Координатная прямая. Числовые промежутки
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться изображать на координатной прямой числовые промежутки, записывать их с помощью скобок и неравенств, а также определять принадлежность числа заданному промежутку.
- Образовательная задача: сформировать представление об интервале, отрезке, полуинтервале и луче как о числовых промежутках.
- Развивающая задача: развивать умение сопоставлять графическую, символическую и словесную формы задания, анализировать границы промежутка и обосновывать выбор скобок.
- Регулятивная задача: учить планировать последовательность построения промежутка, проверять результат по условию и исправлять ошибки.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к записи математических решений и уважительное отношение к аргументированным ответам одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к математическому описанию реальных ограничений и диапазонов.
- Осознают значение точной математической записи для передачи информации без двусмысленности.
- Принимают необходимость проверки собственного чертежа и готовы корректно обсуждать различные способы решения.
- Получают опыт выбора уровня задания в соответствии со своими учебными возможностями.
Метапредметные
- Сопоставляют текстовое условие, неравенство, обозначение скобками и изображение на координатной прямой.
- Выделяют существенную информацию: левую и правую границы, принадлежность или непринадлежность концов.
- Планируют действия построения числового промежутка и осуществляют самопроверку по алгоритму.
- Формулируют ответ, аргументируют выбор открытой или закрытой точки, взаимодействуют в паре при проверке.
Предметные
- Знать определения координатной прямой, числового промежутка, интервала, отрезка, полуинтервала и луча.
- Уметь изображать на координатной прямой промежутки, заданные неравенствами и двойными неравенствами.
- Уметь записывать изображённый промежуток с помощью скобок и неравенств.
- Уметь определять, принадлежит ли заданное число числовому промежутку, и объяснять свой ответ.
- Владеть алгоритмом выбора круглой или квадратной скобки у границы промежутка.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень понимания темы и выбирают посильный вариант самостоятельного задания.
- Формируют смыслообразование через понимание практической роли диапазонов и ограничений.
- Проявляют готовность принимать ошибку как основание для коррекции способа действия.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и соблюдают нормы математического диалога.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе обнаруженного затруднения при изображении ограничений.
- Планируют построение промежутка: отмечают границы, выбирают точки, проводят линию или луч, записывают ответ.
- Сверяют решение с эталоном и находят ошибку в положении границы или выборе скобки.
- Осуществляют самооценку по критериям и намечают способ устранения затруднения.
Познавательные УУД
- Извлекают информацию из числовой прямой, текста, неравенства и символьной записи.
- Классифицируют числовые промежутки по включению концов и неограниченности.
- Устанавливают соответствие между неравенством $a<x<b$ и интервалом $(a;b)$.
- Моделируют условие на координатной прямой и используют модель для проверки принадлежности числа.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему граница изображена пустой или закрашенной точкой.
- Задают уточняющие вопросы при сопоставлении двух записей одного промежутка.
- Аргументированно защищают выбранный вариант и корректно принимают замечания.
- Распределяют действия в паре: один строит изображение, другой проверяет обозначения и запись.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с координатной прямой, примерами температурного диапазона и четырьмя видами числовых промежутков.
- Распечатать карточки для актуализации знаний — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одному комплекту на каждого ученика.
- Подготовить по одному листу с эталоном решения на парту для взаимопроверки.
- Подготовить цветные маркеры или мел: красный для границ, синий для части прямой, зелёный для контрольных чисел.
- Вывести на доску алгоритм: определить границы; установить включение концов; выбрать точки; выделить часть прямой; записать промежуток.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и рефлексии.
