Формула разности квадратов
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать разность квадратов и применять формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ для разложения на множители, выполнения умножения и рационального вычисления числовых выражений.
- Сформулировать и обосновать правило разности квадратов через умножение суммы двух чисел на их разность.
- Научиться представлять одночлены и числа в виде квадратов, чтобы выделять разность квадратов.
- Отработать применение формулы к выражениям с числами, переменными и алгебраическими выражениями разной сложности.
- Развивать умение проверять преобразования раскрытием скобок и выбирать наиболее рациональный способ вычисления.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение алгебраических формул для упрощения вычислений и решения практических задач.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию закономерностей в алгебраических выражениях.
- Принимают ответственность за точность записи степеней, знаков и результатов преобразований.
- Развивают уверенность в самостоятельном выборе уровня задания и способа проверки решения.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки разности квадратов и сопоставляют выражение с известным правилом.
- Планируют последовательность преобразования: представить слагаемые квадратами, применить формулу, проверить результат.
- Работают с текстом учебника, извлекают определение, примеры и алгоритм действий.
- Аргументируют выбор способа вычисления и оценивают рациональность полученного решения.
Предметные
- Знать формулы $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ и $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
- Понимать, что разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и суммы.
- Уметь раскладывать на множители выражения вида $a^2-b^2$.
- Уметь выполнять умножение выражений вида $(a+b)(a-b)$ и рационально вычислять произведения чисел.
- Уметь проверять применение формулы раскрытием скобок.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться узнавать и применять формулу разности квадратов.
- Осмысливают связь точности алгебраической записи с правильностью результата.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение через исследование и проверку гипотез.
- Оценивают собственный прогресс по количеству самостоятельно выполненных преобразований.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения при умножении сопряжённых скобок.
- Составляют алгоритм разложения разности квадратов на множители.
- Контролируют порядок действий, знаки и показатели степеней.
- Исправляют ошибки после самопроверки раскрытием скобок и сверкой с эталоном.
Познавательные УУД
- Выделяют общий признак выражений $a^2-b^2$, $25x^2-9$ и $81a^2-16b^2$.
- Преобразуют числа и одночлены в квадраты.
- Строят цепочку рассуждений при выводе формулы.
- Применяют символическую модель формулы к числовым и буквенным выражениям.
- Сравнивают прямое вычисление и вычисление с использованием формулы.
Коммуникативные УУД
- Формулируют математическое правило полным предложением.
- Объясняют партнёру, почему выражение является или не является разностью квадратов.
- Участвуют во фронтальном обсуждении, приводят контрпримеры и аргументы.
- Согласовывают общий алгоритм решения и корректно комментируют ошибки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или слайде формулу умножения $(a+b)(a-b)$ с незаполненными промежуточными членами $a^2-ab+ab-b^2$.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые выражения $a^2-b^2$, задания с коэффициентами и задания на рациональные вычисления; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить отдельный лист с эталоном: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и алгоритмом из трёх шагов — распознать, представить квадратами, разложить.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на парту.
- Подготовить задания для фронтальной работы: $25x^2-9$, $64y^2-36x^2$, $48\cdot52$, $98\cdot102$.
- Вывести на экран или записать на доске формулировку проблемного вопроса: «Как быстро вычислить произведение чисел, близких к 100?»
- Подготовить учебник: использовать текст с определением формулы, примерами $(nm+3k)(nm-3k)$ и $(a+b)^2-16$.
- Проверить наличие у каждого ученика тетради, ручки и линейки; подготовить маркер другого цвета для выделения квадратов.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и показать практическую ценность нового способа преобразования выражений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Проверьте, пожалуйста, готовность к работе: тетрадь, ручка, учебник и линейка должны быть на столе. Сегодня нам понадобится внимательность к знакам и степеням. Запишите дату, а тему мы сформулируем после небольшого исследования." | Проверяют принадлежности, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель записывает на доске $48\cdot52$ и $98\cdot102$: "Попробуйте устно оценить, как можно вычислить эти произведения быстрее обычного умножения. Подумайте, что общего у множителей в каждой паре." | Выполняют устные прикидки, предлагают: "$48=50-2$, $52=50+2$; $98=100-2$, $102=100+2$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели пары чисел, записанные как сумма и разность одного и того же числа. Сейчас выясним, какое правило превращает такое произведение в разность квадратов."
