Действительные числа. Сравнение действительных чисел
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать рациональные и иррациональные числа, сравнивать действительные числа с помощью координатной прямой, приближённых значений и свойств корня, выполняя не менее 4 из 5 практических заданий без существенных ошибок.
- Сформировать представление о множестве действительных чисел как объединении рациональных и иррациональных чисел и установить связь между различными числовыми множествами.
- Научить сравнивать действительные числа, содержащие квадратные корни, используя координатную прямую, оценку между соседними целыми числами и возведение в квадрат.
- Развивать умение выбирать способ решения, аргументировать ответ в парной работе и проверять достоверность результата.
- Воспитывать аккуратность математической записи, готовность учитывать мнение партнёра и видеть применение чисел в геометрии, физике и информатике.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к числам, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби.
- Осознают ценность точности и проверки результата при работе с приближёнными значениями.
- Принимают ответственность за собственный выбор способа сравнения чисел.
- Уважительно обсуждают решение с партнёром и корректно относятся к иной математически обоснованной позиции.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и планируют способ сравнения действительных чисел.
- Извлекают информацию из текста учебника, числовой прямой и таблицы приближённых значений.
- Сравнивают несколько способов решения и выбирают наиболее рациональный в конкретной ситуации.
- Контролируют вычисления, находят ошибку в рассуждении и корректируют запись.
- Ведут краткое математическое обсуждение, формулируют вывод и аргументируют ответ.
Предметные
- Знать, что действительные числа включают рациональные и иррациональные числа.
- Уметь приводить примеры рациональных и иррациональных чисел и распознавать их по записи.
- Уметь располагать действительные числа на координатной прямой.
- Уметь сравнивать числа вида $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ при $a\geq0$, $b\geq0$, а также сравнивать числа с помощью приближённых значений.
- Уметь записывать результат сравнения с использованием знаков $>$, $<$ и $=$ и объяснять выбранный способ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения действительных чисел через их применение в измерениях, геометрии и цифровых технологиях.
- Осознают необходимость точной записи и проверки результата.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня практического задания.
- Оценивают собственный вклад в совместное решение.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель сравнения чисел.
- Планируют последовательность действий: определить вид чисел, выбрать способ, выполнить сравнение, записать вывод.
- Используют самопроверку по эталону и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по результатам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Классифицируют числа по принадлежности к рациональным и иррациональным.
- Строят и читают модели на координатной прямой.
- Сравнивают способы: по приближённым значениям, по расположению на прямой и возведением в квадрат.
- Выделяют существенное условие в утверждении о сравнении квадратных корней.
- Проверяют логичность вывода на конкретных примерах.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Задают уточняющие вопросы о выбранном способе сравнения.
- Формулируют аргументированный ответ, используя математические термины.
- Согласовывают общий результат и корректно исправляют неточности партнёра.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или интерактивный экран с координатной прямой, шкалой от $-3$ до $4$ и отмеченными целыми точками.
- Подготовить краткую схему: «Действительные числа = рациональные числа + иррациональные числа».
- Распечатать карточки для парной работы двух уровней: по одной карточке на каждую пару, всего по числу пар в классе.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы: по одному на ученика, с заданиями базового и повышенного уровня.
- Подготовить мини-карточки «истина/ложь» для актуализации: по одной на ученика.
- Подготовить таблицу приближённых значений: $\sqrt2\approx1{,}41$, $\sqrt3\approx1{,}73$, $\sqrt5\approx2{,}24$, $\sqrt7\approx2{,}65$.
- Подготовить фрагмент текста учебника по теме и предложить ученикам работать с ним без указания страниц, поскольку используется конкретная линия УМК класса.
- Вывести на экран межпредметный пример: длина диагонали квадрата со стороной $1$ равна $\sqrt2$, а её десятичное приближение используется при измерениях и проектировании.
- Подготовить стикеры трёх цветов для рефлексии и таймер на 3 минуты для самостоятельной работы.
