Квадратное уравнение
Цели и задачи
- Цель по SMART: за 45 минут научиться распознавать квадратные уравнения, выбирать рациональный способ их решения и самостоятельно решать не менее 4 уравнений с проверкой корней.
- Закрепить понятия квадратного уравнения, коэффициентов $a$, $b$, $c$ и дискриминанта.
- Отработать решение неполных и полных квадратных уравнений по алгоритму и через разложение на множители.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать способ решения, проверять результат и исправлять ошибки.
- Формировать ответственное отношение к самостоятельной работе и готовность аргументировать математическое решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску разных способов решения математической задачи.
- Осознают значение точности вычислений и проверки результата.
- Развивают самостоятельность при выборе уровня практического задания.
- Формируют готовность спокойно анализировать ошибку и использовать её для улучшения результата.
Метапредметные
- Планируют последовательность решения квадратного уравнения и контролируют промежуточные вычисления.
- Извлекают из записи уравнения значения коэффициентов и используют математическую информацию из учебника.
- Сравнивают способы решения и обосновывают выбор наиболее рационального.
- Работают в паре, формулируют вопросы и дают корректную обратную связь по критериям.
Предметные
- Знать определение квадратного уравнения и условие $a\ne0$.
- Уметь определять коэффициенты $a$, $b$, $c$ и находить дискриминант $D=b^2-4ac$.
- Уметь решать полные квадратные уравнения по формуле корней.
- Уметь решать неполные квадратные уравнения и выполнять проверку найденных корней.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за точность выполненного решения.
- Выбирают посильный и повышенный уровень задания с учётом собственных возможностей.
- Проявляют настойчивость при поиске и исправлении ошибки.
Регулятивные УУД
- Принимают цель практической работы и составляют план решения.
- Проверяют соответствие полученного ответа исходному уравнению.
- Сопоставляют решение с эталоном, находят место ошибки и корректируют запись.
- Оценивают результат по заранее объявленным критериям.
Познавательные УУД
- Классифицируют уравнения на полные и неполные.
- Выделяют коэффициенты и моделируют ход решения в виде алгоритма.
- Применяют формулы, выполняют вычисления и анализируют знак дискриминанта.
- Сравнивают решение по формуле и разложением на множители.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают ход решения в парах и задают уточняющие вопросы.
- Аргументированно объясняют выбор способа решения.
- Используют формулировки «две сильные стороны и пожелание» при взаимопроверке.
- Согласовывают общий ответ и корректно относятся к иной стратегии решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или слайде алгоритм: определить вид уравнения; найти $a$, $b$, $c$; вычислить $D$; выбрать формулу; выполнить проверку.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовый, повышающий и дополнительный — по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить карточки с ошибочными решениями для парного анализа — по одной на пару.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «определяю коэффициенты», «выбираю способ», «нахожу корни», «проверяю ответ».
- Подготовить эталонные решения для самопроверки и критерии оценивания на отдельном листе.
- Вывести на экран или записать на доске четыре уравнения для актуализации знаний.
- Обеспечить каждому ученику тетрадь, ручку, черновик и доступ к учебнику по теме.
- Подготовить таймер на 5 и 7 минут для самостоятельной работы и взаимопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и настрой на практику (2 мин)
Цель этапа: организовать готовность класса и обозначить практическую цель занятия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не будем долго слушать объяснение: основное время посвятим решению квадратных уравнений. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка, черновик и учебник. В течение урока вы сможете выбрать базовый или повышенный уровень заданий." | Проверяют принадлежности, открывают тетради и записывают дату. |
1 мин | Учитель показывает на доске цель: "К концу урока каждый должен решить несколько квадратных уравнений, объяснить выбранный способ и проверить хотя бы один корень подстановкой. Работать будем индивидуально и в парах." | Формулируют личную цель: «научиться не ошибаться в знаках», «быстрее находить дискриминант», «научиться проверять корни». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Рабочие материалы готовы, цель понятна. Начнём с короткой проверки того, что необходимо для сегодняшней практики."
Этап 2. Актуализация опорных знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить навыки раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и работы с формулой дискриминанта.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $3x^2-5x+2=0$, $x^2-16=0$, $4x^2+7x=0$. "Подумайте самостоятельно: какие из записей являются квадратными уравнениями? Назовите коэффициенты первого уравнения. Не просто называйте ответ, а укажите, откуда его взяли." | Определяют, что все три записи являются квадратными уравнениями; называют для первого уравнения $a=3$, $b=-5$, $c=2$. |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вычислите для первого уравнения значение $D=b^2-4ac$. Сначала работайте 30 секунд самостоятельно, затем сравните вычисления с соседом." | Вычисляют $D=(-5)^2-4\cdot3\cdot2=25-24=1$, обсуждают запись в паре и формулируют ответ: «дискриминант равен 1». |
2 мин | Учитель просит устно решить два выражения: "$x^2=16$ и $4x^2+7x=0$. Вспомните, когда можно вынести общий множитель за скобки. Какой способ здесь короче?" | Решают: $x=\pm4$; $x(4x+7)=0$, поэтому $x=0$ или $x=-\frac{7}{4}$. Объясняют выбор способа. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили коэффициенты, дискриминант и способы решения неполных уравнений. Теперь проверим, умеем ли мы безошибочно выбрать алгоритм для разных записей."
