График функции $y = |x|$
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться строить график функции $y = |x|$ по таблице значений и свойствам модуля, описывать его симметрию и использовать график для определения значений функции и аргумента.
- Сформировать представление о графике функции $y = |x|$ как о ломаной, состоящей из двух лучей, и установить координаты её вершины.
- Научиться составлять таблицу значений функции $y = |x|$, наносить точки на координатную плоскость и соединять их с учётом области определения.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, проверять её по данным таблицы и объяснять, почему график симметричен относительно оси $Oy$.
- Воспитывать аккуратность математической записи, готовность аргументировать решение и самостоятельно выбирать уровень тренировочного задания.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию графиков функций и видят связь математической модели с инженерными, архитектурными и компьютерными задачами.
- Осознают ценность точной и аккуратной записи при построении графика.
- Развивают готовность самостоятельно выбирать посильный уровень задания и отвечать за результат.
- Формируют положительное отношение к обсуждению различных способов решения и уважение к аргументам одноклассников.
Метапредметные
- Умеют извлекать информацию из формулы, таблицы значений и координатной плоскости.
- Устанавливают закономерность изменения значений функции при противоположных значениях аргумента.
- Планируют последовательность построения графика и проверяют результат по контрольным точкам.
- Формулируют гипотезу о симметрии графика и подтверждают её математическими примерами.
- Участвуют в парном обсуждении, задают уточняющие вопросы и кратко аргументируют вывод.
Предметные
- Знают определение модуля числа и понимают, что $|x|$ — неотрицательное число.
- Умеют вычислять значения функции $y = |x|$ для заданных значений $x$.
- Умеют строить график функции $y = |x|$ по таблице значений на координатной плоскости.
- Умеют описывать область определения, множество значений, нуль функции и симметрию графика.
- Умеют использовать график для нахождения значения функции при заданном аргументе и аргументов при заданном значении функции.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат: построить график без пропусков и объяснить его свойства.
- Осознают значение самостоятельной проверки для исправления ошибок в математической работе.
- Проявляют готовность принимать затруднение как основание для поиска нового способа действия.
- Связывают точность графической модели с практической надёжностью математических расчётов.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования графика на основе проблемного вопроса.
- Составляют план: вычислить значения, выбрать масштаб, построить точки, проверить симметрию и соединить точки.
- Сверяют координаты построенных точек с таблицей и обнаруживают графические ошибки.
- Оценивают результат по критериям и при необходимости корректируют масштаб или положение точки.
Познавательные УУД
- Преобразуют формулу функции в таблицу числовых значений.
- Сравнивают значения $f(-x)$ и $f(x)$ и делают вывод о симметрии.
- Выделяют существенные признаки графика: вершину, два луча, ось симметрии и неотрицательность ординат.
- Моделируют зависимость между $x$ и $y$ на координатной плоскости.
- Находят и объясняют ошибку в неверном построении графика.
Коммуникативные УУД
- Распределяют действия в паре: один ученик вычисляет значения, другой проверяет записи и построение.
- Формулируют вопросы по таблице и графику, используя математические термины.
- Аргументируют вывод о симметрии примерами пар точек.
- Согласуют общий вариант ответа и корректно реагируют на альтернативные гипотезы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить координатную плоскость на доске или интерактивном экране с единичным масштабом по обеим осям.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовый — таблица и построение; повышающий — чтение свойств графика; дополнительный — исследовательское задание, по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить листы с пустой координатной плоскостью — по одному на каждого ученика, а также два демонстрационных листа для работы у доски.
- Вывести на экран формулу $y = |x|$, таблицу со значениями $x = -3,-2,-1,0,1,2,3$ и проблемный вопрос: «Почему график не является прямой линией?»
- Приготовить цветные маркеры или магниты двух цветов для обозначения точек с отрицательными и положительными абсциссами.
- Разместить на доске краткую памятку: «модуль неотрицателен», «$|-x| = |x|$», «сначала точки, затем соединение».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и мини-листы для билета на выход.
- Проверить наличие у учеников тетрадей, линеек, карандашей, ручек и калькуляторов не использовать, чтобы вычисления выполнялись устно или письменно.
