Действительные числа. Решение уравнения $x^2=a$
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться определять число корней уравнения $x^2=a$ в зависимости от значения $a$ и решать такие уравнения с записью полного ответа.
- Сформировать алгоритм решения уравнения $x^2=a$ при $a>0$, $a=0$ и $a<0$.
- Развивать умение сравнивать условия задачи, обосновывать число корней и проверять полученный результат.
- Формировать навыки сотрудничества при обсуждении гипотез и самопроверке по эталону.
- Показать связь квадратного корня и действительных чисел с практическими задачами измерения длины и площади.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию зависимости числа решений от значения $a$.
- Осознают ценность точного математического рассуждения и проверки результата.
- Принимают право одноклассника на иную гипотезу и аргументированно выражают собственное мнение.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и оценке собственных результатов.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и составляют алгоритм действий.
- Извлекают информацию из примеров, таблицы и математической записи.
- Сравнивают случаи $a>0$, $a=0$ и $a<0$, устанавливают причинно-следственные связи.
- Планируют решение, выполняют самопроверку и корректируют ошибочный вывод.
- Используют математическую речь для объяснения количества корней.
Предметные
- Знать, что при $a>0$ уравнение $x^2=a$ имеет два корня: $x_1=\sqrt a$, $x_2=-\sqrt a$.
- Знать, что при $a=0$ уравнение имеет единственный корень $x=0$.
- Знать, что при $a<0$ уравнение $x^2=a$ не имеет действительных корней.
- Уметь решать уравнения вида $x^2=a$ и записывать ответ в зависимости от знака $a$.
- Уметь проверять корни подстановкой и объяснять отсутствие решений на множестве действительных чисел.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель изучения алгоритма решения квадратного уравнения.
- Осознают значение аккуратной записи условия и ответа для предотвращения ошибок.
- Оценивают собственную готовность применять новое правило в практической задаче.
- Проявляют ответственное отношение к самостоятельной работе.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель урока.
- Планируют последовательность решения уравнения $x^2=a$.
- Сверяют решение с эталоном и находят расхождение.
- Оценивают правильность ответа по критериям и исправляют ошибки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенное условие — знак числа $a$.
- Сравнивают результаты возведения положительных и отрицательных чисел в квадрат.
- Строят таблицу случаев и выводят общее правило.
- Моделируют ситуацию с площадью квадрата уравнением $x^2=a$.
Коммуникативные УУД
- Формулируют гипотезу и представляют её классу.
- Работают в парах, распределяя роли решающего и проверяющего.
- Задают уточняющие вопросы и аргументируют количество корней.
- Корректно обсуждают ошибочные решения без перехода на оценку личности.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с примерами $x^2=9$, $x^2=0$, $x^2=-4$ и вопросом «Сколько решений имеет каждое уравнение?»
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной на каждого ученика, всего по числу учеников класса.
- Подготовить листы для парной работы с таблицей «Знак $a$ — число корней — формула ответа».
- Подготовить карточки «Светофор» зелёного, жёлтого и красного цвета по одной на каждого ученика.
- Вывести на экран или записать памятку: «Сначала определить знак $a$, затем выбрать случай, найти корни или обосновать отсутствие корней, выполнить проверку».
- Подготовить эталон самостоятельной работы для показа после выполнения заданий.
- Организовать на доске три зоны: «$a>0$», «$a=0$», «$a<0$».
- Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры, тетради и таймер на 3 минуты.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к проблеме числа решений уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и калькулятора не требуется — сегодня важнее рассуждение. На доске записано выражение $x^2$. Подумайте, какие числа могут скрываться за $x$, если результат возведения в квадрат положительный?" | Готовят рабочее место, рассматривают запись, называют варианты: "Положительные и отрицательные числа, потому что их квадраты положительны". |
2 мин | Учитель показывает практический контекст: "Представьте, что площадь квадратной площадки равна $9$ квадратным метрам. Как найти длину её стороны? А если в записи вместо площади окажется отрицательное число, может ли существовать такая действительная длина? Сегодня мы выясним, как эти вопросы связаны с уравнением $x^2=a$." | Обсуждают ситуацию, формулируют предположение: "Длина стороны равна $3$ метрам; отрицательная длина невозможна". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одинаковая запись $x^2=a$ может приводить к разному числу решений. Теперь проверим наши предположения на конкретных примерах и найдём причину различий."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства квадратного корня, квадрата числа и знака результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вычислите устно квадраты чисел $3$, $-3$, $0$ и $-2$. Сначала подумайте самостоятельно, затем сравните ответы с соседом. Объясните, почему квадраты противоположных чисел совпадают." | Вычисляют: $3^2=9$, $(-3)^2=9$, $0^2=0$, $(-2)^2=4$; в парах формулируют: "Квадрат противоположного числа равен квадрату исходного". |
