Линейная функция $y=kx$: коэффициент наклона и график
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать функцию вида $y=kx$, находить её коэффициент $k$, строить график по двум точкам и объяснять, как знак и значение коэффициента влияют на направление и крутизну графика.
- Сформировать представление о прямой пропорциональности как зависимости, в которой отношение $y/x$ постоянно при $x\ne0$.
- Научиться составлять таблицу значений, выбирать удобные точки и строить график функции $y=kx$ в координатной плоскости.
- Развивать умение самостоятельно выводить свойства функции по таблице и графику, сравнивать графики и аргументировать выводы.
- Воспитывать ответственное отношение к вычислениям, готовность проверять результат и видеть математические зависимости в жизненных ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к описанию реальных зависимостей с помощью математической модели.
- Понимают ценность точных расчётов при планировании расходов, времени и расстояния.
- Осознают личную ответственность за достоверность построенного графика и сделанных выводов.
- Принимают возможность выбора уровня задания и оценивают собственное продвижение.
Метапредметные
- Извлекают информацию из таблицы, формулы и графика, преобразуют один способ представления в другой.
- Сравнивают зависимости по числовым данным и геометрическому расположению графиков.
- Планируют последовательность построения графика и выполняют самопроверку по контрольным точкам.
- Участвуют в диалоге, формулируют гипотезы и обосновывают выводы на основе примеров.
Предметные
- Знать определение линейной функции $y=kx$ и смысл коэффициента $k$.
- Уметь находить значение функции по заданному аргументу и составлять таблицу значений.
- Уметь строить график функции $y=kx$ по двум точкам, включая начало координат.
- Уметь определять по знаку $k$, возрастает или убывает функция.
- Уметь объяснять, что график функции $y=kx$ является прямой, проходящей через начало координат.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения функции через примеры зависимости стоимости от количества товара.
- Проявляют познавательный интерес к поиску закономерностей в таблицах и графиках.
- Оценивают собственную уверенность при построении координатной плоскости.
- Соблюдают математическую аккуратность как условие получения надёжного результата.
Регулятивные УУД
- Совместно формулируют цель урока и планируют действия для её достижения.
- Контролируют соответствие построенного графика формуле и выбранным точкам.
- Находят и исправляют ошибки в вычислении значений и масштабе осей.
- Оценивают результат по предложенным критериям и определяют следующий шаг.
Познавательные УУД
- Выделяют постоянное отношение $y/x$ в таблице значений.
- Моделируют жизненную ситуацию формулой $y=kx$.
- Сравнивают графики при положительном, отрицательном и нулевом значении $k$.
- Строят логическое рассуждение от частных примеров к общему свойству графика.
Коммуникативные УУД
- Формулируют предположения и задают уточняющие вопросы.
- Обсуждают в парах различия между графиками двух функций.
- Аргументируют ответ ссылкой на формулу, таблицу или рисунок.
- Корректно принимают замечания партнёра и совместно исправляют неточность.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с двумя жизненными ситуациями: стоимость одинаковых товаров и расстояние при постоянной скорости.
- Раздать каждому ученику карточку с таблицами для функций $y=2x$, $y=-x$ и $y=0{,}5x$.
- Подготовить на каждую парту координатную сетку и линейку; предусмотреть запасные листы.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовый — вычисление значений, повышающий — построение графиков, дополнительный — анализ и сравнение.
- Вывесить на доске памятку: «1. Выбери $x$. 2. Вычисли $y$. 3. Отметь точки. 4. Проведи прямую. 5. Проверь начало координат».
- Подготовить цветные маркеры или магниты для обозначения точек $(0;0)$ и второй точки.
- Подготовить слайд с вопросами: «Что постоянно? Как меняется $y$ при увеличении $x$? Что означает знак $k$?»
