Квадратный корень из произведения и дроби
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться применять свойства квадратного корня из произведения и дроби при упрощении выражений и решении практических задач, выполнив не менее 4 заданий с точностью не менее 75%.
- Образовательная задача: вывести и сформулировать свойства квадратного корня из произведения и частного, определить область их применимости.
- Развивающая задача: развивать умение преобразовывать выражения, анализировать условия применимости формул, находить и исправлять ошибки.
- Коммуникативная задача: формировать умение объяснять ход решения в паре, задавать уточняющие вопросы и аргументировать выбор способа.
- Воспитательная задача: развивать ответственное отношение к вычислениям, самоконтролю и распределению ролей при совместной работе.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность преобразования корней для быстрых и точных вычислений.
- Проявляют интерес к поиску разных способов решения и готовы обосновывать собственный выбор.
- Развивают ответственность за результат индивидуальной и парной работы.
- Формируют положительное отношение к математике как к языку описания явлений других наук.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Извлекают информацию из формул, примеров и условия практической задачи.
- Сравнивают способы преобразования выражений и выявляют условия их корректности.
- Осуществляют взаимопроверку, самоконтроль и коррекцию решения по эталону.
Предметные
Знать свойства квадратного корня из произведения и дроби
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения свойств корня через связь с вычислениями в геометрии и физике.
- Оценивают собственную готовность применять формулы в новой ситуации.
- Проявляют самостоятельность при выборе базового или повышенного задания.
- Соблюдают математическую культуру записи и уважительно относятся к иной стратегии решения.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока.
- Планируют последовательность преобразований выражения.
- Сверяют решение с условиями применимости формулы.
- Находят ошибку, исправляют её и оценивают достигнутый результат.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки свойств квадратного корня.
- Сравнивают значение корня из произведения с произведением корней на числовых примерах.
- Моделируют вычисление площади прямоугольника через длины его сторон.
- Преобразуют математическую информацию из словесной формы в символическую.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Формулируют вопросы по условию применимости свойства.
- Аргументируют согласие или несогласие с предложенным решением.
- Согласовывают общий ответ и корректно сообщают о найденной ошибке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с двумя числовыми примерами: квадратный корень из произведения 36 и 25 и квадратный корень из дроби 81/16.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать карточки для парной работы с заданиями на поиск ошибки — по одной на пару.
- Подготовить листы с практической задачей о площади прямоугольной площадки — по одному на пару.
- Вывесить на доске памятку: «Проверить знак подкоренного выражения; применить свойство; выполнить вычисления; проверить ответ».
- Подготовить эталоны решений для самостоятельной работы и цветные стикеры зелёного, жёлтого и красного цвета.
- Подготовить маркеры, линейки, тетради, калькуляторы не использовать, чтобы сохранить вычислительную направленность урока.
- Оборудовать рабочее место проектором или интерактивной доской для показа формул и практической задачи.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (2 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую ценность преобразования корней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два выражения: $\sqrt{36\cdot25}$ и $\sqrt{36}\cdot\sqrt{25}$. Реплика: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы проверим, можно ли заменить один сложный корень произведением двух более простых. Посмотрите на экран и оцените, какой способ вычисления кажется вам удобнее. Ваша задача — не угадать, а доказать равенство." | Записывают выражения в черновик, устно оценивают удобство способов, предполагают: "Значения должны совпасть, потому что оба выражения связаны с числами 36 и 25". |
1 мин | Учитель организует приём «Прогноз»: "Поднимите зелёную карточку, если считаете равенство верным, жёлтую — если сомневаетесь, красную — если считаете его неверным. В конце урока мы вернёмся к прогнозу и проверим его." | Выбирают цвет карточки и кратко объясняют соседу свой прогноз. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что знакомое вычисление можно организовать по-разному. Теперь вспомним, что уже знаем о квадратном корне, чтобы проверить наше предположение строго."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (5 мин)
Цель этапа: актуализировать определение квадратного корня, свойства арифметического корня и обнаружить необходимость нового правила.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устный опрос: "Что называется арифметическим квадратным корнем? Какое условие обязательно для подкоренного выражения? Чему равны $\sqrt{49}$ и $\sqrt{0}$?" Учитель фиксирует на доске ключевые ответы и уточняет: "Может ли арифметический квадратный корень быть отрицательным?" | Отвечают: "Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа — это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению"; называют значения $7$ и $0$; формулируют: "Арифметический корень не бывает отрицательным". |
