой записью?" | Проверяют готовность, рассматривают числа, высказывают предположения: "Запись длинная", "легко ошибиться при подсчёте нулей". |
2 мин | Учитель показывает на экране данные: расстояние от Земли до Солнца — примерно 150000000 км, размер некоторых микроорганизмов — 0,000002 м. Учитель применяет приём «Проблемный вопрос»: "Как записать эти величины короче, но не потерять точность? Где такая запись может пригодиться?" | Обсуждают вопрос, называют физику, биологию, астрономию, инженерные расчёты; формулируют: "Нужен единый компактный способ записи". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что длинная запись затрудняет чтение и расчёты. Сейчас выясним, как математика помогает заменить цепочку нулей короткой и точной записью."
Этап 2. Актуализация знаний и работа в парах (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о степенях десяти, разрядах и перемещении десятичной запятой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $10^1=10$, $10^2=100$, $10^3=1000$, $10^{-1}=0,1$, $10^{-2}=0,01$. "Вспомните, как меняется число при умножении на $10^n$ и на $10^{-n}$. Объясняйте не только ответ, но и направление перемещения запятой." | Заполняют пропуски в тетрадях, отвечают: "При умножении на $10^n$ запятая перемещается вправо на $n$ знаков; при умножении на $10^{-n}$ — влево на $n$ знаков". |
3 мин | Учитель организует «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Индивидуально определите, сколько знаков нужно переместить в числах 4,5·10^3 и 8,2·10^-4. Затем сравните объяснения с партнёром." | Сначала решают самостоятельно, затем обсуждают в паре; получают $4500$ и $0,00082$, объясняют количество перемещений. |
1 мин | Учитель просит две пары представить ответы и уточняет: "Как проверить себя, если в записи много нулей?" | Называют проверку обратным действием и подсчёт знаков после запятой. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили степени десяти и движение запятой. Но пока не сформулировали главное условие новой записи. Попробуем обнаружить его на примерах."
Этап 3. Проблемный диалог и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: выявить условие стандартного вида и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает варианты: $45·10^5$, $4,5·10^6$, $0,45·10^7$. "Все ли записи обозначают одно число? Да. Можно ли все их назвать стандартным видом? Что в них различается?" Учитель ведёт Сократовский диалог: "Каким должно быть первое число, чтобы запись была единственной и удобной?" | Сравнивают записи, отвечают: "Все равны 4500000, но коэффициенты разные"; формулируют: "Первый множитель должен быть не меньше 1 и меньше 10". |
2 мин | Учитель фиксирует на доске определение: "Стандартный вид числа — это запись $a\cdot10^n$, где $1\leq a<10$, $n$ — целое число. Сформулируйте цель урока одним предложением." | Записывают определение, предлагают цель: "Научиться переводить числа в стандартный вид и обратно, проверяя коэффициент и показатель степени". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Условие стандартного вида найдено: коэффициент должен находиться от 1 до 10, не включая 10. Теперь выведем алгоритм и сразу проверим его на практических примерах."