- Подготовить слайд с неверным графиком, проходящим ниже оси $Ox$, для этапа анализа ошибки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование и создать проблемную ситуацию, требующую нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, линейки и карандаша. Сегодня вы будете не только строить график, но и проверять гипотезу о его форме. Работать можно будет в паре, однако каждый построит собственный график и сможет выбрать уровень задания." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовят координатную плоскость и тетради. |
2 мин | Учитель показывает на экране формулу $y = |x|$ и спрашивает: "Как вы думаете, каким будет график этой функции: прямой, ломаной или кривой? Может ли он оказаться ниже оси $Ox$? Обсудите предположение с соседом 30 секунд, а затем назовите один аргумент." Учитель фиксирует разные гипотезы, не объявляя правильный ответ. | В течение 30 секунд формулируют предположение в паре; высказывают варианты: "график похож на прямую", "он состоит из двух частей", "ниже оси $Ox$ графика быть не должно". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Гипотезы есть, но пока ни одна не доказана. Сейчас восстановим свойства модуля и проверим наши предположения вычислениями."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать определение модуля и способы построения графика по таблице значений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что называется модулем числа? Чему равны $|5|$, $|-5|$ и $|0|$? Какое свойство модуля сразу подсказывает нам возможное расположение графика?" На доске записывает ответы и выделяет фразу «модуль неотрицателен». | Отвечают: "$|5| = 5$, $|-5| = 5$, $|0| = 0$"; формулируют вывод: "Значение $y = |x|$ не может быть отрицательным". |
3 мин | Учитель напоминает алгоритм: "Чтобы построить график функции, что мы делаем сначала? Верно, выбираем несколько значений аргумента, вычисляем значения функции, наносим точки и соединяем их. Возьмём числа по обе стороны от нуля: $-3,-2,-1,0,1,2,3$. Какую запись удобно сделать в тетради?" Учитель показывает заготовку таблицы. | Записывают заголовки таблицы $x$ и $y$, называют порядок действий: "выбрать значения, вычислить, построить точки, соединить". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что модуль неотрицателен и что график строится по точкам. Теперь выясним, какие точки получаются у функции и есть ли между ними закономерность."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить закономерность в таблице и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает работу «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вычислите значения $y$ для $x=-3,-2,-1,0,1,2,3$. Сначала каждый работает самостоятельно 40 секунд, затем сравните таблицы с соседом. Особое внимание обратите на пары $-1$ и $1$, $-2$ и $2$, $-3$ и $3$." | Самостоятельно вычисляют значения, затем сравнивают таблицы в паре и исправляют расхождения. Получают ряд $3,2,1,0,1,2,3$. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Что общего у значений функции при противоположных аргументах? Как это можно проверить формулой? Какую цель поставим на урок?" После ответов записывает на доске: $|-x| = |x|$. | Формулируют: "$f(-x)=f(x)$"; замечают одинаковые значения и предполагают симметрию относительно оси $Oy$; записывают цель: "построить график $y=|x|$ и описать его свойства". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели одинаковые значения для противоположных аргументов. Теперь построим график так, чтобы не просто получить рисунок, а доказать, почему его части расположены именно так."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: построить график функции $y = |x|$ и вывести его основные свойства через исследование таблицы и координатной плоскости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Заполните таблицу полностью. Для отрицательного аргумента сначала определите его модуль, затем запишите положительное значение. Например, при $x=-3$ получаем $y=|-3|=3$. Проверьте друг друга в паре: значения в строке $y$ должны быть симметричны относительно центрального нуля." Учитель демонстрирует одну строку, остальные оставляет для самостоятельного вычисления. | Заполняют таблицу: $x$: $-3,-2,-1,0,1,2,3$; $y$: $3,2,1,0,1,2,3$. В паре проверяют вычисления и называют точки: $(-3;3)$, $(-2;2)$, $(-1;1)$, $(0;0)$, $(1;1)$, $(2;2)$, $(3;3)$. |
4 мин | Учитель показывает координатную плоскость: "Наносим точки аккуратно. Посмотрите, все ординаты неотрицательны, поэтому точки не попадут ниже оси $Ox$. Соединяем соседние точки отрезками. Почему нельзя соединить их одной прямой через вершину? Сравните наклон слева и справа от нуля." Учитель проводит два луча, имеющие общую вершину $(0;0)$. | Наносят семь точек, соединяют точки слева от начала координат и точки справа от него. Отвечают: "Получается ломаная с вершиной в начале координат; слева график убывает к нулю, справа возрастает". |
3 мин | Учитель обобщает: "График имеет форму буквы V и состоит из двух лучей с общей точкой $(0;0)$. Запишем свойства: область определения — все действительные числа; множество значений — $y\geq0$; нуль функции — $x=0$; график симметричен относительно оси $Oy$, потому что $|-x|=|x|$." | Записывают свойства в тетрадь, подчёркивают координаты вершины и ось симметрии. Один ученик показывает на графике пары симметричных точек $(-2;2)$ и $(2;2)$. |
Запись в тетрадях
- $y=|x|$ — функция, принимающая только неотрицательные значения.