3 мин | Учитель предлагает работу в парах «Подумай — обсуди в паре»: "Сравните два способа вычисления выражения $\sqrt{9\cdot16}$. Сначала каждый решает самостоятельно 30 секунд, затем обсудите решение с соседом и подготовьте объяснение. Обратите внимание: совпадение одного примера ещё не является доказательством общего свойства." | Решают $\sqrt{9\cdot16}=\sqrt{144}=12$ и $\sqrt9\cdot\sqrt{16}=3\cdot4=12$, сравнивают результаты в паре и формулируют затруднение: "Нужно понять, когда корень из произведения можно заменить произведением корней". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем вычислять корень из готового числа, но пока не сформулировали общее правило для произведения и дроби. Зафиксируем этот вопрос как учебную задачу и выведем свойства на примерах."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать тему, учебную цель и условия применения новых свойств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске выражения $\sqrt{2\cdot8}$ и $\sqrt{\frac{25}{9}}$. Реплика: "Попробуйте предложить два пути вычисления. Можно ли разложить подкоренное выражение на множители? Можно ли представить дробь как отношение двух квадратов? Какие условия должны выполняться, чтобы результат был арифметическим корнем?" | Предлагают: $\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4$ и $\sqrt2\cdot\sqrt8$; $\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}$. Называют условия: подкоренное выражение неотрицательно, знаменатель дроби положителен. |
2 мин | Учитель формулирует проблемный вопрос: "Как связаны квадратный корень из произведения с произведением корней и квадратный корень из дроби с дробью корней? Сформулируйте цель урока одним предложением. Запишите тему: «Квадратный корень из произведения и дроби»." | Формулируют цель: "Вывести и научиться применять свойства корня из произведения и дроби"; записывают тему и дату в тетрадь. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают тему и цель урока: «Вывести свойства квадратного корня из произведения и дроби и применять их при преобразовании выражений».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: сначала выведем свойства, затем проверим их на примерах и применим в практической задаче. Переходим к открытию нового знания через сравнение результатов."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести, записать и осмыслить свойства квадратного корня из произведения и дроби.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает на доске таблицу: a = 4, b = 9; квадратный корень из произведения a и b; произведение квадратных корней из a и b. Реплика: «Рассмотрите пример и выполните вычисления по двум столбцам. Что заметили? Теперь возьмём a = 2, b = 8. Повторите сравнение. Если результат совпадает в нескольких примерах, какое предположение можно выдвинуть?» | Вычисляют: квадратный корень из произведения 4 и 9 равен 6; произведение квадратных корней из 4 и 9 равно 2 умножить на 3, то есть 6; квадратный корень из произведения 2 и 8 равен 4; произведение квадратных корней из 2 и 8 также равно 4. Формулируют гипотезу: «Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей». |
3 мин | Учитель записывает и проговаривает: «Квадратный корень из произведения a и b равен произведению квадратных корней из a и b, если a и b неотрицательны. Почему условия важны? Рассмотрим квадратный корень из дроби a, делённой на b. При каких условиях дробь имеет смысл и корень является арифметическим?» Учитель демонстрирует пример: квадратный корень из дроби 49/16. | Записывают формулу и условия: a и b неотрицательны для произведения; a неотрицательно, а b положительно для дроби. Объясняют: «Знаменатель не может быть равен нулю, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным». Вычисляют квадратный корень из дроби 49/16: семь четвёртых. |
3 мин | Учитель организует взаимное объяснение: «В парах по очереди объясните партнёру, как упростить квадратный корень из 72 и квадратный корень из дроби 50/2. Первый ученик проговаривает каждый шаг, второй проверяет наличие условий и корректность записи. Затем поменяйтесь ролями». | В парах получают: квадратный корень из 72 равен квадратному корню из произведения 36 и 2, то есть 6 умножить на квадратный корень из 2; квадратный корень из дроби 50/2 равен квадратному корню из 25, то есть 5. Проверяют друг друга по памятке и называют условие: знаменатель 2 положителен. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
Ученики записывают словами: квадратный корень из произведения a и b равен произведению квадратных корней из a и b, если a и b неотрицательны; квадратный корень из дроби a, делённой на b, равен дроби, в числителе которой квадратный корень из a, а в знаменателе — квадратный корень из b, если a неотрицательно, а b положительно. Ниже фиксируют алгоритм: проверить условия; представить число в удобном виде; применить свойство; вычислить рациональные корни.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели два свойства и увидели, что формула работает только при соблюдении условий. Теперь проверим новое знание на типичных выражениях и научимся объяснять каждый шаг, а не только называть ответ."
