Задачи на работу и стоимость
Цели и задачи
- Цель по SMART: за 45 минут научиться составлять математические модели задач на совместную работу и стоимость, решать не менее двух задач выбранного уровня и проверять полученный ответ по смыслу.
- Закрепить представления о производительности, времени работы, стоимости единицы товара и общей стоимости.
- Отработать алгоритм перевода условия практической задачи на язык переменных, таблицы и уравнения.
- Развивать умение выбирать способ решения, объяснять ход рассуждений и обнаруживать ошибки в готовом решении.
- Формировать ответственное отношение к совместной работе, точности вычислений и разумному использованию ресурсов.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность алгебраической модели при планировании работы, покупок и расходов.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа представления решения.
- Понимают значение точности, проверки и ответственности за принятое решение.
- Проявляют уважение к мнению одноклассников при обсуждении разных способов решения.
Метапредметные
- Выделяют величины, устанавливают связи между ними и представляют условие задачи в таблице.
- Планируют последовательность решения, контролируют вычисления и корректируют ошибочные действия.
- Аргументируют выбор переменной и уравнения, участвуют в диалоге и взаимопроверке.
- Применяют математическую грамотность в ситуациях распределения времени, объёма работы и денежных средств.
Предметные
- Знать зависимости «работа = производительность × время» и «стоимость = цена единицы × количество».
- Уметь обозначать неизвестную величину переменной и составлять линейное уравнение по условию задачи.
- Уметь решать задачи на совместную работу и стоимость, включая ситуации с изменением цены.
- Уметь проверять найденное значение по ограничениям задачи и формулировать ответ с единицами измерения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к решению практических задач.
- Связывают содержание урока с будущими профессиями, бытовыми решениями и финансовой грамотностью.
- Осознают необходимость честной самооценки результата.
- Проявляют готовность доводить решение до содержательного ответа.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель решения конкретной задачи и выбирают нужные величины.
- Планируют заполнение таблицы и составление уравнения.
- Сверяют решение с условием, единицами измерения и ограничениями.
- Исправляют найденные ошибки по эталону и оценивают результат.
Познавательные УУД
- Извлекают математическую информацию из текстового условия.
- Сравнивают величины «производительность», «время», «работа», «цена», «количество», «стоимость».
- Моделируют ситуацию с помощью таблицы, выражения и уравнения.
- Анализируют готовое решение, находят несоответствие между вычислением и смыслом задачи.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре или группе: читатель условия, составитель таблицы, вычислитель, проверяющий.
- Задают уточняющие вопросы о выборе переменной и связи величин.
- Объясняют решение последовательными математическими фразами.
- Корректно принимают замечания и предлагают аргументированную поправку.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки трёх уровней: базового, повышающего и дополнительного — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Подготовить отдельные карточки с задачами для работы в парах — по одной на парту.
- Подготовить листы взаимопроверки с алгоритмом: выделить величины; выбрать переменную; составить таблицу; записать уравнение; решить; проверить; ответить.
- Вывести на доску или экран памятку: «Работа = производительность × время» и «Стоимость = цена единицы × количество».
- Подготовить слайд с ошибочным решением задачи на стоимость для этапа анализа ошибок.
- Разложить стикеры трёх цветов для самооценки: зелёный — могу сам, жёлтый — нужна подсказка, красный — требуется разбор.
- Подготовить таймер на 3 и 5 минут.
- Организовать доску в три зоны: «Величины», «Модель», «Проверка».
- Подготовить маркеры, тетради, линейки и калькуляторы только для проверки вычислений после составления модели.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и показать связь темы с реальными решениями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы работаем не только с числами, но и с жизненными ситуациями, где нужно распределить время или рассчитать расходы. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. На парте оставьте только необходимые материалы." | Проверяют готовность рабочего места, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "Два сотрудника выполняют один заказ. Один справляется за 6 часов, другой — за 3 часа. Как понять, сколько времени понадобится при совместной работе? А если заказ имеет стоимость, как не ошибиться в расчёте? Сегодня вы сможете решать такие задачи самостоятельно и выбрать уровень сложности." | Формулируют предположения: "Нужно сравнить производительность", "Нужно сложить части работы", "Нужно учитывать цену и количество". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня нам понадобится не угадывать ответ, а строить модель ситуации. Сначала проверим, какие связи между величинами вы уже умеете использовать."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить формулы и подготовить способы описания величин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: «работа», «производительность», «время», «цена», «количество», «стоимость» и говорит: "Приём «Мозговой штурм»: за минуту установите связи между словами. Как найти выполненную работу? Как найти стоимость покупки? Я буду фиксировать точные формулировки в зоне «Величины»." | Называют зависимости: «работа равна производительности, умноженной на время»; «стоимость равна цене, умноженной на количество». |
3 мин | Учитель предлагает две короткие проверки: "Рабочий выполняет 12 деталей за 3 часа. Чему равна его производительность? Товар стоит 80 рублей, купили 5 единиц. Какова стоимость покупки? Объясните единицы измерения." | Вычисляют: $12:3=4$ детали в час; $80\cdot5=400$ рублей. Записывают краткие ответы и единицы измерения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили две главные зависимости и увидели, что единицы измерения помогают контролировать смысл ответа. Теперь проверим, как из текста получить уравнение."