Этап 2. Актуализация опорных знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о квадратах, степенях и умножении многочленов, необходимые для открытия формулы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Вспомним, что означает квадрат числа и как перемножаются степени с одинаковым основанием. Запишите в тетради: квадрат числа $a$ — это $a^2=a\cdot a$. Чему равны $3^2$, $(2x)^2$, $(3ab)^2$?" | Записывают определения и отвечают: "$3^2=9$, $(2x)^2=4x^2$, $(3ab)^2=9a^2b^2$". |
2 мин | Учитель предлагает фронтально представить в виде квадратов числа и одночлены: $81$, $256$, $0{,}36$, $4a^2$, $9b^2$, $16c^2$. "Какие основания квадратов вы выбираете?" | Записывают: $81=9^2$, $256=16^2$, $0{,}36=0{,}6^2$, $4a^2=(2a)^2$, $9b^2=(3b)^2$, $16c^2=(4c)^2$. |
2 мин | Учитель записывает $(a+b)(a-b)$ и спрашивает: "Раскройте скобки. Какие слагаемые взаимно уничтожаются? Назовите результат математически точно." | Раскрывают скобки: $a^2-ab+ab-b^2$. Отвечают: "$-ab$ и $+ab$ дают ноль, результат равен $a^2-b^2$". |
Запись в тетрадях
$a^2=a\cdot a$; $(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили нужные действия и уже получили равенство, в котором исчезают средние слагаемые. Теперь определим, как называется это равенство и как его распознавать в обратном направлении."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при переходе от разности квадратов к произведению и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает исследование: "Сравните выражения $(a+b)(a-b)$ и $a^2-b^2$. Как из первого получить второе? А если дано $25x^2-9$, как получить произведение? Работайте сначала самостоятельно 30 секунд, затем обсудите ответ в паре." | Выполняют приём «Подумай — обсуди в паре — поделись», формулируют: "$a^2-b^2$ можно заменить произведением $(a-b)(a+b)$". |
2 мин | Учитель фиксирует на доске проблемный вопрос: "Как распознать разность квадратов и разложить её на множители без раскрытия скобок?" Затем спрашивает: "Какую цель поставим на урок?" | Формулируют цель: "Научиться применять формулу разности квадратов к выражениям с числами и переменными". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы не просто запомним формулу, а научимся видеть её структуру, применять её в обе стороны и проверять результат. Переходим к открытию правила через уже выполненное умножение."
Этап 4. Открытие нового знания и формулировка правила (8 мин)
Цель этапа: вывести и математически сформулировать формулу разности квадратов, связав её с распределительным законом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель обращается к классу: "Посмотрите на доску. Мы умножили сумму двух чисел на их разность: $(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$. Средние слагаемые противоположны и сокращаются. Это равенство можно читать слева направо и справа налево." | Следят за преобразованием, подчёркивают противоположные слагаемые $-ab$ и $+ab$, проговаривают порядок действий. |
3 мин | Учитель записывает и объясняет: "Основная формула такова: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы. Важно: оба слагаемых должны быть квадратами, между ними должен стоять знак минус." | Записывают формулу и формулировку правила, выделяют признаки: два квадрата, знак разности. |
2 мин | Учитель разбирает по учебному материалу два примера: "В выражении $(nm+3k)(nm-3k)$ используем прямую формулу произведения суммы и разности: результат $n^2m^2-9k^2$. В выражении $(a+b)^2-16$ сначала замечаем, что $16=4^2$, поэтому получаем $(a+b-4)(a+b+4)$." | Комментируют преобразования: $(nm)^2=n^2m^2$, $(3k)^2=9k^2$, $16=4^2$; записывают оба примера. |
Запись в тетрадях
Формула разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Алгоритм: 1) убедиться, что выражение является разностью квадратов; 2) найти основания квадратов; 3) записать произведение разности и суммы этих оснований.
