Сравнения целых чисел по модулю натурального числа
Цели и задачи
- Цель : к концу урока научиться распознавать и записывать сравнения целых чисел по модулю натурального числа, проверять их по делимости разности и решать не менее 16 из 20 тренировочных примеров с объяснением каждого шага.
- Сформировать понимание записи $a \equiv b \pmod m$ и её связи с делимостью разности $a-b$ на натуральное число $m$.
- Научиться применять признак сравнимости при проверке числовых утверждений и преобразовании сравнений.
- Развивать умение анализировать решение, находить ошибку, выбирать рациональный способ проверки и аргументировать ответ.
- Воспитывать точность математической записи, ответственность за результат совместной работы и интерес к применению сравнений в календарях, кодах и информатике.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к способам проверки больших чисел и математических закономерностей.
- Осознают ценность точной записи и последовательного доказательства результата.
- Выбирают уровень сложности задания и оценивают собственный прогресс.
- Понимают связь алгебры с календарными расчётами, информатикой и защитой данных.
Метапредметные
- Формулируют цель деятельности и составляют алгоритм проверки сравнения.
- Извлекают информацию из определения, примеров и таблицы остатков.
- Сотрудничают в парах и группах, задают уточняющие вопросы и аргументируют вывод.
- Осуществляют самопроверку по эталону, находят и исправляют ошибки.
- Используют математическую модель для описания циклических процессов.
Предметные
- Знать определение сравнения $a \equiv b \pmod m$ и условие $m\mid(a-b)$ при $m\in\mathbb N$.
- Уметь проверять сравнимость двух целых чисел по делимости их разности.
- Уметь находить классы вычетов и определять остатки при делении на модуль.
- Уметь выполнять сложение и умножение сравнений, обосновывая преобразования.
- Уметь решать и объяснять не менее 20 примеров различного уровня сложности.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к работе с отрицательными числами и остатками.
- Осмысливают практическую ценность циклических закономерностей.
- Принимают ответственность за аккуратность вычислений и доказательства.
- Проявляют уважение к иной стратегии решения партнёра.
Регулятивные УУД
- Ставят цель: установить, выполняется ли заданное сравнение.
- Планируют действия: найти разность, проверить делимость, сформулировать вывод.
- Контролируют знак разности и правильность выбора модуля.
- Сверяют решение с эталоном, исправляют вычислительные и логические ошибки.
- Оценивают результат по критериям и определяют следующий шаг обучения.
Познавательные УУД
- Выделяют существенное условие в математическом утверждении.
- Сравнивают остатки чисел при делении на один модуль.
- Строят алгоритм и применяют его к новым примерам.
- Моделируют календарный цикл таблицей остатков.
- Обобщают свойства сравнений и формулируют их своими словами.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли при работе в группе: вычислитель, проверяющий, докладчик.
- Формулируют вопросы «почему?» и «на каком основании?».
- Объясняют решение с использованием математических терминов.
- Сравнивают два способа решения без перехода на личные оценки.
- Приходят к общему выводу и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемным вопросом, определением, алгоритмом и таблицей остатков по модулю 5.
- Распечатать карточки с 20 примерами: по одной карточке на каждого ученика и по комплекту на группу из четырёх человек.
- Подготовить карточки трёх уровней сложности: обязательный, повышающий и исследовательский.
- Подготовить цветные стикеры для приёма «Светофор» и листы для «Билета на выход» — по одному на ученика.
- Вывести на доску памятку: 1) найти $a-b$; 2) проверить $m\mid(a-b)$; 3) записать вывод.
- Подготовить слайд с календарём семидневной недели и вопросом о днях недели через 100 дней.
- Подготовить маркеры, магнитные карточки с остатками от 0 до 4 и таймер.
- Организовать безопасную физкультминутку без оборудования: шаги на месте, потягивания, вращения плечами.