Этап 3. Постановка проблемы и планирование решения (4 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритм моделирования задачи и выявить типичное затруднение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточку: "За 3 одинаковые тетради и ручку заплатили 180 рублей. Ручка стоит 30 рублей. Какова цена одной тетради? Не начинайте вычисления, сначала назовите величины." Затем спрашивает: "Что здесь неизвестно? Что можно обозначить за $x$?" | Выделяют неизвестную величину: цена одной тетради. Предлагают: «Пусть $x$ рублей — цена одной тетради». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы Сократовского диалога: "Сколько стоят три тетради? Как записать общую стоимость? Почему к этому выражению прибавляется 30? Какое уравнение получится?" На доске появляется схема: «переменная → выражение → уравнение → проверка». | Составляют уравнение $3x+30=180$, объясняют каждое слагаемое и называют план решения. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Значит, трудность состоит не только в вычислении: нужно правильно перевести слова в выражения. Этот алгоритм сейчас применим к задачам на работу и стоимость."
Этап 4. Практикум: составление моделей и решение задач (10 мин)
Цель этапа: отработать составление таблицы и уравнения на двух типах практических задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт парам задачу: "Один мастер выполняет заказ за 6 часов, а второй — за 3 часа. Работая вместе, они выполнили заказ за 2 часа. Какую часть заказа выполняет каждый мастер за один час? Составьте модель и объясните, почему сумма выполненных частей равна единице." Учитель напоминает: "Запишите производительность каждого мастера и общее время, затем составьте уравнение или проверьте данные через сумму долей." | Заполняют таблицу: первый мастер — $1/6$ заказа в час, второй — $1/3$ заказа в час, совместное время — 2 часа. Проверяют: $2\left(\frac16+\frac13\right)=1$. Формулируют вывод: «За 2 часа мастера выполняют весь заказ». |
5 мин | Учитель предлагает задачу на стоимость: "После повышения цены на 20% товар стал стоить 360 рублей. Какова была его первоначальная цена? Обозначьте её за $x$, составьте уравнение и объясните, почему новая цена равна $1{,}2x$." Учитель наблюдает за работой пар, задаёт уточняющие вопросы и отмечает типичные ошибки. | Записывают $x+0{,}2x=360$, преобразуют в $1{,}2x=360$, находят $x=300$. Выполняют проверку: $300+20\%$ от $300=360$ рублей. |
Эталон решения
Для задачи о повышении цены: пусть $x$ рублей — первоначальная цена. Повышение составляет $0{,}2x$, поэтому новая цена равна $x+0{,}2x=1{,}2x$. По условию $1{,}2x=360$, откуда $x=300$. Проверка: $300\cdot1{,}2=360$. Ответ: первоначальная цена товара — 300 рублей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В задачах на работу мы складываем части выполненного заказа, а в задачах на стоимость внимательно отслеживаем изменение цены. Теперь каждый попробует решить задачу самостоятельно и выбрать посильный уровень."
Этап 5. Первичное закрепление и анализ ошибки (6 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм и научиться находить смысловую ошибку в готовом решении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на экране решение: "За 4 одинаковых блокнота заплатили 280 рублей. После скидки 25% цена одного блокнота стала 52,5 рубля. Найдите первоначальную цену блокнота. В решении записано: $4x\cdot0{,}75=280$, $x=93{,}3$. Проверьте, согласуется ли ответ с условием." | Находят ошибку: скидка относится к цене каждого блокнота, поэтому нужно записать $4\cdot0{,}75x=280$. Получают $3x=280$, $x=\frac{280}{3}$ рублей и обсуждают, что условие даёт неудобную цену; делают вывод о необходимости внимательно проверять исходные данные и смысл ответа. |
3 мин | Учитель уточняет: "Какие вопросы нужно задать себе перед тем, как принять ответ? Назовите минимум три пункта алгоритма проверки." Учитель фиксирует ответы в зоне «Проверка». | Называют: «соответствует ли число условию», «правильны ли единицы», «не нарушены ли ограничения», «даёт ли подстановка исходную сумму или объём работы». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что даже правильно выполненное преобразование не спасает неверно составленную модель. Переходим к самостоятельной работе: сначала читаем условие, затем строим таблицу или краткую запись."