Этап 5. Первичное закрепление и дифференцированная практика (6 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм применения свойств на заданиях базового, среднего и повышенного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с выбором уровня: «Выберите базовый, средний или повышенный уровень. Выбор — это ответственность за собственный результат, а не соревнование. На базовом уровне упростите квадратный корень из 12 и квадратный корень из дроби 36/49. На среднем дополнительно преобразуйте квадратный корень из 75 и квадратный корень из дроби 98/2. На повышенном уровне объясните, верно ли равенство: квадратный корень из x в квадрате плюс 4 равен x плюс 2 при любом x». | Индивидуально решают выбранный комплект. Базовый результат: 2 умножить на квадратный корень из 3, 6/7; средний: 5 умножить на квадратный корень из 3, 7; на повышенном уровне отмечают, что равенство неверно в общем случае, поскольку квадратный корень из x в квадрате плюс 4 нельзя заменить суммой корней. |
2 мин | Учитель предлагает сверку в парах: «Сравните решения, но проверяйте не только ответ. Найдите место, где применено свойство, и задайте партнёру вопрос: какое условие делает преобразование допустимым?» | Обмениваются тетрадями, выделяют формулу и условие, задают вопросы: «Почему 36 представлено как 4 умножить на 9? Почему знаменатель должен быть положительным?» |
2 мин | Учитель разбирает типичную ошибку на доске: квадратный корень из суммы 9 и 16 равен квадратному корню из 9 плюс квадратный корень из 16, то есть 7. Реплика: «Внимательно посмотрите на знак между 9 и 16. Какое свойство мы изучали: для суммы или для произведения? Исправьте запись и объясните, почему она неверна». | Исправляют: квадратный корень из суммы 9 и 16 равен квадратному корню из 25, то есть 5; формулируют: «Свойство корня из произведения нельзя переносить на сумму». |
Эталон решения
Эталон решения: квадратный корень из 75 равен квадратному корню из произведения 25 и 3, то есть произведению квадратного корня из 25 и квадратного корня из 3: 5 умножить на квадратный корень из 3. Для дроби: квадратный корень из 98, делённого на 2, равен квадратному корню из 49, то есть 7. Ошибка в записи «квадратный корень из суммы 9 и 16 равен квадратному корню из 9 плюс квадратный корень из 16» состоит в применении свойства корня из произведения к сумме.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что уровень задания можно выбирать, но алгоритм остаётся единым: условие, разложение, свойство, вычисление и проверка. Теперь применим это знание не только к абстрактным выражениям, но и к задаче, связанной с геометрией."
Этап 6. Межпредметная практическая задача в парах (5 мин)
Цель этапа: применить свойства квадратного корня в геометрическом контексте и развивать математическую грамотность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает условие на экране: "Прямоугольная площадка имеет площадь $72\ м^2$, а её длина равна $\sqrt2\ м$. Найдите ширину площадки и запишите ответ в наиболее простом виде." Реплика: "Это задача на связь алгебры и геометрии: площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины. Работайте в парах: один составляет формулу, второй выполняет преобразование, затем поменяйтесь ролями." | Записывают $S=ab$, подставляют $72=\sqrt2\cdot b$, получают $b=\frac{72}{\sqrt2}=36\sqrt2$ м. Проверяют размерность и обсуждают: "Ширина положительна, поэтому ответ подходит". |
2 мин | Учитель задаёт уточняющие вопросы: "Можно ли рационализировать знаменатель другим способом? Как проверить ответ обратным умножением? Почему здесь уместно свойство корня из произведения?" Учитель наблюдает за парами и при необходимости предлагает подсказку: $72=36\cdot2$. | Объясняют в парах: $\frac{72}{\sqrt2}=\frac{36\cdot2}{\sqrt2}=36\sqrt2$. Проверяют: $\sqrt2\cdot36\sqrt2=36\cdot2=72$. Формулируют связь с геометрией: "Длина, умноженная на ширину, даёт площадь". |
1 мин | Учитель просит одну пару представить решение и обращается к классу: "Сравните решение у доски со своим. Отметьте один сильный шаг и один момент, который можно записать точнее." | Одна пара объясняет решение, остальные выполняют взаимопроверку и формулируют замечания по записи формулы и единиц измерения. |
Эталон решения
По формуле площади прямоугольника: площадь равна произведению длины и ширины. Длина равна квадратному корню из двух метров, площадь — 72 квадратных метра. Тогда ширина равна 72, делённым на квадратный корень из двух. Представим 72 как произведение 36 и 2: ширина равна 36, умноженным на 2 и делённым на квадратный корень из двух, то есть 36 умножить на квадратный корень из двух метров. Проверка: квадратный корень из двух, умноженный на 36 и квадратный корень из двух, равен 36 умножить на 2, то есть 72.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Свойства квадратного корня помогают не только упростить выражение, но и решить задачу о реальном объекте. Осталось индивидуально проверить, насколько уверенно каждый из вас владеет алгоритмом."