- Подготовить эталон решений всех 20 примеров для самопроверки и взаимопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить подростков в учебную деятельность и показать практический смысл сравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка и карточка должны лежать перед вами. Сегодня нам понадобится не только скорость вычислений, но и умение доказывать каждый вывод." | Проверяют материалы, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает календарную схему: "Представьте, что сегодня понедельник. Какой день недели будет через 100 дней? Не считайте все дни подряд. Предложите способ, который можно использовать и для очень больших чисел. Запишите гипотезу и обсудите её с соседом." | Индивидуально формулируют гипотезу, затем обсуждают её в парах; предполагают: "Нужно разделить 100 на 7 и использовать остаток". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели циклическую закономерность: после каждых семи дней ситуация повторяется. Сегодня мы узнаем математический язык для описания таких повторений и научимся доказывать свои ответы."
Этап 2. Актуализация знаний и физкультминутка (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о делимости, остатках и отрицательных числах, подготовить внимание к новой теме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит устную разминку: "Вычислите разности $17-5$, $-8-4$, $23-11$. Назовите, на какое число делится каждая разность. Что означает запись $m\mid n$?" Учитель фиксирует на доске ответы и уточняет знак разности. | Вычисляют разности: $12$, $-12$, $12$; называют делители; отвечают: "$m\mid n$ означает, что $n$ делится на $m$ без остатка". |
2 мин | Учитель показывает остатки при делении на 5: "Какие остатки возможны? Почему остаток не может быть равен 5 или отрицательному числу?" Затем предлагает расставить магнитные карточки по возрастанию. | Называют остатки $0,1,2,3,4$, объясняют ограничение остатка, распределяют карточки. |
1 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Встаньте. На вдохе потянитесь вверх, на выдохе опустите руки; выполните четыре шага на месте, два вращения плечами и снова сядьте. Вспомните: периодическое движение повторяется через одинаковый интервал — как и остатки в цикле." | Выполняют движения, соотносят повторяемость движений с циклическими процессами. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы повторили делимость, остатки и работу с отрицательными числами. Теперь проверим, какое утверждение о двух числах можно считать правильным и как это записать кратко."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать алгоритм урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске два утверждения: $17\equiv 5\pmod 6$ и $17\equiv 5\pmod 4$. "Оба утверждения выглядят похожими. Как быстро установить, какое верно? Можно ли просто сравнить числа 17 и 5? Какая операция даст нам проверяемый признак?" | Сравнивают записи, находят разность $17-5=12$, предлагают проверить делимость 12 на 6 и на 4. |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите свой алгоритм, затем сравните его в паре, а после этого одна пара сформулирует общий вариант для класса. В цели урока обязательно укажите действие и способ проверки." | Записывают личный вариант, обсуждают в парах, формулируют цель: "Научиться проверять сравнение по делимости разности". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: нам нужно не угадывать по виду чисел, а установить делимость разности. Сейчас выведем определение и проверим его на конкретных примерах."
Этап 4. Открытие нового знания и межпредметная связь (9 мин)
Цель этапа: сформировать определение сравнения и связать его с циклическими процессами в информатике и календаре.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель объясняет: "Запись $a\equiv b\pmod m$ читается: число $a$ сравнимо с числом $b$ по модулю $m$. По определению это означает, что $a-b$ делится на $m$: $m\mid(a-b)$. Обратите внимание: знак сравнения не является знаком равенства. Например, $17\equiv5\pmod6$, потому что $17-5=12$, а $6\mid12$." | Записывают определение, подчёркивают модуль и разность, проговаривают: "Сравнимость равносильна делимости разности на модуль". |
3 мин | Учитель выводит алгоритм: "Шаг первый — выпишите два сравниваемых числа. Шаг второй — найдите разность первого и второго. Шаг третий — проверьте делимость на модуль. Шаг четвёртый — запишите вывод. При отрицательной разности не пугайтесь: число также может делиться на модуль." | Составляют в тетради алгоритм из четырёх шагов, задают уточняющие вопросы, проверяют пример $-8\equiv4\pmod6$. |
2 мин | Учитель устанавливает межпредметную связь: "В информатике остаток от деления часто используют для циклической нумерации. В календаре цикл равен 7. Если понедельник считать нулём, то день через 100 дней определяется остатком от деления 100 на 7. Какой остаток получаем и какой это день?" | Вычисляют $100=7\cdot14+2$, называют второй день после понедельника — среду; объясняют, что используется циклический остаток. |
Запись в тетрадях
$a\equiv b\pmod m\Longleftrightarrow m\mid(a-b)$, где $a,b\in\mathbb Z$, $m\in\mathbb N$. Алгоритм: найти разность; проверить делимость на модуль; записать «сравнимы» или «не сравнимы».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть определение и алгоритм. Мы увидели, что один и тот же принцип работает и для отрицательных чисел, и для календарных циклов. Перейдём к совместной тренировке и научимся объяснять каждый ответ полностью."
