Способы задания функции. График функции
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать три основных способа задания функции, составлять таблицу значений и строить по ней график функции на координатной плоскости, выполняя не менее 4 из 5 учебных действий без существенных ошибок.
- Сформировать представление о задании функции формулой, таблицей и графиком; установить связь между этими способами.
- Научиться находить значения функции по заданной формуле и составлять таблицу соответствующих значений аргумента и функции.
- Развивать умение анализировать координаты точек, проверять принадлежность точки графику и аргументированно объяснять ход решения.
- Воспитывать аккуратность при построении координатной плоскости, ответственность за результат индивидуальной работы и готовность учитывать мнение одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к математическому описанию зависимостей, встречающихся в повседневной жизни и будущей профессиональной деятельности.
- Осознают ценность точности, последовательности и проверки результата при построении графика.
- Развивают положительное отношение к самостоятельному поиску способа решения и готовность корректировать ошибку.
- Уважительно относятся к различным стратегиям решения, представленным одноклассниками.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки функции и устанавливают соответствие между формулой, таблицей и графиком.
- Извлекают информацию из координатной плоскости, таблицы и математической записи.
- Планируют последовательность построения графика и проверяют полученный результат по контрольным точкам.
- Формулируют объяснение, используют математическую речь и аргументируют принадлежность точки графику.
- Используют цифровую визуализацию или готовый чертёж для сравнения способов задания функции.
Предметные
- Знать, что функцию можно задавать словесно, формулой, таблицей и графиком; на уроке подробно применять три последних способа.
- Понимать смысл переменных $x$ и $y$, зависимой и независимой переменной.
- Уметь вычислять значения функции по формуле и заполнять таблицу значений.
- Уметь строить график функции по точкам координатной плоскости.
- Уметь определять по графику значение функции и проверять, принадлежит ли точка графику.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный дефицит после самостоятельной работы и выбирают способ его устранения.
- Понимают практический смысл графика как способа представления зависимости между величинами.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня дополнительного задания.
- Оценивают вклад аккуратности и самопроверки в достоверность математического результата.
Регулятивные УУД
- Совместно формулируют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют алгоритм: выбрать значения $x$, вычислить $y$, отметить точки, провести график.
- Сверяют таблицу и чертёж с эталоном, находят и исправляют ошибки.
- Оценивают достижение цели по листу самооценки и формулируют следующий шаг.
Познавательные УУД
- Сравнивают формулу, таблицу и график как разные модели одной зависимости.
- Устанавливают соответствие между парой чисел $(x;y)$ и точкой координатной плоскости.
- Применяют вычислительный алгоритм при нахождении значений функции.
- Анализируют график, делают выводы о значениях функции и проверяют гипотезы.
- Моделируют зависимость с помощью таблицы и системы координат.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям: вычислитель и проверяющий.
- Формулируют вопросы о порядке построения графика и отвечают на вопросы партнёра.
- Аргументированно объясняют, почему точка принадлежит или не принадлежит графику.
- Согласовывают общий вывод и корректно сообщают о найденной ошибке.
- Используют математические термины: аргумент, значение функции, координаты, график.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивный экран с координатной плоскостью, формулами $y=2x+1$ и $y=2x+1$, таблицами и изображением графика.
- Распечатать карточки для работы в парах: 8 комплектов с формулой $y=2x+1$, таблицей и вопросами о точках графика.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней: по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «могу назвать способы задания функции», «могу вычислить значение», «могу построить график», «могу проверить точку».
- Вывести на доску памятку: «1. Выбери значения $x$. 2. Вычисли $y$. 3. Запиши пары $(x;y)$. 4. Отметь точки. 5. Проведи график».
- Подготовить цветные маркеры, линейки, стикеры трёх цветов и запасные листы в клетку.
- Проверить наличие у каждого ученика тетради, ручки, карандаша, линейки и инструмента для построения координатных осей.