- Заранее записать на доске тему, условные обозначения $\mathbb N$, $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$ и критерии самопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и показать практическую необходимость сравнения действительных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня мы будем не столько слушать теорию, сколько проверять гипотезы на числах и выбирать удобный способ сравнения. На доске записана тема урока. Прочитайте её и подготовьте тетради к работе." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока: «Действительные числа. Сравнение действительных чисел». |
2 мин | Учитель показывает на экране изображение единичного квадрата и его диагонали: "Представьте, что вы проектируете квадратную плитку со стороной 1 метр. Длина диагонали равна $\sqrt2$ метра. Что больше: $\sqrt2$ или $1{,}4$? Можно ли сравнить эти числа, если одно из них записано с корнем? Обсудите вопрос с соседом 30 секунд и назовите не только ответ, но и основание." Используется приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Сначала самостоятельно предполагают ответ, затем обсуждают в парах и формулируют: «$\sqrt2$ больше $1{,}4$, потому что $\sqrt2\approx1{,}41$» или «нужно найти приближённое значение». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что корень можно сравнивать с обычным десятичным числом, но важно обосновать результат. Сначала вспомним, какие числа нам уже известны и как они связаны между собой."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о числовых множествах, квадратном корне и координатной прямой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки «истина/ложь» и говорит: "Отметьте каждое утверждение как верное или неверное, а рядом коротко запишите причину. Первое: $-3$ — натуральное число. Второе: $\frac{7}{9}$ — рациональное число. Третье: $\sqrt{25}=5$. Четвёртое: любое конечное десятичное число является рациональным. Не стремитесь угадать — вспоминайте определения." | Индивидуально отмечают утверждения: «ложь, истина, истина, истина»; объясняют, что $-3$ не является натуральным числом, а конечная десятичная дробь представима обыкновенной дробью. |
3 мин | Учитель строит на доске числовую прямую и спрашивает: "Какое число расположено правее на координатной прямой — $-1{,}5$ или $-1$? Что означает расположение правее? Как сравнить $0{,}6$ и $0{,}58$? А чему равна координата точки, если она находится между $2$ и $3$ и обозначена как $\sqrt5$?" | Показывают направление возрастания, отвечают: «$-1>-1{,}5$, потому что точка $-1$ правее»; «$0{,}6>0{,}58$»; предполагают: «$\sqrt5$ находится между $2$ и $3$, потому что $4<5<9$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили два опорных инструмента: положение числа на прямой и свойства квадратного корня. Теперь выясним, почему некоторых чисел недостаточно среди рациональных и как сравнивать новые числа надёжно."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске пары: $\sqrt2$ и $1{,}4$; $\sqrt7$ и $2{,}6$; $-\sqrt3$ и $-1{,}7$. "Попробуйте быстро расставить знаки сравнения. В каких парах ответ очевиден, а где требуется дополнительное действие? Можно ли всегда просто сравнить числа под корнем?" | Работают в парах 1 минуту, отмечают, что $\sqrt2>1{,}4$, $\sqrt7>2{,}6$, а для отрицательных чисел знак меняется при переходе от $\sqrt3$ к $-\sqrt3$. Называют затруднение: «Нужно определить способ сравнения и учитывать знак числа». |
2 мин | Учитель фиксирует ответы на доске: "Сформулируйте цель урока одним предложением. Какие шаги нам понадобятся? Я записываю ваши предложения: распознать вид числа, оценить его, выбрать способ, проверить и записать знак." | Формулируют цель: «Научиться сравнивать действительные числа, в том числе числа с квадратными корнями». Предлагают план действий и записывают его в тетрадь. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: запись с корнем не отменяет обычных правил сравнения, но требует обоснованного способа. Сейчас обратимся к учебнику и построим общий алгоритм на примерах."