Этап 5. Первичное закрепление: 20 примеров с полным решением (12 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм на 20 примерах от базового до углублённого уровня. Учитель раздаёт карточки, организует работу в парах и просит проговаривать основание каждого вывода.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Первые четыре примера решаем вместе. Я называю шаг, а вы записываете вычисления и вывод. Не ограничивайтесь словом «да»: обязательно укажите разность и делимость." | Записывают решения примеров 1–4, проговаривают каждый шаг. |
6 мин | Учитель: "В парах решите примеры 5–16. Один ученик вычисляет, второй проверяет делимость, затем поменяйтесь ролями. Если получили разные ответы, найдите место расхождения и обоснуйте исправление." | В парах решают примеры 5–16, сверяют знаки и делимость, исправляют решения. |
4 мин | Учитель: "Примеры 17–20 — углублённые. Выберите два из них для обязательного решения и ещё один по желанию. Объясните классу, какое свойство сравнений использовали: сохранение при сложении или умножении." | Решают выбранные примеры 17–20, представляют способ у доски, сравнивают стратегии. |
Эталон решения
1) $17\equiv5\pmod6$: $17-5=12$, $6\mid12$, поэтому сравнимы. 2) $23\equiv8\pmod5$: $23-8=15$, $5\mid15$, сравнимы. 3) $-7\equiv3\pmod5$: $-7-3=-10$, $5\mid(-10)$, сравнимы. 4) $14\not\equiv5\pmod6$: $14-5=9$, $6\nmid9$, не сравнимы. 5) $31\equiv4\pmod9$: $31-4=27$, $9\mid27$, сравнимы. 6) $-12\equiv6\pmod9$: $-12-6=-18$, $9\mid(-18)$, сравнимы. 7) $45\equiv15\pmod{10}$: $45-15=30$, $10\mid30$, сравнимы. 8) $28\not\equiv9\pmod8$: $28-9=19$, $8\nmid19$, не сравнимы. 9) $100\equiv16\pmod{12}$: $100-16=84$, $12\mid84$, сравнимы. 10) $-25\equiv5\pmod{10}$: $-25-5=-30$, $10\mid(-30)$, сравнимы. 11) $37\equiv1\pmod{6}$: $37-1=36$, $6\mid36$, сравнимы. 12) $52\not\equiv7\pmod{9}$: $52-7=45$, $9\mid45$, следовательно, сравнимы: исходное утверждение «не сравнимы» ошибочно. 13) $64\equiv4\pmod{12}$: $64-4=60$, $12\nmid60$, поэтому не сравнимы. 14) $-18\equiv6\pmod{12}$: $-18-6=-24$, $12\mid(-24)$, сравнимы. 15) $3\equiv-15\pmod6$: $3-(-15)=18$, $6\mid18$, сравнимы. 16) $41\not\equiv11\pmod7$: $41-11=30$, $7\nmid30$, не сравнимы. 17) Если $a\equiv b\pmod5$, то $a+7\equiv b+7\pmod5$, потому что $(a+7)-(b+7)=a-b$, а $5\mid(a-b)$. 18) Если $x\equiv2\pmod7$, то $3x\equiv6\pmod7$, потому что $3x-6=3(x-2)$ и $7\mid3(x-2)$. 19) $2^{10}\equiv1\pmod3$: $2\equiv-1\pmod3$, поэтому $2^{10}\equiv(-1)^{10}=1\pmod3$. 20) День через 100 дней после понедельника: $100=7\cdot14+2$, поэтому $100\equiv2\pmod7$; это среда.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы выполнили полный алгоритм на двадцати примерах и увидели типичную ошибку: нельзя делать вывод только по остаткам, не проверив модуль. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять способ без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и обеспечить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень самостоятельно. Обязательный вариант включает четыре проверки, повышающий — пять проверок и одно преобразование, продвинутый — доказательство свойства. Работайте без обсуждения, записывайте разность полностью." | Индивидуально решают выбранный вариант, указывают разность, признак делимости и вывод. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране: "Проверьте не только ответ, но и обоснование. Отметьте зелёным полностью верный шаг, жёлтым — шаг, требующий уточнения, красным — ошибочный. Исправьте одну ошибку письменно." | Сверяют решения, выделяют ошибки, записывают исправленный вариант и ставят самооценку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что вычисление разности уже получается у большинства. Осталось закрепить формулировку вывода и понять, как сравнения помогают описывать реальные циклы."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осмыслить результат, зафиксировать трудности и определить индивидуальную траекторию дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Ответьте письменно на три вопроса: какое условие равносильно сравнению; какой шаг нельзя пропускать; где можно применить остатки от деления? Затем покажите карточку «Светофор»: зелёная — объясню другому, жёлтая — решаю с подсказкой, красная — нужна помощь." | Пишут ответы, выбирают цвет самооценки, формулируют личную трудность. |