- Проверить наличие у учащихся тетрадей, линеек, ручек и карандашей; обеспечить проектор или интерактивную доску.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость точного описания диапазонов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, линейки и ручки. Сегодня нам понадобится точность: одна маленькая скобка может изменить весь смысл математической записи. Запишите дату и тему урока — «Координатная прямая. Числовые промежутки»." | Проверяют принадлежности, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на экране условие: "Для участия в соревновании температура воздуха должна быть не ниже $-5$ °C и ниже $3$ °C. Как изобразить все подходящие температуры?" Затем говорит: "Подумайте сначала самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом. Нам важно не только назвать числа, но и показать весь диапазон." | Самостоятельно выделяют числа $-5$ и $3$, обсуждают в парах, предлагают: "От $-5$ включительно до $3$ без включения". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что условие задаёт не одно число, а целую совокупность чисел с границами. Сегодня мы научимся изображать такие совокупности и записывать их кратко и однозначно."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о координатной прямой, сравнении чисел и решении простых неравенств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на доску координатную прямую с отмеченными числами $-3$, $0$, $2$ и спрашивает: "Что показывает координата точки? Где на прямой расположены числа, меньшие нуля? Как сравнить $-3$ и $2$ по расположению точек?" | Указывают начало отсчёта и единичный отрезок, отвечают: "Слева от нуля находятся отрицательные числа", "-3<2, потому что точка $-3$ расположена левее точки $2$". |
2 мин | Учитель раздаёт карточки с заданиями: сравнить $-4$ и $-1$, назвать все целые числа, удовлетворяющие условию $-2<x<2$, и отметить решение неравенства $x\geq1$ на прямой. Говорит: "Работайте индивидуально одну минуту, затем сверяйтесь в паре." | Сравнивают числа, записывают множество целых чисел $-1$, $0$, $1$, изображают луч от $1$ вправо с включённой границей, обсуждают ответы. |
2 мин | Учитель организует быструю проверку: "Поднимите зелёную карточку, если уверены, жёлтую — если хотите уточнить, красную — если возникло затруднение. Почему в решении $x\geq1$ точка на границе должна быть закрашенной?" | Показывают карточки, формулируют: "Число $1$ входит в решение, потому что стоит знак больше или равно". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили направление координатной прямой, сравнение чисел и смысл знаков неравенства. Теперь выясним, как единообразно обозначать разные варианты границ."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение в записи различных ограниченных множеств чисел и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает две записи: $-2<x<4$ и $-2\leq x<4$, а рядом — два изображения с пустой и закрашенной точкой у числа $-2$. Спрашивает: "На первый взгляд записи почти одинаковы. Что изменилось? Как понять по рисунку, входит ли граница в промежуток?" | Сравнивают записи, замечают изменение знака, формулируют: "В первом случае число $-2$ не входит, во втором входит; это должно быть видно по точке". |
2 мин | Учитель применяет приём «Снежный ком»: "Сначала запишите одним предложением, чему нужно научиться. Затем объединитесь в пары и выберите точную формулировку цели." После обсуждения фиксирует цель: "изображать и записывать числовые промежутки". | Формулируют индивидуальные цели, обсуждают их в парах и предлагают: "Научиться по неравенству строить промежуток и по рисунку записывать его". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение связано не с самой прямой, а с точным обозначением границ. Сформулированная цель подсказывает наш план: познакомиться с видами промежутков, вывести правило выбора скобок и потренироваться в трёх формах записи."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести классификацию числовых промежутков и алгоритм их изображения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель строит на доске четыре изображения и говорит: "Рассмотрим промежуток от $a$ до $b$. Если обе границы входят, получаем отрезок $[a;b]$ и двойное неравенство $a\leq x\leq b$. Если обе границы не входят, получаем интервал $(a;b)$ и условие $a<x<b$. Квадратная скобка означает включение границы, круглая — невключение." | Перерисовывают схему, проговаривают соответствия: "$[a;b]$ — отрезок", "$(a;b)$ — интервал", "квадратная скобка — граница входит". |
3 мин | Учитель продолжает: "Если левая граница входит, а правая не входит, это полуинтервал $[a;b)$. Если левая не входит, а правая входит, это $(a;b]$. Для неограниченных промежутков используем лучи: $[a;+\infty)$ означает $x\geq a$, а $(-\infty;b)$ — $x<b$. Бесконечность никогда не включается, поэтому рядом с ней всегда круглая скобка." | Записывают определения и примеры, задают вопросы, объясняют, почему запись $[a;+\infty]$ невозможна. |
3 мин | Учитель демонстрирует алгоритм: "Разберём условие $-3\leq x<2$. Шаг первый — отмечаем числа $-3$ и $2$. Шаг второй — у $-3$ ставим закрашенную точку, потому что есть знак «меньше или равно», у $2$ — пустую. Шаг третий — выделяем часть прямой между точками. Шаг четвёртый — записываем $[-3;2)$." | Повторяют алгоритм по шагам, выполняют построение в тетради и записывают $[-3;2)$. |
Запись в тетрадях
- $[a;b]$ — отрезок: $a\leq x\leq b$; обе границы входят.