- При наличии оборудования подготовить динамическую демонстрацию: изменение формулы сопровождается изменением таблицы и положения точек на графике.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и показать практический смысл разных способов представления зависимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображение таблицы зависимости времени и расстояния, формулу и координатный график. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать не только с формулой, но и с её таблицей и графиком. Посмотрите на экран: перед вами три записи, но, возможно, описывают они одну и ту же зависимость. Ваша задача — выяснить, как это проверить». | Готовят тетради и инструменты, рассматривают три представления зависимости, формулируют предположение: «Их можно сравнить по одинаковым значениям». |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно: где в жизни удобнее формула, где таблица, а где график? Затем обсудите ответ с соседом. Не называйте только способ, объясните его удобство». Учитель фиксирует на доске ответы: расчёт, точные значения, быстрый обзор изменения. | Записывают по одному примеру, обсуждают его в паре одну минуту и сообщают классу: «Формула удобна для расчёта», «Таблица показывает отдельные значения», «График помогает увидеть зависимость целиком». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одну зависимость можно представить по-разному. Теперь проверим, какие знания о функции понадобятся для точного перехода от одного представления к другому».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия функции, аргумента, значения функции и координат точки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит устную разминку. «Вспомним: что называют функцией? Какую переменную называют аргументом? Если записано $y=3x-2$, какая переменная считается независимой? Что нужно сделать, чтобы найти $y$ при $x=4$?». Учитель просит двух учеников проговорить решение у доски. | Отвечают: «Функция ставит каждому допустимому значению $x$ единственное значение $y$»; «Аргумент — $x$»; «Нужно подставить $x=4$: $y=3\cdot4-2=10$». Один ученик записывает вычисление на доске. |
3 мин | Учитель показывает четыре пары чисел: $(0;1)$, $(2;5)$, $(-1;-5)$, $(3;7)$. «Какие из этих точек могут принадлежать графику $y=2x+1$? Не угадывайте: подставьте координату $x$ в формулу и сравните с координатой $y$». | В парах проверяют точки: $(0;1)$ и $(2;5)$ принадлежат; $(-1;-5)$ не принадлежит, так как $2\cdot(-1)+1=-1$; $(3;7)$ принадлежит. Формулируют правило проверки точки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем находить значение функции по формуле и проверять пару чисел. Но пока не ответили, как из формулы получить наглядный график. Зафиксируем это затруднение и поставим цель».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить способ построения графика по формуле и сформулировать учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предъявляет проблему: «Перед вами функция $y=2x+1$. Нужно построить её график, но одной точки недостаточно: через одну точку можно провести множество линий. Что нам следует сделать, чтобы график был обоснованным? Как связаны выбранные значения $x$, вычисленные значения $y$ и точки на плоскости?». | Предполагают: «Нужно найти несколько значений функции», «составить таблицу», «отметить точки и соединить их». Объясняют, что каждой паре $(x;y)$ соответствует точка. |
2 мин | Учитель применяет приём «Снежный ком». «Сначала каждый запишите цель урока одним предложением. Объединитесь в пары, выберите точную формулировку, затем две пары сравнят варианты». После обсуждения учитель записывает согласованную цель: «Научиться задавать функцию формулой, таблицей и графиком и строить график по таблице значений». | Формулируют индивидуальную цель, уточняют её в паре и предлагают классу: «Научиться переходить от формулы к таблице и от таблицы к графику». Записывают цель урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема ясна: формула задаёт правило, таблица показывает его результаты, а график изображает пары значений. Сейчас мы сами построим эту цепочку».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: открыть три способа задания функции и вывести алгоритм построения графика по таблице значений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске три записи одной функции: $y=2x+1$, таблицу значений и координатный график. «Первая запись задаёт функцию формулой: она позволяет вычислять $y$ для любого допустимого $x$. Вторая запись задаёт функцию таблицей: в ней указаны конкретные пары значений. Третья запись задаёт функцию графиком: каждая пара $(x;y)$ представлена точкой. Сравните записи и найдите, что в них общее». | Читают записи, называют три способа: «формулой, таблицей, графиком». Устанавливают соответствие: формула даёт правило, таблица — пары чисел, график — точки этих пар. |
4 мин | Учитель организует работу в парах с карточкой. «Для функции $y=2x+1$ выберите значения $x=-2,-1,0,1,2$. Внимательно вычислите $y$, проверяющий пересчитывает каждую строку. Затем запишите пары координат». Учитель напоминает: «Сначала подставляем значение $x$, затем выполняем умножение, потом сложение». | Распределяют роли, заполняют таблицу: при $x=-2$ получается $y=-3$; при $x=-1$ — $y=-1$; при $x=0$ — $y=1$; при $x=1$ — $y=3$; при $x=2$ — $y=5$. Записывают точки $(-2;-3)$, $(-1;-1)$, $(0;1)$, $(1;3)$, $(2;5)$. |
3 мин | Учитель демонстрирует построение. «Проведите оси координат, выберите единичный отрезок, отметьте точки и проверьте координаты двух из них. Соединяем точки не случайной ломаной, а линией, которая отражает изменение функции. График должен проходить через отмеченные точки». Учитель показывает на экране готовый эталон и задаёт вопрос: «Почему нельзя менять местами координаты точки?». | Строят координатные оси и пять точек, проверяют координаты по таблице. Отвечают: «Первая координата — значение $x$, вторая — значение $y$; при перестановке получится другая точка и другая зависимость». |
Запись в тетрадях
- Функцию можно задать формулой, таблицей или графиком.