Этап 4. Открытие нового знания с опорой на учебник (9 мин)
Цель этапа: вывести способы сравнения действительных чисел и применить их к конкретным примерам.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает открыть учебник на теме урока и найти определение действительных чисел: "Прочитайте фрагмент молча. Найдите предложение, в котором объясняется, какие числа называют действительными. Подчеркните ключевые слова. Затем сравните с моей схемой на доске: рациональные и иррациональные числа входят в множество действительных чисел." | Читают фрагмент учебника, выделяют определение, формулируют: «Действительные числа состоят из рациональных и иррациональных чисел». Приводят примеры: $-2$, $\frac35$, $0{,}7$ и $\sqrt2$, $\pi$. |
3 мин | Учитель записывает пример: $\sqrt5$ и $2$. "Поскольку $2^2=4<5$, а $3^2=9>5$, число $\sqrt5$ расположено между 2 и 3. Значит, $\sqrt5>2$. Теперь сравним $\sqrt{11}$ и $3{,}4$. Найдите приближённое значение по таблице и объясните ответ. Следите за тем, что приближение должно быть достаточно точным." | Записывают: $4<5<9$, поэтому $2<\sqrt5<3$. По таблице или оценке получают $\sqrt{11}\approx3{,}32$, делают вывод: «$\sqrt{11}<3{,}4$». |
3 мин | Учитель показывает общий случай: "Если $a\geq0$ и $b\geq0$, то сравнить $\sqrt a$ и $\sqrt b$ можно по подкоренным выражениям: при $a>b$ имеем $\sqrt a>\sqrt b$. Например, $\sqrt{13}>\sqrt{10}$, потому что $13>10$. Но если перед корнем стоит знак минус, порядок меняется: $-\sqrt{13}<-\sqrt{10}$. Объясните почему." | Фиксируют правило, сравнивают $\sqrt{13}$ и $\sqrt{10}$ по подкоренным выражениям, объясняют: «Отрицательное число с большей по модулю величиной расположено левее, поэтому $-\sqrt{13}<-\sqrt{10}$». |
Запись в тетрадях
- Действительные числа — это рациональные и иррациональные числа вместе.
- Для неотрицательных $a$ и $b$: если $a>b$, то $\sqrt a>\sqrt b$.
- Чтобы сравнить $\sqrt a$ с числом $c\geq0$, можно оценить $\sqrt a$ между соседними числами или сравнить $a$ и $c^2$.
- При умножении неравенства на $-1$ знак неравенства меняется.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "У нас появился алгоритм: определить знаки, выбрать прямую, приближение или сравнение квадратов, затем записать вывод. Проверим его не на одном примере, а в серии коротких заданий."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм сравнения через совместное решение и взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку и объясняет роли: "В первой задаче один ученик предлагает решение, второй задаёт вопрос ‘почему?’. Во второй задаче поменяйтесь ролями. Ваша задача — не просто поставить знак, а указать способ сравнения." | Распределяют роли, читают критерии: знак верный, способ назван, обоснование записано. |