3 мин | Учитель записывает на доске: $\sqrt9=3$, $\sqrt0=0$, выражение $\sqrt{-4}$ не имеет значения среди действительных чисел. Спрашивает: "Почему квадратный корень из 9 равен только 3, хотя $(-3)^2=9$? Как найти все числа, квадрат которых равен 9?" | Отвечают: "Арифметический квадратный корень неотрицателен"; формулируют: "Числа $3$ и $-3$ имеют квадрат 9". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили главное: квадрат числа неотрицателен, а противоположные числа имеют одинаковые квадраты. Теперь выясним, как эти факты позволяют решить любое уравнение вида $x^2=a$."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает три уравнения: $x^2=16$, $x^2=0$, $x^2=-5$. Реплика: "Попробуйте решить все три уравнения одним способом. Запишите ответы индивидуально. Где возникло затруднение?" | Записывают попытки: для первого называют $4$ и $-4$, для второго — $0$, для третьего затрудняются; отмечают, что один алгоритм пока не сформулирован. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "От чего зависит количество корней? Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа в множестве действительных чисел? Какую цель поставим на урок?" | Формулируют цель: "Научиться решать $x^2=a$ при любом действительном $a$ и определять число корней". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: исследовать три возможных значения $a$ и вывести алгоритм. Работая по этому плану, мы сами построим новое правило, а не просто запомним готовую формулу."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести правило решения уравнения $x^2=a$ для трёх случаев.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре таблицу и говорит: "Заполните три строки. Для $x^2=25$ найдите все числа, для $x^2=0$ — единственное возможное число, а для $x^2=-9$ объясните, почему решение невозможно. Запишите не только ответ, но и причину." | В парах заполняют таблицу: $x=5$ или $x=-5$; $x=0$; действительных решений нет, поскольку квадрат числа неотрицателен. |
3 мин | Учитель организует обсуждение: "Сравним случаи. Если $a>0$, сколько корней возникает? Если $a=0$? Что происходит при $a<0$? Посмотрите на доску: я фиксирую ваши выводы в трёх зонах." | Представляют решения, отвечают: "При $a>0$ два корня, при $a=0$ один, при $a<0$ корней нет". |
3 мин | Учитель формулирует и проговаривает алгоритм: "Если $a>0$, записываем $x_1=\sqrt a$ и $x_2=-\sqrt a$. Если $a=0$, получаем $x=0$. Если $a<0$, решений в действительных числах нет. Обратите внимание: запись только $x=\sqrt a$ при положительном $a$ неполна — теряется отрицательный корень." | Записывают алгоритм, задают уточняющие вопросы, приводят примеры: $x^2=49$, $x^2=0$, $x^2=-1$. |
Запись в тетрадях
Уравнение $x^2=a$: при $a>0$ — два корня $x_1=\sqrt a$, $x_2=-\sqrt a$; при $a=0$ — один корень $x=0$; при $a<0$ — действительных корней нет.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы построили правило и увидели, что ключевым является знак числа $a$. Теперь применим алгоритм сначала вместе, проговаривая каждый шаг, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения с проговариванием основания каждого действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель разбирает задачу: "Решим уравнение $x^2=36$. Сначала определяем знак правой части. Какой это случай? Как записать оба корня? Выполним проверку." Учитель фиксирует на доске $x_1=6$, $x_2=-6$, затем проверяет: $6^2=36$, $(-6)^2=36$. | Отвечают: "$36>0$, поэтому два корня"; записывают решение и проверку, проговаривают алгоритм по шагам. |
2 мин | Учитель предлагает парам решить $x^2=0$ и $x^2=-16$: "Один ученик решает, второй проверяет соответствие случаю и полноту ответа. Через две минуты поменяйтесь ролями." | Решают: $x=0$; «действительных корней нет». Проверяют записи партнёра и исправляют отсутствие обоснования. |
2 мин | Учитель проводит быструю проверку приёмом «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если уверенно различаете три случая, жёлтую — если нужна ещё одна тренировка, красную — если алгоритм пока неясен." Кратко комментирует типичную ошибку: запись только положительного корня. | Показывают карточки, формулируют вопрос или называют шаг алгоритма, который требует повторения. |
Эталон решения
$x^2=0$: правая часть равна нулю, поэтому $x=0$. Проверка: $0^2=0$. Уравнение $x^2=-16$ решений в действительных числах не имеет, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь мы умеем применять правило вместе и видим, что знак правой части определяет весь ход решения. Переходим к индивидуальной работе: каждый покажет, насколько самостоятельно владеет алгоритмом."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и обеспечить самокоррекцию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки с выбором уровня: "Выберите один из двух вариантов. Базовый: решить $x^2=81$, $x^2=0$, $x^2=-25$. Повышенный: решить $x^2=\frac{49}{16}$, $x^2=-7$ и объяснить, почему число корней зависит от знака правой части. Работайте без подсказок, время — шесть минут." | Индивидуально решают выбранный вариант, записывают не только корни, но и основание выбора случая. |
2 мин | Учитель показывает эталон: "Сверьте каждую строку. Не просто поставьте отметку, а подчеркните место ошибки: знак числа, количество корней или запись ответа." | Сверяют решения с эталоном, отмечают ошибки и исправляют их другим цветом. |