Алгоритм: 1) убедиться, что выражение является разностью квадратов; 2) найти основания квадратов; 3) записать произведение разности и суммы этих оснований.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть правило и алгоритм. Следующий шаг — применить их к конкретным выражениям и научиться не ошибаться в основаниях квадратов и знаках."
Этап 5. Первичное закрепление: фронтальная практика (8 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание разности квадратов и выполнить преобразования с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задание: "Разложим на множители $25x^2-9$. Назовите основание первого квадрата и основание второго квадрата. Запишем: $25x^2=(5x)^2$, $9=3^2$. Теперь применяем правило." | Отвечают: "$5x$ и $3$"; записывают $(5x-3)(5x+3)$ и проговаривают: "разность и сумма оснований квадратов". |
3 мин | Учитель записывает $64y^2-36x^2$: "Работаем по тому же алгоритму. Обратите внимание: квадратом является не только число, но и одночлен." | Преобразуют $64y^2=(8y)^2$, $36x^2=(6x)^2$, получают $(8y-6x)(8y+6x)$; один ученик объясняет решение у доски. |
2 мин | Учитель предлагает выбор: базовый пример $a^2-49$ или повышенный пример $81a^2-16b^2$. "Выберите один, но обязательно подпишите основания квадратов." | Самостоятельно выбирают уровень. Получают соответственно $(a-7)(a+7)$ или $(9a-4b)(9a+4b)$, сверяют с записью на доске. |
Эталон решения
$81a^2-16b^2=(9a)^2-(4b)^2=(9a-4b)(9a+4b)$. Проверка: $(9a-4b)(9a+4b)=81a^2-36ab+36ab-16b^2=81a^2-16b^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили формулу к числовым и буквенным основаниям. Перед самостоятельной работой проверим обратное направление: как формула помогает выполнять умножение и быстро считать."
Этап 6. Практикум и самостоятельная работа с самопроверкой (11 мин)
Цель этапа: отработать применение формулы в разных видах заданий и проверить результат по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Выполним умножение, не раскрывая скобки полностью: $(2b+a)(2b-a)$. Сначала определите, какие выражения являются основаниями квадратов, затем примените прямую формулу." На доске фиксирует начало: $(2b)^2-a^2$. | Записывают $(2b+a)(2b-a)=4b^2-a^2$, объясняют выбор оснований $2b$ и $a$. |
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: разложить $4a^2-9$ и $36x^2-1$. Средний: разложить $25x^4-16y^2$ и $(a+b)^2-16$. Повышенный: вычислить $47^2-37^2$ и $50{,}7^2-50{,}6^2$. "Выберите уровень по готовности, выполните два задания и оставьте черновые шаги." | Индивидуально решают два задания выбранного уровня. Для повышенного варианта применяют формулу: $(47-37)(47+37)$ и $(50{,}7-50{,}6)(50{,}7+50{,}6)$. |
3 мин | Учитель показывает эталон: "$4a^2-9=(2a-3)(2a+3)$; $36x^2-1=(6x-1)(6x+1)$; $47^2-37^2=10\cdot84=840$; $50{,}7^2-50{,}6^2=0{,}1\cdot101{,}3=10{,}13$. Проверьте не только ответ, но и основания квадратов." | Сверяют решения, подчёркивают место ошибки, если перепутали сумму и разность или неверно выделили квадрат. |
Эталон решения
$25x^4-16y^2=(5x^2)^2-(4y)^2=(5x^2-4y)(5x^2+4y)$.
$(a+b)^2-16=(a+b)^2-4^2=(a+b-4)(a+b+4)$.
$50{,}7^2-50{,}6^2=(50{,}7-50{,}6)(50{,}7+50{,}6)=0{,}1\cdot101{,}3=10{,}13$.