Этап 6. Самостоятельная работа с выбором уровня (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение составлять и решать уравнения по практическому условию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Базовый обязателен для всех, затем можно перейти к повышающему, а дополнительный выполняют те, кто хочет проверить себя задачей с более сложной моделью. Перед началом прочитайте критерии: оценивается не только число, но и запись модели, проверка и ответ." | Выбирают карточку, записывают номер выбранного уровня и читают критерии выполнения. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: "Два насоса наполняют бассейн за 6 и 4 часа соответственно. Какую часть бассейна они наполняют вместе за 1 час?" Повышающий: "За 5 кг яблок и 2 кг груш заплатили 620 рублей. Килограмм груш стоит на 40 рублей дороже килограмма яблок. Найдите цены фруктов." Продвинутый: "Бригада должна выполнить заказ. Если ежедневно выполнять на 4 единицы больше, заказ будет завершён на 2 дня раньше. При первоначальном плане выполняли по 20 единиц в день. Сколько единиц составляет заказ?" Учитель консультирует вопросами, не сообщая готовое уравнение. | Решают индивидуально, составляют краткую запись или таблицу, вводят переменную, записывают уравнение, выполняют проверку и формулируют ответ. |
3 мин | Учитель раздаёт лист самопроверки с эталонными ответами без подробного решения: базовый — $\frac16+\frac14=\frac{5}{12}$; повышающий — цена яблок 60 рублей, груш 100 рублей; продвинутый — 240 единиц. Просит отметить ошибки цветом и исправить одну из них. | Сверяют ответы по шагам, подчёркивают место ошибки, исправляют запись и ставят знак «+» напротив выполненных пунктов алгоритма. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что модель можно строить разными способами, но обязательны понятная переменная, уравнение и проверка. Осталось применить навык к ситуации выбора и сформулировать личный результат."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенные способы решения, зафиксировать затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно составить уравнение по задаче; жёлтую — если нужна подсказка; красную — если пока не получается. Не сравнивайте себя с соседом: цвет показывает вашу следующую учебную цель." | Поднимают карточку, затем дописывают в тетради фразу: «Мне нужно потренироваться в…». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как отличить производительность от всей выполненной работы? Что означает множитель $0{,}8$ в задаче о скидке 20%? Как проверить, что ответ разумен?" | Отвечают: «производительность — работа за единицу времени»; «$0{,}8$ — это 80% первоначальной цены»; «нужно подставить ответ и проверить единицы». |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; повышающий и дополнительный выполняйте по готовности. Запишите не только ответ, но и модель. На следующем уроке начнём с разбора двух разных способов решения." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, задают уточнения. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — решены все задания выбранного уровня, корректно введена переменная, составлена верная модель, выполнена проверка и записаны ответы с единицами измерения.
- «4» — основная модель составлена верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, исправленная при самопроверке.
- «3» — решена базовая задача с помощью памятки, но неполно оформлена проверка либо допущена одна существенная ошибка в преобразованиях.
- Оценка может быть повышена при самостоятельном выполнении задания повышенного или продвинутого уровня с обоснованием выбранной модели.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы сегодня применили при решении задач на работу и стоимость? | Выявление осознания алгоритма моделирования. |
На каком шаге было труднее всего: выбрать переменную, составить уравнение или проверить ответ? | Выявление точки затруднения в алгоритме. |
Какой уровень задания вы выбрали и почему? | Формирование самооценки и ответственного выбора сложности. |
Какой вопрос вы задали бы человеку, который получил ответ, но не выполнил проверку? | Переход от вычисления к оценке математического решения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы увидели, что алгебра помогает принимать практические решения: распределять работу, рассчитывать стоимость и проверять экономические данные. Главная ошибка в таких задачах возникает тогда, когда уравнение записывают до того, как разобрались со смыслом величин. Всегда называйте переменную, связывайте выражение с условием и подставляйте ответ обратно. На следующем уроке мы разберём более сложные задачи, где величины изменяются в несколько этапов."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи: одну на совместную работу, одну на стоимость нескольких товаров и одну на изменение цены со скидкой или наценкой. Для каждой записать переменную, уравнение, проверку и ответ. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке смотреть на соответствие уравнения тексту и наличие единиц измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи с двумя связанными величинами: две на совместную работу и две на стоимость покупки с изменением цены. Одну задачу оформить в виде таблицы. | Развивает перенос алгоритма на разные условия; проверять самостоятельность выбора переменной и преобразований. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу о работе или стоимости, в которой ответ находится с помощью линейного уравнения. Добавить краткое объяснение, почему полученный ответ реалистичен. | Формирует умение создавать математическую модель; проверять полноту условия, корректность уравнения и содержательность проверки. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какая формула связывает работу, производительность и время? Как записать стоимость нескольких одинаковых товаров? Какие три действия обязательны после решения уравнения?»
