Графики функций $y=x^{2}$ и $y=x^{3}$
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться строить по таблице значений и распознавать графики функций $y=x^{2}$ и $y=x^{3}$, определять их симметрию, расположение относительно координатных осей и использовать эти свойства для проверки построения.
- Сформировать представление о параболе как графике функции $y=x^{2}$ и кубической параболе как графике функции $y=x^{3}$; установить связь между формулой, таблицей значений и графиком.
- Научиться составлять таблицы значений, отмечать точки на координатной плоскости и соединять их плавной линией.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, сравнивать графики, находить закономерности и аргументировать выводы.
- Воспитывать аккуратность при построении графиков, самостоятельность выбора способа проверки и ответственное отношение к математическому результату.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию зависимости между формулой и графическим образом функции.
- Осознают ценность точности, аккуратности и проверки результата при работе с координатной плоскостью.
- Развивают готовность самостоятельно выбирать уровень задания и оценивать собственное продвижение.
- Понимают практическую роль графиков в математике, естественных науках и будущей профессиональной деятельности.
Метапредметные
- Составляют план построения графика и контролируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из формулы, таблицы и графического изображения, переводят её из одной формы в другую.
- Сравнивают $y=x^{2}$ и $y=x^{3}$ по заданным признакам и формулируют выводы на основе наблюдений.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор графика.
- Используют координатную сетку и, при наличии оборудования, цифровое построение для проверки гипотезы.
Предметные
- Знать значения функций $y=x^{2}$ и $y=x^{3}$ при целых $x$ из небольшого заданного набора.
- Уметь строить таблицы значений и графики функций $y=x^{2}$ и $y=x^{3}$ на координатной плоскости.
- Уметь распознавать параболу и кубическую параболу по характерным точкам и свойствам симметрии.
- Уметь объяснять, что график функции состоит из точек $(x;y)$, координаты которых связаны формулой.
- Уметь проверять построение подстановкой координат выбранных точек в формулу.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться строить и проверять два графика.
- Осознают смысл изучения графиков как способа наглядно описывать зависимости.
- Проявляют настойчивость при исправлении неточностей в построении.
- Оценивают собственную готовность применять новый способ в незнакомой задаче.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель после выявления затруднения в построении графика.
- Планируют действия: выбрать значения $x$, вычислить $y$, отметить точки, соединить их и проверить.
- Сверяют построенный график с таблицей и эталоном, находят и исправляют ошибки.
- Оценивают результат по критериям правильности, полноты и аккуратности.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки функций $y=x^{2}$ и $y=x^{3}$ и представляют их в таблице сравнения.
- Устанавливают связь между противоположными значениями аргумента и симметрией графика.
- Моделируют зависимость с помощью таблицы, точек и линии графика.
- Анализируют ошибочные построения и объясняют причину ошибки.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, строитель графика, проверяющий; при необходимости меняются ролями.
- Формулируют вопросы по способу построения и дают точные ответы.
- Аргументируют вывод о симметрии графика ссылкой на значения функции.
- Согласуют общий вариант таблицы сравнения и корректно обсуждают разные гипотезы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить координатную сетку на доске или экране с отмеченными осями, единичным отрезком и началом координат.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые таблицы значений, задания на сравнение графиков и исследовательское задание — по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить бланк самооценки с пунктами «составляю таблицу», «строю точки», «определяю симметрию», «проверяю результат» — по одному на каждого ученика.
- Раздать каждой паре лист миллиметровой бумаги или координатную сетку, линейку и два цветных карандаша.
- Вывести на экран проблемный вопрос: «Как по формуле заранее предсказать форму графика?» и изображения двух незавершённых графиков без подписей.
- Подготовить на доске памятку: «1. Выбери $x$. 2. Вычисли $y$. 3. Запиши точки. 4. Построй. 5. Проверь».
- Подготовить эталонные таблицы для $x=-2,-1,0,1,2$ и отдельный лист с типичными ошибками.