Этап 4. Открытие нового знания и межпредметная связь (8 мин)
Цель этапа: сформировать алгоритм записи больших и малых чисел в стандартном виде через решение практических задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске число 5200000: "Сначала поставим запятую после первой значащей цифры: 5,2. Запятая переместилась на 6 знаков влево, поэтому показатель положительный: $5,2\cdot10^6$. Теперь рассмотрим 0,000034: запятую переносим вправо до числа 3,4 — на 5 знаков, поэтому показатель отрицательный: $3,4\cdot10^{-5}$." | Следят за перемещением запятой, отмечают стрелками направление, проговаривают: "Большое число — положительная степень, малое число — отрицательная". |
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки: «Скорость света — 300000 км/с; масса бактерии — 0,000000000001 кг; диаметр Земли — 12742000 м». "В паре один ученик преобразует число, второй считает перемещения и проверяет условие для коэффициента. Через полторы минуты поменяйтесь ролями." | Преобразуют: $3\cdot10^5$ км/с, $1\cdot10^{-12}$ кг, $1,2742\cdot10^7$ м; проверяют друг друга и называют межпредметную область. |
2 мин | Учитель обсуждает результат: "Почему в первом и третьем случаях показатель положительный, а во втором отрицательный? Как стандартная запись облегчает сравнение величин?" | Формулируют: "Показатель показывает порядок величины; положительный показатель связан с большими числами, отрицательный — с малыми". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают определение и алгоритм: 1) поставить запятую после первой значащей цифры; 2) посчитать число перемещений; 3) при перемещении влево поставить положительный показатель, вправо — отрицательный; 4) проверить $1\leq a<10$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм построен и проверен на величинах из физики и биологии. Теперь закрепим его сначала вместе, чтобы каждый шаг стал понятным и контролируемым."
Этап 5. Первичное закрепление с критериальной проверкой (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм преобразования и научить учащихся находить типичные ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку с заданиями: «Запишите в стандартном виде числа 720000; 0,00056; 93000000. После каждого ответа укажите количество перемещений запятой». Напоминает критерии: правильный коэффициент — 1 балл, верный показатель — 1 балл, запись без лишних знаков — 1 балл. | Решают три задания, записывают пояснения: $7,2\cdot10^5$, $5,6\cdot10^{-4}$, $9,3\cdot10^7$. |
2 мин | Учитель выводит эталон и предлагает взаимопроверку: "Поставьте рядом с каждым заданием 0, 1, 2 или 3 балла. Ошибку не зачёркивайте молча — подпишите, на каком шаге она появилась." | Сверяют решения, выставляют баллы, отмечают ошибку в коэффициенте или показателе. |
2 мин | Учитель показывает ошибочную запись $72\cdot10^4$ для числа 720000 и спрашивает: "Число записано верно, но почему форма не является стандартной? Исправьте её." | Отвечают: "Коэффициент 72 больше 10"; исправляют: $7,2\cdot10^5$. |
Эталон решения
$720000=7,2\cdot10^5$: запятая перенесена на 5 знаков влево. $0,00056=5,6\cdot10^{-4}$: запятая перенесена на 4 знака вправо. $93000000=9,3\cdot10^7$: запятая перенесена на 7 знаков влево. В записи $72\cdot10^4$ коэффициент не удовлетворяет условию $1\leq a<10$, поэтому $72\cdot10^4=7,2\cdot10^5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились не только получать ответ, но и проверять его по трём критериям. Теперь каждый выберет уровень самостоятельной работы, соответствующий его готовности, а при желании сможет перейти к более сложному уровню."
Этап 6. Дифференцированная самостоятельная работа (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и обеспечить посильную практику для учащихся разного уровня подготовки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке есть базовый, повышающий и дополнительный уровень. Обязателен базовый; если он выполнен уверенно, переходите к повышающему. Выбор уровня — это ответственность, а не соревнование." | Выбирают карточку, записывают в тетради её уровень и начинают работу. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: $340000$, $0,00091$, $6000000$. Повышающий: восстановить обычную запись для $4,08\cdot10^6$, $7,5\cdot10^{-4}$ и исправить ошибочную запись $0,83\cdot10^5$. Дополнительный: сравнить $3,2\cdot10^7$ и $29\cdot10^6$, обосновав ответ. | Решают индивидуально. Базовый уровень: получают $3,4\cdot10^5$, $9,1\cdot10^{-4}$, $6\cdot10^6$. Повышающий уровень: получают $4080000$, $0,00075$, исправляют на $8,3\cdot10^4$. Дополнительный уровень: сравнивают числа после приведения к одинаковому порядку. |