Этап 7. Самостоятельная работа, рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание темы, провести самопроверку и определить дальнейший уровень работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт индивидуальную работу: «Выполните задания без помощи соседа. Вариант 1: упростите квадратный корень из 48 и квадратный корень из дроби 121/25; вариант 2: упростите квадратный корень из 27 и квадратный корень из дроби 144/81. В последнем пункте объясните, почему нельзя записать корень из суммы a и b как сумму корней из a и b в качестве общего свойства». | Индивидуально решают два выражения и записывают объяснение. Возможные ответы: четыре умножить на квадратный корень из трёх, одиннадцать пятых; три умножить на квадратный корень из трёх, четыре третьих; формулируют: «Свойство относится к произведению, а не к сумме». |
2 мин | Учитель выводит эталон: квадратный корень из 48 равен четырём, умноженным на квадратный корень из трёх; квадратный корень из дроби 121/25 равен одиннадцати пятым; квадратный корень из 27 равен трём, умноженным на квадратный корень из трёх; квадратный корень из дроби 144/81 равен четырём третьим. Реплика: «Проверьте каждую строку, отметьте ошибки и исправьте их другим цветом. Не стирайте первоначальный ответ: нам важно увидеть, где возникло затруднение» . | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки другим цветом, подсчитывают количество верных пунктов. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор» и «Билет на выход»: «Покажите цвет, который описывает ваше состояние: зелёный — применяю оба свойства самостоятельно, жёлтый — нужна тренировка, красный — требуется разбор с учителем. На стикере допишите: какое свойство вы сегодня запомнили и какую ошибку больше не допустите». | Поднимают карточку, заполняют стикер: например, «Корень из произведения равен произведению корней»; «нельзя раскрывать корень из суммы таким же способом» . |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы вывели свойства корня из произведения и дроби, применили их в вычислениях и геометрической задаче. Проверьте, чтобы в дневнике был выбран один из трёх уровней домашней работы. На следующем уроке продолжим преобразования выражений и будем использовать свойства корня в более сложных задачах."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, корректно записаны оба свойства, указаны условия применимости, решение практической задачи содержит формулу, преобразования, единицы измерения и проверку.
- «4» — верно выполнены не менее 75% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, общий алгоритм применения свойств соблюдён.
- «3» — верно выполнены не менее 50% заданий, свойства распознаны, но есть ошибки в разложении подкоренного выражения, условиях или вычислениях; требуется частичная помощь учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство квадратного корня вы сегодня научились применять увереннее всего? | Выявление осознания содержания нового правила. |
Как вы проверяете, что свойство корня можно применить к данному выражению? | Проверка понимания условий применимости и алгоритма. |
На каком шаге решения возникло затруднение: разложение, применение формулы или вычисление? | Выявление конкретной точки затруднения для коррекции. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Развитие самооценки, ответственности и учебной автономии. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы вывели и применили два важных свойства квадратного корня: для произведения и для дроби. Особенно важно помнить, что эти свойства не распространяются автоматически на сумму: утверждение «квадратный корень из суммы чисел a и b равен сумме квадратных корней из a и b» в общем случае неверно. Вы научились проверять условия, выбирать удобное разложение и подтверждать ответ обратным вычислением. На следующем уроке мы продолжим преобразование выражений с корнями и будем составлять более сложные цепочки преобразований."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания: упростить два корня из произведения и два корня из дроби, используя свойства и записывая условия применимости. | Закрепляет распознавание двух формул и базовый алгоритм преобразования; при проверке смотреть на корректность условий и последовательность записи. |
Средний (повышающий) | Решить 5 выражений смешанного типа, включающих выделение полного квадрата из-под корня, корень из дроби и проверку равенства двух выражений. | Развивает выбор способа преобразования и самоконтроль; при проверке обратить внимание на разложение чисел и отсутствие ошибок со знаками. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу из геометрии или физики, в которой используются площадь, длина или скорость с выражениями вида «квадратный корень из произведения чисел a и b» или «квадратный корень из дроби a, делённой на b»; привести проверку ответа. | Формирует перенос свойства в новый контекст и межпредметную функциональную грамотность; при проверке смотреть на реалистичность условия, единицы измерения и обоснование решения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как записывается свойство корня из произведения? Какое условие нужно для знаменателя в свойстве корня из дроби? Можно ли раскрыть корень из суммы произведением корней? Назовите первый шаг алгоритма упрощения выражения с корнем».