- Оборудование: доска или интерактивная панель, проектор, линейки, тетради, карточки, координатные сетки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учеников в деятельность и показать практический смысл зависимости $y=kx$.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки, линейки и карточки. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и умение замечать закономерность. Запишите дату и тему, которую мы выведем вместе." | Проверяют готовность, открывают тетради, записывают дату; предполагают тему по словам «зависимость», «график», «коэффициент».ер |
3 мин | Учитель показывает ситуацию: "Один билет стоит 80 рублей. Сколько стоят 2, 3, 4 билета? А если число билетов обозначить буквой $x$, а стоимость — буквой $y$, как записать зависимость? Что в ней не меняется?" Учитель фиксирует ответы на доске и спрашивает: "Можно ли такую зависимость показать таблицей и графиком?" | Считают стоимость для нескольких значений, отвечают: "Стоимость одного билета — 80 рублей; $y=80x$". Формулируют: "При увеличении числа билетов стоимость увеличивается пропорционально". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели зависимость, в которой одно и то же число умножается на $x$. Сегодня выясним, как устроены такие функции, как по коэффициенту предсказать поведение графика и как построить его без лишних вычислений."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о координатной плоскости, функции и построении точек.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Вспомним, что называют аргументом и значением функции. Если задано $y=3x$, что произойдёт с $y$, когда $x=0$, $x=1$, $x=-2$? Проговорите вычисления вслух." | Отвечают: "Аргумент — $x$, значение функции — $y$"; вычисляют $y=0$, $y=3$, $y=-6$; записывают пары $(0;0)$, $(1;3)$, $(-2;-6)$. |
2 мин | Учитель записывает на доске точку $A(2;4)$ и спрашивает: "Что означает первое число? Что означает второе? В какой четверти находится точка? Как проверить, что она лежит на графике $y=2x$?" | Называют абсциссу и ординату, определяют первую четверть, выполняют проверку: $4=2\cdot2$. |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сравните формулы $y=2x$ и $y=2x+3$. Какая величина в них меняется при увеличении $x$ одинаково, а какая добавлена отдельно?" | 30 секунд размышляют индивидуально, минуту обсуждают в парах, формулируют: "В первой зависимости значение равно произведению $2x$, во второй есть ещё постоянное слагаемое 3". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили координаты, пары чисел и проверку принадлежности точки графику. Теперь выясним, что особенного в формуле без постоянного слагаемого — в функции $y=kx$."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: подвести учеников к самостоятельной формулировке определения и плана изучения функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует таблицу для $y=2x$: $x$: $-2,-1,0,1,2$; $y$: $-4,-2,0,2,4$. "Посмотрите на числа. Как получить вторую строку из первой? Какое отношение между $y$ и $x$ остаётся постоянным?" | Находят правило умножения на 2, отвечают: "$y/x=2$ при $x\ne0$". |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Почему графики $y=2x$ и $y=-2x$ имеют разное направление? Что можно узнать о графике, даже не строя его полностью? Сформулируйте цель и план." | Предлагают цель: "Научиться строить и описывать график $y=kx$". Называют план: определить коэффициент, составить таблицу, отметить точки, сравнить графики и сделать вывод о знаке $k$. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План принят. Будем не просто запоминать свойства, а проверять каждое свойство на таблице и рисунке. Сначала откроем новое правило через конкретные примеры."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать определение функции $y=kx$, установить свойства её графика и смысл коэффициента $k$.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на доску три зависимости: $y=2x$, $y=-x$, $y=0{,}5x$. "Определите коэффициент в каждой формуле. Выберите по два значения $x$, вычислите $y$ и отметьте полученные пары. Что общего у всех таблиц?" | Работают в парах, составляют краткие таблицы. Формулируют: "Во всех формулах $y$ равно произведению постоянного числа $k$ и $x$; при $x=0$ получается $y=0$". |
3 мин | Учитель задаёт вопросы Сократовского диалога: "Какая точка есть у каждого графика? Почему? Если $k>0$, что происходит с $y$ при увеличении $x$? Если $k<0$? Как по рисунку узнать знак $k$?" Учитель соединяет точки прямыми. | Отвечают: "Все графики проходят через начало координат $(0;0)$"; "$k>0$ — функция возрастает, график идёт вверх справа; $k<0$ — убывает, график идёт вниз справа". |