2 мин | Учитель показывает ответы на доске и предлагает самопроверку по критериям: «5» — не менее 90% правильных ответов, «4» — не менее 70%, «3» — не менее 50%. | Проверяют решения, подсчитывают баллы, исправляют одну ошибку с пояснением. |
2 мин | Учитель адресно помогает: "Проверьте сначала коэффициент. Если он меньше 1 или не меньше 10, запись нельзя считать стандартной. Затем пересчитайте перемещения запятой." | Сверяют коэффициент с условием, задают уточняющие вопросы, завершают самопроверку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что алгоритм можно применять к числам разных размеров. Осталось проверить, умеете ли вы объяснить смысл порядка числа и использовать его в реальном контексте."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия, выявить затруднения и зафиксировать домашнюю практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает «Одноминутку»: "Запишите одним предложением, что означает показатель степени в стандартном виде. Вторым предложением назовите свою типичную ошибку или способ самопроверки." | Пишут: "Показатель показывает, на сколько знаков перемещена запятая и каков порядок числа"; называют собственное затруднение или способ проверки. |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Зелёная карточка — могу записать число в стандартном виде и обратно; жёлтая — нужна ещё практика; красная — не понимаю знак показателя. Поднимите карточку и запишите вопрос, если он остался." | Поднимают карточки, формулируют вопросы: "Как не ошибиться в отрицательном показателе?", "Как сравнивать числа разных порядков?" |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и контрольные вопросы: "Перед выходом ответьте устно: какое условие выполняется для коэффициента? Какой знак имеет показатель у малого числа? Сколько знаков переместится в записи 0,00042?" | Отвечают: "$1\leq a<10$"; "показатель отрицательный"; "четыре знака". Записывают выбранный уровень домашней работы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли способ компактной записи больших и малых чисел, проверили его в парах и самостоятельно. На следующем уроке мы будем выполнять действия с числами, записанными в стандартном виде, и использовать свойства степеней."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены не менее 90% заданий выбранной карточки, коэффициенты удовлетворяют условию $1\leq a<10$, показатели степеней определены без ошибок, приведены пояснения для практических примеров.
- «4» — верно выполнены не менее 70% заданий, допущена не более чем одна ошибка в знаке или величине показателя, алгоритм в целом соблюдён.
- «3» — верно выполнены не менее 50% заданий, есть отдельные ошибки в подсчёте перемещений запятой, но ученик понимает необходимость условия $1\leq a<10$.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает показатель степени в записи $a\cdot10^n$? | Проверка понимания смысла порядка числа и связи со смещением запятой. |
Как проверить, что запись является стандартным видом? | Выявление осознания условия $1\leq a<10$. |
Какая ошибка была для вас наиболее вероятной и как вы её исправляли? | Диагностика индивидуальных затруднений и способов самоконтроля. |
Где стандартный вид числа может пригодиться вне математики? | Осмысление межпредметной и практической значимости темы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились заменять длинную запись больших и малых чисел компактной формой $a\cdot10^n$. Главное условие — коэффициент должен быть не меньше 1 и меньше 10; именно его чаще всего забывают проверять. Вы увидели, что стандартный вид используется в физике, биологии, географии и технических расчётах. На следующем уроке мы применим это умение при выполнении действий со степенями десяти."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 преобразований: три больших числа и три малых числа перевести в стандартный вид; для каждого указать число перемещений запятой и знак показателя. | Закрепить алгоритм и проверить соблюдение условия $1\leq a<10$. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания на обратное преобразование из стандартного вида в десятичную запись и 3 задания на исправление ошибочных записей. | Развить умение работать в обоих направлениях и находить ошибки в коэффициенте или показателе. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить мини-задачу с двумя величинами из физики, биологии или географии, записав данные в стандартном виде и сравнив их порядок. | Применить знания в межпредметном контексте и объяснить практический смысл показателя степени. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое число называют записанным в стандартном виде? Почему у числа $0,00032$ показатель отрицательный? Можно ли назвать запись $15\cdot10^4$ стандартным видом? Как её исправить?»