4 мин | Учитель предлагает карточку: «Сравните: а) $\sqrt{15}$ и $\sqrt{12}$; б) $\sqrt{10}$ и $3{,}2$; в) $-\sqrt7$ и $-2{,}5$. Для каждого сравнения укажите основание». Учитель обходит пары, задаёт вопросы: "Какие числа неотрицательны? Квадрат какого числа удобно использовать? Почему при отрицательных корнях знак именно такой?" | В парах решают: $\sqrt{15}>\sqrt{12}$; $\sqrt{10}<3{,}2$, так как $10<3{,}2^2=10{,}24$; $-\sqrt7<-2{,}5$, так как $\sqrt7\approx2{,}65>2{,}5$. Проговаривают обоснования партнёру. |
2 мин | Учитель организует проверку: "Пара, которая готова защитить решение пункта б), объясните его без чтения всей записи. Остальные показывают зелёный стикер, если согласны, и жёлтый, если требуют уточнения." | Одна пара объясняет решение, остальные сверяют ответы, задают уточняющие вопросы и исправляют неточности в карточке. |
Эталон решения
а) $15>12$, поэтому $\sqrt{15}>\sqrt{12}$. б) $3{,}2^2=10{,}24$, а $10<10{,}24$, следовательно, $\sqrt{10}<3{,}2$. в) $\sqrt7\approx2{,}65>2{,}5$, поэтому после умножения на $-1$ получаем $-\sqrt7<-2{,}5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили, что один алгоритм работает в разных ситуациях, но требует внимания к знакам. Теперь каждый самостоятельно покажет, какой способ умеет выбирать без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение способов сравнения действительных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт листы и говорит: "Работаем индивидуально. Сначала выполните обязательные задания, затем выберите одно повышенное, если чувствуете готовность. В каждой строке обязательно записывайте обоснование, а не только знак. На работу — 5 минут." | Получают листы, читают инструкцию, выбирают последовательность выполнения. |
5 мин | Учитель предлагает задания: «1. Расположите по возрастанию числа $-\sqrt5$, $-2$, $0$, $\frac12$, $\sqrt3$. 2. Сравните $\sqrt{18}$ и $4{,}2$. 3. Вставьте знак: $-\sqrt{11}$ __ $-3{,}3$. 4. Повышенное: найдите ошибку в рассуждении: ‘Так как $7>5$, то $-\sqrt7>-\sqrt5$’. Исправьте вывод». | Индивидуально выполняют задания: $-\sqrt5<-2<0<\frac12<\sqrt3$; $\sqrt{18}<4{,}2$, так как $18<17{,}64$ — замечают, что это утверждение неверно, и пересчитывают: $4{,}2^2=17{,}64<18$, поэтому $\sqrt{18}>4{,}2$; $-\sqrt{11}<-3{,}3$, так как $\sqrt{11}\approx3{,}32$; исправляют ошибку: $-\sqrt7<-\sqrt5$. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте по шагам: знак числа, выбранный способ, вычисление, итоговый знак. Отметьте количество верных решений и поставьте рядом условный балл: 4 верных — уверенный уровень, 3 — рабочий, 1–2 — нужна адресная помощь." | Сверяют решения с эталоном, подчёркивают место ошибки, выставляют самооценку и записывают вопрос, который остался непонятным. |
Эталон решения
Для задания 2: $4{,}2^2=17{,}64$. Так как $18>17{,}64$ и оба числа неотрицательны, то $\sqrt{18}>4{,}2$. Для задания 3: $\sqrt{11}\approx3{,}32>3{,}3$, поэтому при умножении на $-1$ получаем $-\sqrt{11}<-3{,}3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главный источник ошибок — не вычисление корня, а невнимательность к знаку и к сравнению квадратов. На следующем шаге свяжем математическое правило с задачами геометрии и измерений."