- График функции $y=|x|$ — ломаная в форме буквы V с вершиной в точке $(0;0)$.
- График симметричен относительно оси $Oy$, так как $|-x|=|x|$.
- Область определения: $x\in\mathbb{R}$; множество значений: $y\geq0$; нуль функции: $x=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не угадали форму графика на основании впечатления, а вывели её из таблицы и свойства модуля. Теперь проверим, умеем ли мы читать этот график и применять его свойства."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм построения и научиться читать основные свойства графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задания на графике: "Посмотрите на построенный рисунок и ответьте без нового построения. Чему равны $f(-4)$ и $f(4)$? При каких $x$ значение функции равно $3$? Есть ли точка графика с координатами $(2;-2)$? Обязательно объясняйте ответ ссылкой на график или свойство модуля." | По графику и формуле отвечают: "$f(-4)=4$, $f(4)=4$"; "$y=3$ при $x=-3$ и $x=3$"; "точки $(2;-2)$ нет, потому что значения модуля неотрицательны". |
2 мин | Учитель показывает на экране неверный рисунок: одна ветвь проходит ниже оси $Ox$. Спрашивает: "Найдите ошибку в построении. Какая строка таблицы или какое свойство опровергает этот рисунок?" | Работают в парах 1 минуту, указывают на ошибку: "Значение $y=|x|$ не бывает отрицательным; ветвь ниже оси $Ox$ построена неверно". |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями и поставьте две звезды за точную таблицу и правильную форму графика. Если нашли одну неточность, напишите короткое пожелание: какую координату нужно проверить." | Проверяют таблицу и график соседа, отмечают две сильные стороны и одно конкретное исправление. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм построения работает, а свойства помогают быстро проверять ответ. Следующий шаг — самостоятельное построение и чтение графика без подсказок."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом построения и чтения графика с учётом выбора уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выберите карточку базового, повышающего или дополнительного уровня. Базовый уровень обязателен для всех, а повышающий и дополнительный можно выбрать, если базовый выполнен уверенно. Работайте индивидуально, сначала прочитайте все условия и распределите время." | Выбирают карточку, записывают её уровень и приступают к работе. |
5 мин | Учитель наблюдает и при необходимости задаёт направляющие вопросы: "Какое значение имеет модуль отрицательного числа? Какой точкой начинается график? Проверьте, не появилась ли ордината ниже нуля." Базовая карточка: построить график по значениям $x=-2,-1,0,1,2$ и записать три свойства. Повышающая: по графику найти все $x$, при которых $|x|=2$, и сравнить $f(-5)$ с $f(5)$. Дополнительная: объяснить, почему график $y=|x|$ симметричен, используя равенство $f(-x)=f(x)$. | Выполняют выбранное задание. В базовом варианте составляют таблицу и строят график; в повышающем называют $x=-2$ и $x=2$, доказывают равенство значений; в дополнительном записывают рассуждение о симметрии. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте сначала таблицу, затем координаты точек и только после этого форму графика. Для задания $|x|=2$ ищем два числа, расстояние от которых до нуля равно двум. Ошибку исправьте другим цветом и поставьте рядом знак проверки." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки другим цветом, отмечают результат в листе самооценки: «получилось», «нужна помощь», «пока трудно». |
Эталон решения
Для базового задания: $x=-2,-1,0,1,2$; $y=2,1,0,1,2$. Наносим точки $(-2;2)$, $(-1;1)$, $(0;0)$, $(1;1)$, $(2;2)$ и соединяем соседние точки двумя лучами. Для уравнения $|x|=2$ расстояние от числа $x$ до нуля равно двум, поэтому $x=-2$ или $x=2$. Равенство $f(-5)=f(5)$ следует из $|-5|=|5|=5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили построение самостоятельно и увидели, на каком шаге возникает ошибка, если она появляется. Осталось обобщить свойства графика и зафиксировать личный результат урока."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить степень его освоения и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно построить график и назвать его свойства; жёлтую — если построение понятно, но чтение графика вызывает вопросы; красную — если нужна пошаговая помощь. Это не оценка, а сигнал для планирования следующей работы." | Поднимают карточку выбранного цвета и при необходимости кратко называют затруднение: "путаю область значений", "не уверен в симметрии", "умею строить точки". |