2 мин | Учитель подводит итог: "Сегодня вы не просто получили знак сравнения, а доказали его через делимость. Запишите домашнее задание по выбранному уровню. Перед уходом проверьте, что в решении есть разность, проверка делимости и вывод." | Записывают задание, задают уточняющие вопросы, сдают «Билет на выход». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены не менее 18 из 20 примеров, в каждом решении указаны разность, проверка делимости и вывод; углублённое свойство объяснено без логических ошибок.
- «4» — верно решены 15–17 примеров, допущены не более двух вычислительных ошибок, алгоритм в целом соблюдён, исправления выполнены самостоятельно.
- «3» — верно решены 11–14 примеров, определение воспроизведено, но имеются пропуски в проверке делимости или формулировке вывода; после подсказки выполнена коррекция.
- Ниже базового уровня — менее 11 верных решений или отсутствие обоснования; ученику предлагается повторить алгоритм по памятке и выполнить четыре аналогичных примера.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое условие является определением сравнения $a\equiv b\pmod m$? | Проверить осознание ключевой связи сравнения и делимости разности. |
Какой шаг алгоритма оказался самым трудным и почему? | Выявить точку затруднения: вычисление разности, делимость или вывод. |
Где в реальной ситуации можно использовать остаток от деления? | Проверить перенос знания в календарный или информационный контекст. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и какой результат хотите получить? | Поддержать автономию подростка и сформировать личную учебную цель. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что сравнение по модулю — это не приблизительное равенство, а точное утверждение о делимости разности. Вы научились проверять его на положительных и отрицательных числах, а также использовать остатки в календарном цикле. Самая частая ошибка — написать ответ без вычисления разности или перепутать модуль с делителем разности. Дома закрепите алгоритм и выберите уровень, который соответствует вашей уверенности. На следующем уроке мы продолжим преобразования сравнений и рассмотрим более сложные задачи."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 6 сравнений целых чисел по модулям 3, 4, 5, 6 и 8; для каждого записать разность, проверку делимости и вывод. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке смотреть на знак разности, модуль и полноту обоснования. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания: два на проверку сравнений с отрицательными числами, одно на сложение или умножение сравнений и одно на определение дня недели через заданное число дней. | Формирует перенос алгоритма и применение свойств сравнений; проверять последовательность преобразований. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 3 собственных задачи: одну календарную, одну связанную с циклической нумерацией в информатике и одну на доказательство свойства сравнений. | Развивает создание математической модели и аргументацию; проверять корректность условия, решения и объяснения практического смысла. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как проверить запись $a\equiv b\pmod m$?», «Что означает условие $m\mid(a-b)$?», «Почему числа с одинаковым остатком при делении на $m$ сравнимы по модулю $m$?»