Этап 7. Межпредметное применение и обобщение (4 мин)
Цель этапа: показать применение сравнения действительных чисел в геометрии и инженерных измерениях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране схему квадрата со стороной $1$ и говорит: "В геометрии диагональ квадрата вычисляется по теореме Пифагора: $d^2=1^2+1^2=2$, значит, $d=\sqrt2$. Инженер сравнивает длину диагонали с допуском $1{,}41$ метра. Что больше и почему? В информатике и измерительной технике такие значения часто записывают приближённо, но исходное значение может быть иррациональным." | Выполняют краткое рассуждение: $1{,}41^2=1{,}9881<2$, поэтому $\sqrt2>1{,}41$. Формулируют: «Точное значение — $\sqrt2$, приближённое — около $1{,}41$». |
2 мин | Учитель просит выбрать один из двух вопросов: "Вариант А: сравните длины диагоналей квадратов со сторонами $2$ и $3$. Вариант Б: объясните, почему при увеличении стороны квадрата диагональ увеличивается. Запишите одно предложение и обсудите его с партнёром." | Выбирают вариант, записывают: «Диагонали равны $2\sqrt2$ и $3\sqrt2$, поэтому $3\sqrt2>2\sqrt2$»; или объясняют зависимость диагонали от стороны и сверяют формулировку с партнёром. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Действительные числа нужны не только в учебных примерах: они описывают реальные длины, расстояния и результаты измерений. Осталось зафиксировать, чему мы научились и что требует повторения."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт стикеры и говорит: "Заполните мини-лист самооценки. На зелёном стикере напишите правило, которое можете объяснить другому; на жёлтом — действие, которое пока выполняете с подсказкой; на красном — вопрос, который нужно разобрать. Это не отметка, а способ спланировать следующую помощь." | Пишут на стикерах конкретные формулировки: «Сравниваю корни по подкоренным выражениям», «Путаю знак при отрицательном корне», «Не всегда понимаю, когда возводить в квадрат». Прикрепляют стикеры к соответствующей части доски. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень. Если базовый выполняете уверенно, добавьте средний или продвинутый. Перед выходом ответьте письменно на два вопроса: ‘Как сравнить $\sqrt a$ и $\sqrt b$?’ и ‘Почему при умножении неравенства на $-1$ знак меняется?’" | Записывают выбранный уровень домашней работы и отвечают на контрольные вопросы внизу листа или в тетради. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены 4 задания самостоятельной работы, в каждом указано обоснование, правильно учтены знаки при отрицательных корнях, запись аккуратная и понятная.
- «4» — верно выполнены 3 задания из 4, допущена одна несущественная ошибка в вычислении или оформлении, общий способ сравнения выбран правильно.
- «3» — верно выполнены 2 задания из 4, основные правила воспроизведены, но требуется помощь при выборе способа или работе с отрицательными числами.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о составе множества действительных чисел? | Проверка осознания связи рациональных и иррациональных чисел. |
Какой способ сравнения корней оказался для вас самым удобным и почему? | Выявление осознанного выбора способа, а не механического применения алгоритма. |
На каком шаге возникло затруднение: определение знака, оценка корня, сравнение квадратов или запись вывода? | Выявление точек затруднения в алгоритме решения. |
Какой пример из геометрии или измерений показывает пользу действительных чисел? | Проверка межпредметного переноса и личностного смысла изучения темы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы расширили представление о числах и увидели, что действительные числа включают как привычные рациональные, так и иррациональные числа. Мы научились сравнивать корни по подкоренным выражениям, приближённым значениям и квадратам. Самая частая ошибка — забыть, что при отрицательном знаке порядок меняется. Дома закрепите алгоритм и обратите внимание не только на правильный знак, но и на объяснение. На следующем уроке мы продолжим действия с действительными числами и будем использовать эти свойства в преобразованиях выражений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на классификацию чисел как рациональных или иррациональных и сравнение чисел вида $\sqrt a$, $\sqrt b$, $\sqrt a$ и десятичного числа. В каждом решении записать основание сравнения. | Закрепляет распознавание числовых множеств и базовый алгоритм; при проверке смотреть на правильность знака и наличие обоснования. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 заданий на расположение действительных чисел по возрастанию, включая отрицательные корни и смешанные записи; одно задание оформить двумя способами: через приближённое значение и через сравнение квадратов. | Развивает гибкость выбора способа и предупреждает ошибки при сравнении отрицательных чисел; проверять точность вычислений и изменение знака. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 практико-ориентированные задачи: сравнить диагонали квадратов или расстояния, выраженные через корни, и составить собственную задачу на сравнение двух действительных чисел с полным решением. | Формирует умение применять понятие в геометрии, создавать математическую модель и аргументировать результат. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: 1) Какие числа называют действительными? 2) Как сравнить $\sqrt{12}$ и $\sqrt{15}$? 3) Как сравнить $-\sqrt8$ и $-2{,}7$? 4) Почему при умножении неравенства на отрицательное число знак меняется?