$(a+b)^2-16=(a+b)^2-4^2=(a+b-4)(a+b+4)$.
$50{,}7^2-50{,}6^2=(50{,}7-50{,}6)(50{,}7+50{,}6)=0{,}1\cdot101{,}3=10{,}13$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формула применима не только к разложению на множители, но и к быстрым вычислениям. Осталось проверить, что вы можете самостоятельно объяснить признак разности квадратов и назвать типичную ошибку."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать освоенный алгоритм, зафиксировать затруднения и определить содержание домашней практики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите цвет: зелёный — уверенно применяю формулу, жёлтый — иногда путаю основания или знаки, красный — нужна помощь. Теперь завершите фразу: формула разности квадратов применяется, если..." | Поднимают карточку выбранного цвета и формулируют: "...если выражение состоит из разности двух квадратов". |
2 мин | Учитель раздаёт мини-билет на выход: "Запишите преобразование $a^2-25$ и одним предложением объясните, почему оно верно. Это не новая контрольная, а способ понять, какая помощь нужна на следующем уроке." | Записывают $(a-5)(a+5)$ и объяснение через формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; желающие могут взять повышенный или дополнительный. Перед уходом проверьте, что записали формулу и алгоритм." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы вывели и применили формулу разности квадратов, научились раскладывать выражения и ускорять вычисления. На следующем уроке продолжим разложение многочленов на множители и будем выбирать наиболее удобный способ преобразования."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены оба задания выбранного уровня, основания квадратов указаны корректно, знаки в сумме и разности не перепутаны, вычисления записаны последовательно.
- "4" — выполнены оба задания, но допущена одна неточность в промежуточной записи или вычислении, исправленная после самопроверки.
- "3" — верно выполнено одно задание или получен правильный способ решения при двух существенных ошибках в знаках, степенях либо вычислениях.
- Ниже базового уровня оценивается понимание алгоритма по устному объяснению и билету на выход; механическое переписывание ответа без основания квадрата не засчитывается полностью.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как распознать, что выражение является разностью квадратов? | Проверка понимания существенных признаков формулы. |
Какие основания квадратов вы находите в выражении $64y^2-36x^2$? | Выявление точек затруднения при работе с одночленами. |
Что было удобнее: раскрывать скобки или применять формулу при вычислении $47^2-37^2$? Почему? | Осознание рациональности выбранного способа. |
Какую ошибку при применении формулы вы будете проверять первой? | Формирование навыка самоконтроля и коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы вывели формулу разности квадратов и убедились, что она работает в обе стороны: помогает и раскладывать выражения на множители, и быстро выполнять вычисления. Главное — сначала увидеть два квадрата и знак разности, а затем записать их разность и сумму. Внимательно проверяйте основания квадратов: $(3a)^2$ — это $9a^2$, а не $3a^2$. На следующем уроке мы продолжим разложение многочленов и будем выбирать подходящую формулу для каждого выражения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на разложение на множители выражений вида $a^2-b^2$, включая два примера с переменными и два примера с числовыми коэффициентами; в каждом решении указать основания квадратов. | Закрепляет распознавание структуры разности квадратов; при проверке обратить внимание на показатели степеней и знаки в скобках. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания: два на умножение выражений вида $(a+b)(a-b)$ и два на рациональное вычисление разностей квадратов, аналогичных $47^2-37^2$ и $50{,}7^2-50{,}6^2$. | Формирует умение применять формулу в прямом и обратном направлениях; проверять сокращение средних слагаемых и точность вычислений. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 задания на разложение выражений, где одно основание является алгебраической суммой, например $(a+b)^2-16$, и составить собственный пример рационального вычисления с объяснением выбора формулы. | Развивает анализ структуры выражения и самостоятельное конструирование математического примера. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается формула разности квадратов? Какие два признака позволяют её применить? Как представить $36x^2$ в виде квадрата? Чем отличается разность квадратов от квадрата разности?»