Этап 3. Инструктаж и постановка практической задачи (4 мин)
Цель этапа: актуализировать алгоритм решения и определить критерии качественной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске памятку: "Для полного уравнения сначала приведите его к виду $ax^2+bx+c=0$, затем определите $a$, $b$, $c$, вычислите $D$, выберите формулу корней и выполните проверку. Если $D<0$, действительных корней нет; если $D=0$, корень один; если $D>0$, корней два." | Переписывают краткий алгоритм в тетрадь и задают уточняющие вопросы. |
2 мин | Учитель раздаёт карточки с ошибочными решениями: "В каждой записи найдите одну ошибку: неверный знак коэффициента, ошибка в дискриминанте или пропущенный корень. Обсудите в паре и сформулируйте исправление." | Анализируют пример $x^2-5x+6=0$, где ошибочно записано $D=25+24$, и объясняют: «перед произведением $4ac$ стоит минус, поэтому $D=25-24=1$». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Главные ошибки уже видны: потеря знака и пропуск корня. Теперь переходим к основной части практикума и применяем алгоритм к новым уравнениям."
Этап 4. Практикум по учебнику: решение уравнений в парах (10 мин)
Цель этапа: отработать решение полных и неполных квадратных уравнений с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Откройте учебник на теме квадратного уравнения и выберите два тренировочных уравнения соответствующего типа: одно полное и одно неполное. Запишите условия полностью, а не только ответы. В паре один ученик проговаривает шаги, второй проверяет коэффициенты." | Выбирают в учебнике два подходящих уравнения, переписывают их и распределяют роли в паре. |
5 мин | Учитель организует работу: "Сначала решите полное уравнение по формуле корней. Не переходите к вычислению корней, пока не записаны $a$, $b$, $c$ и $D$. Затем решите неполное уравнение наиболее коротким способом. Я подойду к парам, у которых возникнет затруднение." | Решают выбранные уравнения, вслух называют коэффициенты и значение дискриминанта, сравнивают промежуточные записи с партнёром. |
3 мин | Учитель приглашает двух учеников к доске: "Покажите решения так, чтобы одноклассники могли проверить каждый шаг. Класс следит не только за ответом, но и за знаками в формуле." | Оформляют решения у доски, остальные отмечают совпадения и возможные расхождения, задают вопросы: «Почему здесь $b$ отрицательное?» |
Эталон решения
Для уравнения $2x^2-7x+3=0$: $a=2$, $b=-7$, $c=3$; $D=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25$; $x_1=\frac{7+5}{4}=3$, $x_2=\frac{7-5}{4}=\frac12$. Для уравнения $x^2-9=0$: $x^2=9$, поэтому $x_1=3$, $x_2=-3$. Проверка: $3^2-9=0$ и $(-3)^2-9=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы потренировались выбирать способ решения и проговаривать алгоритм. Теперь каждый покажет, насколько уверенно умеет работать без подсказки пары."
Этап 5. Самостоятельная практическая работа с выбором уровня (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение решать квадратные уравнения и выполнять самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень осознанно. Базовый вариант обязателен для всех, повышающий можно выбрать после выполнения базового, дополнительный предназначен для тех, кто готов объяснить два разных способа. На карточке обязательно записывайте коэффициенты, дискриминант и проверку одного корня." | Выбирают карточку, подписывают работу и знакомятся с критериями. |
7 мин | Учитель напоминает: "Работаем индивидуально. Если возникло затруднение, поставьте рядом с примером знак вопроса и продолжайте следующий. Не стирайте ошибочный шаг сразу: он поможет вам понять причину затруднения при проверке." | Решают задания выбранного уровня, записывают алгоритм, проверяют один корень подстановкой. |
2 мин | Учитель открывает на доске эталон: "$x^2-6x+8=0$: $D=4$, $x_1=4$, $x_2=2$; $3x^2+5x-2=0$: $D=49$, $x_1=\frac13$, $x_2=-2$." | Сверяют решения с эталоном, подчёркивают место расхождения и исправляют ошибки другим цветом. |
Эталон решения
Для $x^2-6x+8=0$: $a=1$, $b=-6$, $c=8$; $D=(-6)^2-4\cdot1\cdot8=4$; $x_1=\frac{6+2}{2}=4$, $x_2=\frac{6-2}{2}=2$. Проверка: $16-24+8=0$ и $4-12+8=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие шаги уже выполняются уверенно, а какие требуют внимания. Сейчас мы не просто сверим ответы, а научимся давать полезную обратную связь друг другу."