2 мин | Учитель предлагает самооценку: "Поставьте себе балл по критериям: три правильных решения с объяснением — высокий уровень; две правильные строки — базовый; одна или более ошибок — составьте вопрос для консультации." | Оценивают работу, записывают вопрос или конкретный шаг, который необходимо повторить. |
Эталон решения
$x^2=81$: $81>0$, поэтому $x_1=\sqrt{81}=9$, $x_2=-9$. $x^2=0$: $x=0$. $x^2=-25$: действительных корней нет, так как квадрат действительного числа неотрицателен. Для повышенного варианта: $x^2=\frac{49}{16}$, поэтому $x_1=\frac74$, $x_2=-\frac74$; $x^2=-7$ решений не имеет.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без пошаговой подсказки. Осталось связать его с практическим смыслом и проверить, умеем ли мы объяснять ответ, а не только записывать его."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: применить новое правило в практическом контексте, осмыслить результат и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Площадь квадратного цветника равна $64$ квадратным метрам. Составьте уравнение для длины стороны и решите его. Почему из двух алгебраических корней выбираем только один ответ для длины?" | Составляют $x^2=64$, получают $x=8$ и $x=-8$, затем объясняют: "Длина не может быть отрицательной, поэтому выбираем 8 метров". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Билет на выход»: "Запишите два предложения: какое правило вы сегодня открыли и какая ошибка при решении наиболее опасна. Затем поставьте зелёный, жёлтый или красный знак уверенности." | Пишут: "При положительном $a$ два корня..."; называют ошибку: "записать только $ \sqrt a$ или забыть обосновать отсутствие корней"; сдают билет. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень, ориентируясь не на отметку, а на готовность тренироваться. Перед уходом ответьте устно: сколько корней имеет $x^2=12$, $x^2=0$, $x^2=-12$?" | Фиксируют выбранный уровень домашнего задания, отвечают: "Два, один, ни одного". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы установили, что знак правой части полностью определяет число действительных корней уравнения $x^2=a$. Вы научились находить оба корня, распознавать единственный корень и обосновывать отсутствие решений. На следующем уроке будем использовать квадратный корень при преобразовании и решении более сложных уравнений."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все три базовых уравнения или оба повышенных задания, указаны случаи по знаку $a$, записаны все корни и приведено обоснование отсутствия решений.
- «4» — верно решены не менее двух заданий, но допущена одна неточность в записи второго корня, проверке или формулировке обоснования.
- «3» — правильно определён хотя бы один случай и решено одно уравнение, однако имеются ошибки в количестве корней или отсутствует объяснение.
- Ниже «3» — алгоритм пока не применён последовательно; ученик получает индивидуальную тренировку по трём случаям.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как определить число корней уравнения $x^2=a$ до начала вычислений? | Проверка понимания роли знака правой части. |
Почему при $a>0$ нельзя записывать только $x=\sqrt a$? | Выявление понимания двух противоположных корней. |
Какое задание оказалось самым трудным и на каком шаге возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме решения. |
Насколько уверенно вы решите аналогичное уравнение дома: зелёный, жёлтый или красный уровень? | Формирование навыка самооценки и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что уравнение $x^2=a$ решается не одной механической формулой, а с учётом знака числа $a$. Запомните типичную ошибку: при положительном $a$ нужно записывать два противоположных корня, а при отрицательном — объяснять отсутствие действительных решений. Практическая задача показала, что математическое решение может дополнительно ограничиваться смыслом величины. Дома выберите посильный уровень и обязательно проговаривайте каждый шаг алгоритма. На следующем уроке мы продолжим применять квадратные корни в преобразованиях."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 6 уравнений вида $x^2=a$: по два примера при $a>0$, $a=0$ и $a<0$. В каждом случае записать число корней и краткое обоснование. | Закрепляет распознавание трёх случаев и правильную запись полного ответа; при проверке обратить внимание на знак $a$ и количество корней. |
Средний (повышающий) | Решить 4 уравнения с целыми и дробными положительными значениями $a$, а также 2 уравнения с отрицательной правой частью; выполнить проверку подстановкой для положительных корней. | Формирует устойчивое применение алгоритма и навык проверки; при проверке смотреть на вычисление квадратного корня и наличие противоположного корня. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о стороне квадрата или расстоянии, приводящую к уравнению $x^2=a$, а затем объяснить, почему один из алгебраических корней может быть отброшен по смыслу. | Развивает моделирование и аргументацию; при проверке оценить корректность модели, решения и смыслового отбора корня. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Сколько действительных корней имеет уравнение $x^2=25$?», «Как записать решение уравнения $x^2=0$?», «Почему уравнение $x^2=-3$ не имеет действительных корней?»