- При наличии оборудования открыть динамическую координатную модель или графический калькулятор для проверки, но не заменять им ручное построение.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и вызвать интерес к связи формулы с графиком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два незавершённых графика без подписей: «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто строить линии, а выяснять, какую информацию формула сообщает о форме графика. Посмотрите на экран и определите, чем могут отличаться зависимости, изображённые здесь». | Рассматривают два изображения, называют предполагаемые различия: «Один график симметричен относительно оси $Oy$, другой проходит через начало координат и имеет две ветви». |
2 мин | Учитель организует приём «Гипотеза»: «Запишите в тетради одно предположение: какой график может соответствовать $y=x^{2}$, а какой — $y=x^{3}$. Обоснуйте выбор одним признаком. Пока не стремитесь угадать окончательный ответ — сегодня мы проверим гипотезу вычислениями». | Записывают индивидуальную гипотезу, затем обсуждают её с соседом 30 секунд и формулируют предположение: «Квадрат не меняется при замене $x$ на $-x$, поэтому график должен быть симметричным» или «Куб сохраняет знак числа, поэтому график проходит через две противоположные области». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Гипотезы есть, но одного впечатления недостаточно. Чтобы сделать математически обоснованный вывод, нам понадобится таблица значений и точное построение графиков».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о функции, координатах точки и алгоритме построения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устную разминку: «Вспомним, что называют функцией. Если задано $y=x^{2}$, какая переменная является аргументом, а какая зависит от неё? Что нужно вычислить, если мы выбрали значение $x$?» | Отвечают: «$x$ — аргумент, $y$ — функция; для выбранного $x$ нужно вычислить соответствующее значение $y$». |
3 мин | Учитель записывает на доске точки $A(2;4)$, $B(-2;4)$, $C(1;-1)$ и спрашивает: «Какие точки имеют одинаковую ординату? Как расположены $A$ и $B$ относительно оси $Oy$? Как проверить, принадлежит ли точка графику?» | Определяют, что $A$ и $B$ имеют одинаковую ординату и симметричны относительно $Oy$; формулируют проверку: «Подставить координаты точки в формулу и убедиться, что равенство выполняется». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что график строится по точкам $(x;y)$, а принадлежность точки проверяется формулой. Теперь выясним, какие значения выбрать и почему одни точки помогают увидеть форму графика лучше других».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель и план исследования.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задание: «Постройте мысленно график $y=x^{2}$ только по точкам для $x=0$ и $x=1$. Достаточно ли их, чтобы понять всю форму? А если взять только положительные значения $x$ для функции $y=x^{3}$? Что может потеряться?» | Объясняют: «Двух точек недостаточно; для $y=x^{2}$ нужно увидеть левую и правую части, а для $y=x^{3}$ — значения при отрицательных $x$, чтобы увидеть вторую часть графика». |
2 мин | Учитель фиксирует на доске вопрос: «Как построить и описать графики $y=x^{2}$ и $y=x^{3}$?» и предлагает сформировать план: «Какие шаги приведут нас от формулы к графику? Какие свойства нужно сравнить?» | Предлагают план: «Выбрать несколько значений $x$, вычислить $y$, отметить точки, соединить их плавно, проверить точки и сравнить симметрию и расположение графиков». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: по формуле построить оба графика и объяснить их различия. Работать будем исследовательски: сначала построим, затем назовём свойства, а не будем заучивать их без доказательства».