2 мин | Учитель предлагает билет на выход: "На отдельном листке запишите три пункта: форму графика; координаты вершины; одно свойство, которое позволяет проверить правильность построения. Внизу ответьте: при каких $x$ выполняется $|x|=4$?" | Заполняют билет: «V-образная ломаная», «$(0;0)$», «$y\geq0$ или $|-x|=|x|$»; записывают $x=-4$ и $x=4$. |
3 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите уровень с учётом сегодняшней самооценки. В каждом варианте проверяйте не только рисунок, но и таблицу значений. Вопросы для самопроверки: почему график не опускается ниже оси $Ox$? почему точки с противоположными абсциссами имеют одинаковые ординаты?" Учитель принимает билеты на выход. | Записывают выбранный уровень и содержание задания, формулируют один вопрос, который нужно уточнить на следующем уроке. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы построили график $y=|x|$ и доказали его свойства через таблицу и равенство $|-x|=|x|$. Проверьте дома, можете ли вы объяснить форму графика без рисунка, только по формуле."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — таблица значений заполнена без ошибок, все контрольные точки нанесены с правильными координатами, график имеет вид двух лучей с вершиной в $(0;0)$, верно указаны не менее четырёх свойств функции и дано обоснование симметрии.
- «4» — график и таблица в основном верны, допущена одна неточность в записи или формулировке свойства, которая исправлена при самопроверке; чтение значений выполнено правильно.
- «3» — построена основная часть графика и определена вершина, но допущены не более двух ошибок в таблице, масштабе или свойствах; после подсказки ученик может исправить построение.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как по формуле $y=|x|$ понять, что график не располагается ниже оси $Ox$? | Проверка понимания связи между определением модуля и множеством значений функции. |
Почему точки $(-2;2)$ и $(2;2)$ расположены симметрично относительно оси $Oy$? | Выявление осознанного применения равенства $|-x|=|x|$. |
Какой шаг алгоритма построения оказался самым сложным? | Выявление точек затруднения в таблице, выборе масштаба или нанесении точек. |
Можете ли вы по графику решить уравнение $|x|=3$? Объясните ответ. | Субъективная и предметная проверка готовности читать график и находить аргумент по значению функции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы построили график функции $y=|x|$ и увидели, что он состоит из двух лучей с общей вершиной в начале координат. Важно не просто запомнить форму буквы V, а уметь вывести её из таблицы и свойства $|-x|=|x|$. Типичная ошибка — размещать часть графика ниже оси $Ox$, хотя модуль не бывает отрицательным. На следующем уроке мы будем преобразовывать графики и исследовать, как изменение формулы влияет на их положение."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: составить таблицу значений и построить график $y=|x|$ на отрезке от $-4$ до $4$; указать область определения, множество значений, нуль функции и координаты вершины. | Закрепляет алгоритм построения и базовые свойства; при проверке смотреть на симметрию, масштаб и отсутствие точек ниже оси $Ox$. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 заданий на чтение графика: найти значения $f(-3)$ и $f(3)$, определить все $x$ при $|x|=1$, $|x|=4$, сравнить значения при противоположных аргументах и объяснить ответ. | Формирует умение переходить от графика к формуле и обратно; при проверке учитывать полноту множества решений и аргументацию. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить краткое исследование: сравнить графики $y=|x|$ и $y=x$ на промежутке от $-3$ до $3$, построить их на одной координатной плоскости и объяснить, на каком участке они совпадают, а на каком различаются. | Развивает анализ и математическое моделирование; при проверке смотреть на точность сравнения при $x<0$, $x=0$ и $x>0$. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какие значения принимает $y=|x|$? Где находится вершина графика? Относительно какой оси он симметричен? При каких $x$ выполняется $|x|=4$? Как по таблице проверить правильность построения?»