2 мин | Учитель объясняет простыми словами: "Коэффициент $k$ показывает, насколько изменяется $y$ при увеличении $x$ на одну единицу. В жизненной задаче это может быть цена одной вещи или скорость. Чем больше положительный $k$, тем круче прямая вверх; чем меньше отрицательный $k$, тем круче она направлена вниз." | Записывают объяснение, приводят примеры: "$k=80$ — цена одного билета; $k=60$ — скорость 60 километров в час". |
2 мин | Учитель формулирует эталон: "Функция вида $y=kx$ называется прямой пропорциональностью. Её график — прямая, проходящая через начало координат. Для построения достаточно начала координат и ещё одной точки, найденной по формуле." | Сверяют свои выводы с эталоном, выделяют в записи определение, свойство графика и роль коэффициента. |
Запись в тетрадях
Функция вида $y=kx$ называется прямой пропорциональностью. Число $k$ — коэффициент прямой пропорциональности. График функции $y=kx$ — прямая, проходящая через начало координат $(0;0)$. При $k>0$ функция возрастает, при $k<0$ функция убывает, при $k=0$ график совпадает с осью $Ox$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели главное правило: коэффициент определяет направление и крутизну графика, а начало координат принадлежит любой такой прямой. Теперь проверим правило на конкретных заданиях и научимся строить график по алгоритму."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм построения графика и умение объяснять свойства функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку: "Постройте график $y=2x$. Выполните действия по памятке: выберите $x=0$ и $x=1$, найдите $y$, отметьте точки и проведите прямую. Не забудьте подписать координаты." Учитель показывает на доске начало координат и точку $(1;2)$. | Заполняют таблицу: $x=0,1$, $y=0,2$; отмечают точки $(0;0)$ и $(1;2)$, проводят прямую, подписывают формулу. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Проверьте три пункта: есть ли начало координат, правильно ли найдена вторая точка, проходит ли прямая через обе точки. Поставьте рядом две звезды и одно пожелание." | Проверяют построение партнёра, отмечают две сильные стороны и одну возможную неточность. |
2 мин | Учитель предлагает вопрос: "Для функции $y=-3x$ назовите, не строя график полностью, направление прямой и координаты одной удобной точки кроме начала координат. Объясните ответ." | Отвечают: "$k=-3<0$, функция убывает; при $x=1$ получаем точку $(1;-3)$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм построения работает: одна точка — начало координат, вторая находится подстановкой. Сейчас каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять этот алгоритм и объяснять результат."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение определения, вычислений и построения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает выбор карточки: "Выполните обязательное задание, затем при готовности переходите к повышенному. Базовый уровень: для $y=0{,}5x$ найдите значения при $x=-2,0,2$ и укажите две точки графика. Повышенный уровень: постройте графики $y=0{,}5x$ и $y=-0{,}5x$ в одной системе координат и сравните их." | Индивидуально вычисляют значения: для $x=-2$ получаем $y=-1$, для $x=0$ — $0$, для $x=2$ — $1$. Строят или сравнивают графики, формулируют различие: направления противоположны. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске: "Проверьте вычисления и рисунок. Точка $(0;0)$ обязательна. Для второй точки достаточно подставить удобное значение $x$. Исправьте ошибки другим цветом." | Сверяют с эталоном, исправляют вычисления и график, отмечают в листе самооценки: «могу вычислять», «могу строить», «могу объяснять знак $k$». |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Как изменится график, если заменить $k=2$ на $k=5$? Что произойдёт при $k=0$? Почему графики $y=3x$ и $y=-3x$ симметричны относительно оси $Oy$?" | Отвечают: "$y=5x$ будет круче; при $k=0$ получается ось $Ox$; знаки $y$ меняются на противоположные при том же $x$, поэтому графики симметричны относительно оси $Oy$". |
Эталон решения