Этап 4. Открытие нового знания (11 мин)
Цель этапа: построить графики по таблицам значений и вывести их основные свойства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам листы с координатной сеткой: «Начнём с $y=x^{2}$. Возьмём значения $x=-2,-1,0,1,2$. Заполните таблицу, проговаривая вычисление. Обратите внимание: при возведении в квадрат отрицательное число даёт положительный результат». Учитель фиксирует эталон: $(-2;4),(-1;1),(0;0),(1;1),(2;4)$. | В парах вычисляют значения, записывают таблицу и отмечают пять точек. Формулируют наблюдение: «Значения при $x=-1$ и $x=1$ совпадают, как и при $x=-2$ и $x=2$». |
3 мин | Учитель продолжает: «Теперь исследуем $y=x^{3}$. Используем те же значения $x$. Сравните знак $x$ и знак $y$. Запишите точки и соедините их плавной линией, не заменяя график ломаной». | Вычисляют точки $(-2;-8),(-1;-1),(0;0),(1;1),(2;8)$, строят возрастающую кривую через начало координат, отмечают сохранение знака: «Если $x<0$, то $y<0$; если $x>0$, то $y>0$». |
4 мин | Учитель организует «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сравните два графика по трём признакам: симметрия, расположение при отрицательных $x$, прохождение через начало координат. Подтвердите каждый вывод конкретными точками или равенством». | Сравнивают графики и сообщают: «График $y=x^{2}$ — парабола, симметричная относительно $Oy$, и не опускается ниже оси $Ox$. График $y=x^{3}$ — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат, проходит через начало и имеет точки в третьей и первой координатных четвертях». |
Запись в тетрадях
Записывают алгоритм построения графика и вывод: «График $y=x^{2}$ — парабола с вершиной $(0;0)$, симметричная относительно оси $Oy$. График $y=x^{3}$ — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат и проходящая через точку $(0;0)$».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы перешли от формул к таблицам и от таблиц к графикам. Теперь проверим новый способ на коротких заданиях и убедимся, что свойства графиков помогают быстро обнаруживать ошибки».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм построения и умение распознавать график по свойствам.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку с заданием: «Для функции $y=x^{2}$ проверьте, принадлежат ли графику точки $A(-3;9)$, $B(2;4)$, $C(-1;-1)$. Запишите вычисления, а не только ответ». | Индивидуально подставляют координаты: для $A$ получают $(-3)^{2}=9$, для $B$ — $2^{2}=4$, для $C$ — $(-1)^{2}=1\ne-1$. Делают вывод: «$A$ и $B$ принадлежат, $C$ не принадлежит». |
2 мин | Учитель просит пары поднять карточку с ответом и разбирает типичную ошибку: «Почему нельзя записать $(-1)^{2}=-1$? Где находятся скобки и что означает степень?» | Объясняют: «Степень относится ко всему числу в скобках; квадрат отрицательного числа положителен». |
2 мин | Учитель показывает три эскиза без формул: парабола, прямая через начало и кубическая парабола. «Выберите график функции $y=x^{3}$ и назовите два доказательства выбора». | Выбирают кубическую параболу, аргументируют: «Она проходит через $(0;0)$, точки при положительных $x$ имеют положительные $y$, а при отрицательных — отрицательные; график симметричен относительно начала координат». |
Эталон решения
Для точки $A(-3;9)$: вычисляем $y=(-3)^{2}=9$, поэтому точка принадлежит графику. Для точки $B(2;4)$: $y=2^{2}=4$, поэтому точка принадлежит графику. Для точки $C(-1;-1)$: $y=(-1)^{2}=1$, а $1\ne-1$, поэтому точка графику не принадлежит.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм работает и для построения, и для проверки точки. Теперь каждый выполнит небольшую работу самостоятельно, а затем сверит результат с эталоном».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение построения и анализа графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает выбор карточки: «Выполните базовый вариант или, если готовы, повышенный. Базовый: заполните таблицу для $y=x^{3}$ при $x=-2,-1,0,1,2$ и постройте график. Повышенный: сравните значения $y=x^{2}$ и $y=x^{3}$ при $x=-2,-1,0,1,2$ и сформулируйте два вывода». Учитель напоминает критерии: точная таблица, верные точки, плавная линия, подписи осей. | Индивидуально выполняют выбранный вариант. В базовом варианте получают значения $-8,-1,0,1,8$; в повышенном составляют сравнительную таблицу и отмечают, например, что при $x=2$ значения равны $4$ и $8$, а при $x=-2$ — $4$ и $-8$. |
3 мин | Учитель открывает эталон на экране и говорит: «Проверьте сначала вычисления, затем координаты точек и форму линии. Отметьте зелёным верное, жёлтым исправленное, красным требующее помощи. Если ошибка есть, укажите её причину одним словом: знак, вычисление, координата или соединение точек». | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки, заполняют лист самооценки и при необходимости формулируют вопрос соседу или учителю. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала не только количество ошибок, но и их причину. Осталось включить новые графики в систему знаний и сформулировать, чем они отличаются наиболее существенно».