- График функции — множество точек координатной плоскости с координатами $(x;y)$, где $y$ соответствует значению функции при данном $x$.
- Алгоритм построения: выбрать значения $x$; вычислить соответствующие значения $y$; составить пары $(x;y)$; отметить точки; провести график.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли алгоритм: формула превращается в таблицу, таблица — в набор точек, а набор точек — в график. Теперь проверим этот алгоритм на коротких заданиях и научимся объяснять каждый шаг».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить способы задания функции и алгоритм построения графика с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Математический светофор». «Покажите зелёную карточку, если утверждение верно, красную — если неверно. Утверждение первое: точка $(1;3)$ принадлежит графику $y=2x+1$. Второе: при построении графика достаточно вычислить одно значение. Третье: таблица значений содержит пары аргумент — значение функции». После каждого ответа просит объяснение. | Поднимают карточки и объясняют: первое утверждение верно, так как $2\cdot1+1=3$; второе неверно, одной точки недостаточно; третье верно. Исправляют неверное утверждение в тетради. |
4 мин | Учитель раздаёт парам задание: «Для функции $y=-x+2$ выберите любые три значения $x$ из набора $-1,0,1,2,3$, заполните таблицу и назовите координаты точек. Один партнёр вычисляет, другой проверяет». Затем просит одну пару озвучить результат. | Заполняют, например, таблицу: $x=-1,0,1$; $y=3,2,1$. Называют точки $(-1;3)$, $(0;2)$, $(1;1)$ и проговаривают алгоритм. Сверяют ответ с экраном. |
Эталон решения
Для функции $y=-x+2$ при $x=-1$ получаем $y=-(-1)+2=3$, при $x=0$ получаем $y=2$, при $x=1$ получаем $y=-1+2=1$. Таблица: $x: -1,0,1$; $y: 3,2,1$. Точки: $(-1;3)$, $(0;2)$, $(1;1)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы проговорили каждый шаг и увидели, что ошибка в вычислении сразу меняет координату точки. Теперь каждый самостоятельно проверит, может ли он применить алгоритм без подсказки пары».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение способов задания функции, вычисления значений и построения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет критерии. «Работаем самостоятельно. Сначала выполните обязательные задания, затем выберите повышенный или дополнительный пункт. Проверять начнём только после сигнала. На полях отмечайте место, где возникло сомнение». | Читают инструкцию, выбирают последовательность работы, готовят координатную плоскость и записывают дату. |
5 мин | Учитель раздаёт карточки. «Вариант для всех: для функции $y=x-2$ найдите значения при $x=-1,0,2,4$, составьте таблицу и отметьте точки. Затем ответьте, принадлежит ли точка $(3;1)$ графику. Если закончили, выполните дополнительное задание: опишите функцию словесно». | Вычисляют значения: $-3,-2,0,2$, записывают точки $(-1;-3)$, $(0;-2)$, $(2;0)$, $(4;2)$, строят их и проверяют точку $(3;1)$: да, принадлежит. |
3 мин | Учитель выводит эталон на экран. «Сверьте не только ответы, но и порядок действий: значения $x$, вычисления, пары координат, положение точек. Поставьте себе плюс за верный шаг, а ошибку исправьте другим цветом». | Сверяют с эталоном, исправляют вычислительные или графические ошибки, подсчитывают верные действия. Формулируют причину ошибки: «перепутал координаты», «не учёл знак минус», «не подписал оси». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без помощи. Осталось связать результат с вопросами, которые мы ставили в начале, и определить, какой шаг требует дополнительной тренировки».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, зафиксировать затруднения и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки. «Закончите три фразы: “Сегодня я научился…”, “Теперь я могу…”, “Мне нужно потренироваться…”. Затем поставьте цвет: зелёный — выполняю самостоятельно, жёлтый — иногда нужна подсказка, красный — пока не получается». | Заполняют лист самооценки: называют изученные способы, оценивают умение строить график, отмечают конкретное затруднение. |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу. «Как связаны формула, таблица и график? Почему график нельзя строить по случайным точкам?». Выслушивает два ответа и уточняет формулировки. | Отвечают: «Формула задаёт правило, таблица содержит рассчитанные пары, график изображает эти пары точками». Объясняют, что точки должны быть получены по одной формуле. |