- $(a;b)$ — интервал: $a<x<b$; обе границы не входят.
- $[a;b)$ и $(a;b]$ — полуинтервалы.
- Квадратная скобка означает включение границы, круглая — невключение; около бесконечности ставится круглая скобка.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть общий язык для изображения промежутков. В следующем задании проверим, сможете ли вы применить алгоритм без моей подсказки и объяснить каждый знак."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм в парной работе и установить соответствие между неравенством, рисунком и записью скобками.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с тремя условиями: $-1\leq x\leq4$, $2<x<6$, $x\geq-3$. Говорит: "Выполняйте приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». Сначала каждый строит один промежуток, затем вы сравниваете рисунки. Обязательно проговаривайте, почему точка закрашена или пустая." | Индивидуально строят один промежуток, затем в парах проверяют все три рисунка, записывают $[-1;4]$, $(2;6)$, $[-3;+\infty)$. |
2 мин | Учитель просит две пары показать решения на доске и уточняет: "Какой знак отвечает за закрашенную точку? Почему у бесконечности нет квадратной скобки?" | Представители пар выполняют записи, отвечают: "Знаки меньше или равно и больше или равно", "Бесконечность не является числом и не может быть конечной границей". |
2 мин | Учитель предлагает проверить принадлежность чисел: "Принадлежит ли $4$ промежутку $(2;6)$? Принадлежит ли $-3$ промежутку $[-3;+\infty)$? Подтвердите ответ рисунком и неравенством." | Отмечают ответы: "$4$ принадлежит, потому что $2<4<6$; $-3$ принадлежит, потому что $x\geq-3$ и граница включена". |
Эталон решения
Для условия $-1\leq x\leq4$ отмечаем на прямой числа $-1$ и $4$, ставим закрашенные точки, выделяем отрезок между ними и записываем $[-1;4]$. Для условия $2<x<6$ ставим пустые точки в $2$ и $6$, выделяем часть прямой между ними и записываем $(2;6)$. Для условия $x\geq-3$ ставим закрашенную точку в $-3$ и проводим луч вправо: $[-3;+\infty)$. Ошибка в выборе точки изменяет множество решений.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились переходить от неравенства к рисунку и записи скобками. Сейчас каждый проверит себя индивидуально, а затем сравнит результат с эталоном."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и обеспечить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает выбор карточки. Базовый уровень: изобразить $-2\leq x<3$ и записать промежуток. Повышающий уровень: по рисунку с пустой точкой в $1$ и закрашенной в $5$ записать неравенство и промежуток. Дополнительный уровень: составить собственный пример полуинтервала и объяснить его запись. Учитель говорит: "Выберите уровень осознанно. На каждой карточке выполните построение и словесно объясните границы." | Выбирают уровень, индивидуально выполняют задания, отмечают на рисунке включённые и невключённые границы, записывают ответы. |
3 мин | Учитель выдаёт эталон и говорит: "Проверьте работу по трём критериям: верно ли отмечены границы, правильно ли выделена часть прямой, совпадает ли запись со знаками неравенства. Ошибку не стирайте сразу: подчеркните место и рядом напишите исправление." | Сверяют решения с эталоном, находят и исправляют ошибки, ставят условный знак: плюс — всё верно, вопрос — нужна консультация. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что основная точка контроля — границы промежутка. Осталось связать новое правило с реальной задачей и убедиться, что запись помогает быстро принимать решения."