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить свойства функций, осмыслить результат и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает заполнить на доске таблицу сравнения: «Назовите для каждой функции форму графика, симметрию, поведение при отрицательных и положительных $x$, наличие общей точки. Я буду фиксировать только математически точные формулировки». | Предлагают и корректируют формулировки: «$y=x^{2}$ — парабола, симметрия относительно $Oy$, $y\ge0$; $y=x^{3}$ — кубическая парабола, симметрия относительно начала координат, знак $y$ совпадает со знаком $x$; обе проходят через $(0;0)$». |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: «Ответьте письменно на два вопроса: какой график вы узнаете по симметрии относительно $Oy$ и почему точка $(-2;4)$ важна для $y=x^{2}$? Запишите также один вопрос, который ещё требует тренировки». | Пишут ответы: «$y=x^{2}$; точка $(-2;4)$ принадлежит графику и симметрична точке $(2;4)$». Формулируют личную зону затруднения. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и завершает урок: «Выберите уровень с учётом сегодняшней самооценки. Важно не просто получить рисунок, а сохранить таблицу и объяснение, как вы проверяли точки». | Записывают выбранный уровень домашней работы, сверяют его с листом самооценки и называют один освоенный навык. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы научились видеть за формулой графический образ и проверять построение свойствами функции. На следующем уроке будем использовать графики для чтения значений и решения задач, поэтому сохраните таблицы и аккуратно подпишите оси».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — без ошибок заполнены таблица и построение выбранного графика; точки нанесены верно, оси и единичный отрезок подписаны, форма графика и свойство симметрии объяснены.
- «4» — выполнено задание с одной неточностью в вычислениях, координатах или оформлении, но общий алгоритм и свойства графика определены верно.
- «3» — правильно выполнена основная часть таблицы и нанесены несколько ключевых точек, однако есть две или более ошибки в построении либо объяснении свойств; после подсказки ученик исправляет работу.
- Оценка может быть повышена при самостоятельном выполнении задания повышенного уровня с корректным сравнением двух функций.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как по формуле перейти к построению графика? | Проверка осознания алгоритма «значения — точки — линия — проверка». |
Какое свойство помогает проверить график $y=x^{2}$? | Выявление понимания симметрии относительно оси $Oy$. |
Чем график $y=x^{3}$ отличается от графика $y=x^{2}$? | Проверка способности сравнивать объекты по нескольким признакам. |
Какая ошибка при построении или вычислении требует дополнительной тренировки? | Выявление индивидуальных точек затруднения и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что формула задаёт не только вычисление, но и форму графика. Для $y=x^{2}$ важно не потерять скобки при возведении отрицательного числа в квадрат и помнить о симметрии относительно оси $Oy$. Для $y=x^{3}$ нужно учитывать знак значения и симметрию относительно начала координат. На следующем уроке мы будем читать координаты точек по графику и применять эти свойства к задачам. Сохраните свои таблицы: они станут основой для дальнейшей работы».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Составить таблицы значений и построить на одной координатной плоскости графики $y=x^{2}$ и $y=x^{3}$ для $x=-2,-1,0,1,2$; подписать оси, единичный отрезок и графики. | Закрепляет алгоритм построения; при проверке смотреть на вычисления, координаты точек, плавность линий и наличие подписей. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 заданий на проверку принадлежности точек графикам $y=x^{2}$ и $y=x^{3}$, а также определить по свойствам, какой формуле соответствует каждый из двух предложенных эскизов. | Закрепляет подстановку координат и распознавание графика; при проверке обращать внимание на обоснование, а не только на ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить мини-исследование: сравнить значения $x^{2}$ и $x^{3}$ при пяти целых значениях $x$, включая отрицательные, и сформулировать не менее трёх выводов о знаках, симметрии и взаимном расположении точек. | Развивает анализ и самостоятельное формулирование закономерностей; при проверке смотреть на точность таблицы и доказательность выводов. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какой вид имеет график $y=x^{2}$? Относительно чего он симметричен? Через какую точку проходит график $y=x^{3}$? Как проверить принадлежность точки графику функции?»