Для $y=0{,}5x$: при $x=-2$ имеем $y=0{,}5\cdot(-2)=-1$, получаем точку $(-2;-1)$; при $x=0$ имеем $y=0$, получаем $(0;0)$; при $x=2$ имеем $y=1$, получаем $(2;1)$. Отмечаем точки и проводим через них прямую. Так как $k=0{,}5>0$, функция возрастает.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формула, таблица и график описывают одну и ту же зависимость. Осталось связать математическую модель с жизненной ситуацией и проверить, умеем ли мы читать график."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: применить знания к реальному контексту, обобщить свойства и оценить собственное продвижение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает ситуацию: "Такси берёт 120 рублей за каждый километр без фиксированной посадочной платы. Обозначьте расстояние через $x$, стоимость — через $y$. Запишите формулу и объясните смысл коэффициента. Сколько будет стоить поездка на 5 километров?" | Записывают $y=120x$, объясняют: "$k=120$ — стоимость одного километра"; вычисляют $y=120\cdot5=600$ рублей. |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если умеете построить график, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если пока трудно. Независимо от цвета закончите фразу: «Сегодня я понял, что…»" | Показывают карточку, формулируют: "График $y=kx$ проходит через начало координат" или "Знак $k$ задаёт направление прямой". |
1 мин | Учитель организует «Билет на выход»: "На отдельной строке ответьте: 1) что означает $k$; 2) какая точка принадлежит любому графику $y=kx$; 3) как понять по графику, что $k<0$?" | Письменно отвечают и сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы вывели свойства прямой пропорциональности, построили графики и применили формулу к стоимости поездки. По билетам на выход я увижу, какой шаг нужно дополнительно разобрать на следующем уроке."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно составлена таблица или выполнены все вычисления, построен график с началом координат и второй точкой, верно определены направление и смысл коэффициента.
- «4» — выполнены основные задания, но допущена одна неточность в вычислении, масштабе или объяснении, исправленная после проверки.
- «3» — правильно выполнена базовая часть: найдены значения функции и отмечена хотя бы одна точка; имеются отдельные ошибки в построении или формулировке свойства.
- Ниже базового уровня — работа требует доработки: не определён коэффициент, нарушен алгоритм построения или отсутствует проверка результата.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о функции $y=kx$? | Выявление осознания определения и ключевого свойства графика. |
Как по знаку коэффициента $k$ определить направление графика? | Проверка понимания связи формулы и геометрического образа. |
На каком шаге построения графика вы могли ошибиться? | Выявление точек затруднения в алгоритме. |
Где в жизни можно встретить зависимость $y=kx$? | Осознание практической ценности математической модели. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что формула $y=kx$ описывает прямую пропорциональность и реальные зависимости — например стоимость нескольких одинаковых товаров или путь при постоянной скорости. Главное свойство нужно помнить точно: график проходит через начало координат, а знак коэффициента определяет его направление. Типичная ошибка — забыть точку $(0;0)$ или неверно вычислить значение $y$ при отрицательном $x$. На следующем уроке мы продолжим читать и сравнивать графики функций, используя их свойства для решения задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на вычисление значений функций вида $y=kx$ при заданных значениях $x$; для двух функций составить таблицы и указать по две точки графика. | Закрепляет подстановку в формулу и связь формулы с координатами точек; проверять знак и точность вычислений. |
Средний (повышающий) | Построить в одной системе координат графики трёх функций: одной с положительным коэффициентом, одной с отрицательным и функции $y=0$. Сравнить их направление и положение. | Закрепляет построение графиков и анализ влияния коэффициента; проверять наличие точки $(0;0)$ и корректность масштаба. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить одну жизненную задачу на зависимость $y=kx$, например о стоимости товара, расстоянии или расходе материала; записать формулу, вычислить значение и описать график. | Развивает функциональную грамотность и умение создавать математическую модель; проверять реалистичность единиц измерения и объяснение коэффициента. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как называется функция вида $y=kx$? Что показывает коэффициент $k$? Через какую точку проходит её график? Как изменяется график при $k>0$, $k<0$ и $k=0$?»