Этап 7. Включение в систему знаний. Практическая задача (4 мин)
Цель этапа: применить понятие числового промежутка в жизненном контексте и развить функциональную математическую грамотность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предъявляет условие: "Для безопасной работы устройства напряжение должно быть не меньше $210$ В и не больше $230$ В. Запишите множество допустимых значений напряжения и изобразите его на координатной прямой. Входят ли значения $210$ В и $230$ В?" | Выделяют оба конечных значения, записывают $[210;230]$, изображают отрезок с двумя закрашенными точками, отвечают: "Оба значения входят". |
2 мин | Учитель спрашивает: "А если инструкция изменится: напряжение должно быть больше $210$ В, но меньше $230$ В, что изменится в записи? Объясните не только ответ, но и причину." | Записывают $(210;230)$, заменяют закрашенные точки на пустые, объясняют: "Граничные значения запрещены, поэтому используются строгие неравенства и круглые скобки". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Числовые промежутки описывают не только упражнения, но и реальные диапазоны допустимых значений. Теперь зафиксируем, чему мы научились и какая часть алгоритма требует дальнейшей тренировки."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить остаточные затруднения и объяснить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите цвет, который описывает ваше состояние. Зелёный — изображаю и записываю промежутки самостоятельно; жёлтый — понимаю правило, но ошибаюсь в отдельных случаях; красный — нужна помощь." | Показывают карточки, называют конкретное затруднение: "Путаю скобки у бесконечности" или "Не всегда понимаю, входит ли граница". |
2 мин | Учитель говорит: "Запишите домашнее задание. Выберите обязательный уровень и при желании добавьте повышающий или дополнительный. Перед уходом ответьте на контрольные вопросы: что означает квадратная скобка? Как записать $x<4$?" | Записывают задание, отвечают: "Квадратная скобка включает границу", "$x<4$ — это $(-\infty;4)$". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, правильно обозначены обе границы или направление луча, запись промежутка соответствует неравенству, объяснение содержит обоснование выбора скобок.
- «4» — выполнено верно не менее 80% задания, допущена одна неточность в оформлении или объяснении, но способ построения и смысл границ поняты.
- «3» — правильно выполнена базовая часть с изображением одного промежутка, однако допущены ошибки в выборе скобок, направлении луча или записи неравенства.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о числовых промежутках? | Выявление осознания основных понятий и видов промежутков. |
Как определить, будет ли точка на границе пустой или закрашенной? | Проверка понимания связи между знаком неравенства и включением границы. |
В каком месте алгоритма вы сегодня ошиблись или могли ошибиться? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Развитие самооценки и осознанного выбора учебной нагрузки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились представлять множество чисел на координатной прямой и переводить одну запись в другую. Запомните главный ориентир: квадратная скобка включает границу, круглая скобка исключает её, а около бесконечности всегда используется круглая скобка. Самая частая ошибка — поставить красивую, но неверную точку, не сверив её со знаком неравенства. На следующем уроке мы продолжим работать с числовыми промежутками и будем применять их при решении неравенств."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: изобразить на координатной прямой два отрезка, один интервал и один луч, заданные неравенствами; для каждого записать обозначение скобками. | Закрепляет алгоритм перехода от неравенства к графической и символьной форме; при проверке смотреть на границы и направление луча. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 заданий на обратный переход: по изображениям числовых промежутков записать неравенства и обозначения скобками, включая два полуинтервала и один неограниченный промежуток. | Развивает умение читать математическую модель и различать включённые и невключённые границы. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 3 жизненных ситуации с ограничениями: температурный диапазон, допустимое напряжение или размер детали; для каждой записать условие неравенством и изобразить соответствующий промежуток. | Формирует функциональную грамотность и умение самостоятельно создавать математическую модель. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что означает запись $[a;b)$? Как изображается условие $x\geq a$? Почему запись $(-\infty;b]$ допустима, а $[-\infty;b]$ невозможна? Как проверить, принадлежит ли число данному промежутку?»