1 мин | Учитель объясняет уровни домашнего задания и контрольные вопросы. «Выберите уровень осознанно: обязательный выполняют все, повышающий выбирают те, кто хочет больше практики, дополнительный — те, кто готов исследовать». | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, сдают лист самооценки или прикрепляют его на доску по цвету. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы научились видеть одну функцию в трёх формах и переходить от формулы к графику через таблицу. На следующем уроке будем использовать графики для чтения информации и сравнения функций».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно вычислены все четыре значения функции, составлена таблица, корректно записаны координаты и построены все точки; правильно проверена принадлежность точки графику, работа оформлена аккуратно.
- «4» — выполнены правильно не менее трёх вычислений и построена основная часть графика; допущена одна неточность в координатах, оформлении или объяснении, но общий алгоритм соблюдён.
- «3» — правильно выполнены не менее двух вычислений и распознана связь формулы с таблицей либо графиком; имеются ошибки в построении или проверке точки, требующие коррекции.
- «2» — не выполнен алгоритм перехода от формулы к таблице, большинство значений вычислено неверно или график не соответствует заданной функции.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие три способа задания функции мы сегодня использовали? | Проверка осознания нового понятия и различения формулы, таблицы и графика. |
Какой шаг алгоритма построения графика оказался для вас самым важным? | Выявление понимания последовательности действий и места возможного затруднения. |
Как вы проверите, принадлежит ли точка графику функции? | Проверка осознанного применения подстановки и связи координат с формулой. |
Какого цвета ваша самооценка и что поможет перейти на следующий уровень? | Формирование навыка самоконтроля и планирование коррекционной работы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что формула, таблица и график — это разные языки описания одной функции. Главная последовательность такова: вычислить значения, записать пары координат, отметить точки и проверить построение. Будьте внимательны к знакам и не меняйте местами координаты точки: это самая частая ошибка. На следующем уроке мы будем читать информацию непосредственно с графика и сравнивать значения функций».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: для двух линейных функций составить таблицы по четырём значениям аргумента, построить графики по точкам и проверить принадлежность одной указанной точки каждому графику. | Закрепляет вычисление значений, запись координат и базовый алгоритм построения; при проверке обратить внимание на знаки, масштаб и подписи осей. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания на переход между способами задания функции: по формуле составить таблицу, по таблице восстановить несколько значений функции, по готовому графику определить значения функции в трёх точках. | Развивает умение устанавливать соответствие между формулой, таблицей и графиком; при проверке оценить точность чтения координат. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать функцию из реального контекста, например зависимость стоимости покупки от количества одинаковых товаров: описать её словесно, задать формулой, составить таблицу из пяти значений и построить график. | Формирует функциональную и математическую грамотность; при проверке смотреть на обоснованность формулы, единицы измерения, полноту таблицы и соответствие графика условию. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют графиком функции? Как получить координаты точки по формуле? Почему для построения графика нужна таблица значений? Как проверить, принадлежит ли точка $(a;b)$ графику функции $y=f(x)$?»