Этап 6. Взаимопроверка и разбор типичных ошибок (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм через анализ ошибок и взаимную проверку по критериям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель напоминает приём «Две звезды и пожелание»: "Обменяйтесь работами с соседом. Найдите две сильные стороны: например, правильно определены коэффициенты и выполнена проверка. Затем запишите одно конкретное пожелание: «проверь знак $b$» или «дополни решение формулой корней»." | Проверяют работу партнёра по эталону, записывают две сильные стороны и одно конкретное пожелание. |
3 мин | Учитель выводит три типичные ошибки: пропущенное условие $a\ne0$, неверное значение $b$, потеря второго корня при $D>0$. "Поднимите карточку зелёного цвета, если умеете исправить ошибку, жёлтого — если нужна подсказка. Давайте разберём один пример вместе." | Показывают карточку самооценки, объясняют исправление в примере $x^2+4x+3=0$, где ошибочно записан только корень $x=-1$. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Почему у этого уравнения должно быть два корня? Как это связано со знаком дискриминанта?" | Отвечают: «$D=4>0$, поэтому квадратное уравнение имеет два действительных корня: $-1$ и $-3$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что правильный ответ зависит от всей цепочки действий. Осталось зафиксировать личный результат и определить, что нужно повторить дома."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, выявить затруднения и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Отметьте, что вы сегодня можете сделать без помощи: определить коэффициенты, вычислить дискриминант, выбрать способ, найти корни, выполнить проверку. Одним предложением запишите, какой шаг требует тренировки." | Заполняют лист самооценки и формулируют затруднение, например: «ошибаюсь при подстановке отрицательного $b$». |
1 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "На отдельной строке решите устно или письменно уравнение $x^2-5x+6=0$ и ответьте: какой первый шаг алгоритма вы выполняете?" | Записывают: $D=1$, $x_1=3$, $x_2=2$; формулируют: «сначала привожу уравнение к стандартному виду и определяю коэффициенты». |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень по результату сегодняшней работы. Базовый обязателен для всех, следующий уровень — для тех, кто уверенно выполнил базовый, дополнительный — по желанию." | Записывают выбранный уровень и контрольный вопрос: «Как знак дискриминанта связан с количеством действительных корней?» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы отработали полный алгоритм решения квадратного уравнения и научились видеть типичные ошибки. На следующем уроке мы продолжим выбирать наиболее рациональные способы решения и применим их к задачам, приводящим к квадратным уравнениям."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранного обязательного уровня, корректно определены коэффициенты и дискриминант, записаны корни и выполнена проверка; исправления обоснованы.
- «4» — верно решено большинство заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на понимание алгоритма, либо пропущена проверка одного корня.
- «3» — решено не менее половины обязательных заданий, алгоритм в целом выбран верно, но допущены ошибки в знаках, вычислении дискриминанта или записи корней.
- Ниже отметки «3» — менее половины обязательных заданий решены верно или отсутствует последовательная запись решения; учитель фиксирует конкретный шаг для повторной отработки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового или более уверенно вы сегодня научились делать? | Выявление осознанного результата и субъективной оценки освоения алгоритма. |
На каком шаге решения квадратного уравнения вы чаще всего ошибались? | Выявление точки затруднения: коэффициенты, дискриминант, формула или проверка. |
Какой способ решения вы выберете для неполного уравнения и почему? | Проверка понимания рационального выбора способа. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно на следующем уроке? | Определение уровня учебной самостоятельности и готовности к усложнению. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы не просто повторили формулу, а несколько раз применили полный алгоритм решения квадратного уравнения. Особенно внимательно следите за знаком коэффициента $b$ и не забывайте проверять найденные корни. Ошибка в одном знаке меняет весь результат, но её можно быстро обнаружить подстановкой. На следующем уроке мы продолжим практику и рассмотрим задачи, в которых квадратное уравнение нужно сначала составить по условию."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 квадратных уравнения: два полных по формуле корней и два неполных удобным способом; для одного уравнения выполнить проверку обоих корней. | Закрепляет алгоритм, вычисление дискриминанта и различение типов уравнений; при проверке смотреть на знаки коэффициентов и полноту записи. |
Средний (повышающий) | Решить 5 уравнений, включая случаи $D=0$, $D>0$ и $D<0$, а также одно уравнение, которое сначала нужно привести к стандартному виду. | Формирует умение связывать знак дискриминанта с количеством корней и применять алгоритм в изменённой записи. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 уравнения двумя способами: по формуле корней и разложением на множители, затем кратко сравнить способы по числу действий и вероятности ошибки. | Развивает анализ и оценку рациональности способа решения; при проверке смотреть на обоснованность сравнения и совпадение корней. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как называется число $D=b^2-4ac$? Что происходит при $D<0$? Как проверить найденный корень? Почему в записи квадратного уравнения обязательно $a\ne0$?»
