Умножение многочлена на многочлен
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся смогут применять распределительный закон для умножения многочлена на многочлен, раскрывать скобки, приводить результат к стандартному виду и выполнять самопроверку не менее чем в 3 из 4 заданий.
- Закрепить умножение одночлена на многочлен и приведение многочлена к стандартному виду как опорные действия.
- Сформулировать и обосновать правило умножения многочлена на многочлен математическим языком.
- Научиться выполнять умножение многочленов разной степени сложности и объяснять последовательность действий.
- Развивать аккуратность вычислений, самоконтроль и готовность аргументировать выбранный способ решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность алгебраического преобразования выражений при вычислении площадей и решении задач.
- Проявляют интерес к исследовательскому поиску правила, а не только к запоминанию алгоритма.
- Формируют ответственное отношение к записи математических рассуждений и проверке результата.
- Развивают уверенность в самостоятельном выборе уровня практического задания.
Метапредметные
- Извлекают правило из последовательности частных примеров и формулируют общий вывод.
- Планируют решение, контролируют знаки и степени переменных, находят и исправляют ошибки.
- Работают с математическим текстом учебника, выделяя условие, правило и пример.
- Аргументируют решение в паре и участвуют во фронтальном обсуждении.
- Используют символическую запись как средство моделирования алгебраической ситуации.
Предметные
- Знать правило умножения многочлена на многочлен.
- Уметь умножать каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена.
- Уметь складывать подобные слагаемые и записывать результат в стандартном виде.
- Уметь выполнять умножение двухчленных и многочленных выражений с учётом знаков.
- Уметь применять правило к задачам на преобразование выражений и вычисление значений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться раскрывать скобки без потери слагаемых.
- Осознают значение точной математической речи и аккуратной записи.
- Оценивают собственную готовность перейти от образца к самостоятельному решению.
- Проявляют настойчивость при поиске ошибки в преобразовании выражения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Составляют последовательность действий при умножении многочленов.
- Сверяют промежуточные результаты с распределительным законом.
- Проводят самопроверку по эталону и корректируют ошибочную запись.
- Оценивают достижение цели по результатам практической работы.
Познавательные УУД
- Выполняют анализ структуры произведения двух многочленов.
- Устанавливают соответствие между геометрической моделью площади и алгебраическим выражением.
- Обобщают результаты нескольких примеров в правило.
- Классифицируют полученные одночлены по степени и подобным слагаемым.
- Моделируют распределение умножения в виде таблицы соответствий.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с использованием терминов «многочлен», «член многочлена», «распределительный закон».
- Обсуждают в парах различия между верной и ошибочной записью.
- Задают уточняющие вопросы о знаках, степенях и приведении подобных слагаемых.
- Аргументируют выбор последовательности преобразований.
- Соблюдают правила конструктивного обсуждения решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или слайде тему урока, распределительный закон и пустую схему соответствий между членами многочленов.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки с выражениями для фронтальной работы: $(a+2)(a+3)$, $(z-1)(z+4)$, $(7n-2m)(3n-5m)$.
- Подготовить отдельный лист с эталоном решения для самопроверки и раздать по одному экземпляру на парту.
- Подготовить изображение прямоугольника, разбитого на части со сторонами $4a$, $c$, $2a$, $b$, для вывода произведения $(4a+c)(2a+b)$.
- Разместить на доске памятку: 1) умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго; 2) раскрыть скобки; 3) привести подобные слагаемые; 4) записать стандартный вид.
- Подготовить маркеры трёх цветов для обозначения пар произведений и стикеры для рефлексии.
- Организовать работу с учебником по теме без привязки к конкретным номерам страниц: учащиеся используют определение, пример и упражнения из данного параграфа.
- Подготовить таймер и проектор или интерактивную доску для показа схемы и эталона.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс, включить учащихся в практическую деятельность и показать связь темы с вычислением площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, учебник и карточка должны лежать перед вами. Сегодня нам потребуется не только знание правил, но и внимательность к каждому знаку." | Проверяют принадлежности, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает схему прямоугольной стены со сторонами $4a+c$ и $2a+b$: "Представьте, что нужно найти площадь поверхности, составленной из прямоугольных частей. Одним выражением площадь уже записана: $(4a+c)(2a+b)$. Как получить из него сумму площадей частей? Какие произведения должны появиться?" Учитель фиксирует предположения цветными маркерами. | Рассматривают схему, называют произведения $4a\cdot2a$, $4a\cdot b$, $c\cdot2a$, $c\cdot b$, формулируют предположение: "Нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что произведение многочленов можно представить как сумму площадей отдельных прямоугольников. Теперь проверим, какое известное свойство помогает выполнить такое преобразование."
Этап 2. Актуализация опорных знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить умножение одночлена на многочлен, стандартный вид многочлена и действия с подобными слагаемыми.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Выполним устную разминку. Как раскрыть скобки в выражении $3x(2x-5)$? Какой закон используем? Почему знак перед вторым слагаемым не меняется отдельно от множителя?" | Отвечают: "$3x(2x-5)=6x^2-15x$; используется распределительный закон; множитель умножается на каждый член скобок". |
2 мин | Учитель записывает на доске: $4a^2+3a-2a^2+5a$. "Приведите многочлен к стандартному виду. Какие слагаемые являются подобными?" | Выделяют подобные слагаемые $4a^2$ и $-2a^2$, $3a$ и $5a$, получают $2a^2+8a$. |
2 мин | Учитель раздаёт карточки с двумя выражениями: $-2x(3x^2-4x+1)$ и $5ab(2a-b)$. "Работаем фронтально: один ученик выполняет первый пример на доске, класс проговаривает каждый шаг и проверяет степени." | Записывают решения: $-6x^3+8x^2-2x$; $10a^2b-5ab^2$. Объясняют сложение показателей степеней при умножении одночленов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что множитель распределяется на каждый член многочлена, а результат приводится к стандартному виду. Возникает вопрос: что изменится, если вторая скобка тоже будет многочленом?"
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить способ действия при умножении двух многочленов и сформулировать учебную цель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает: $(a+b)(c+d)$. "Попробуйте раскрыть скобки по уже известному распределительному закону. Можно ли умножить только первые члены? Что произойдёт с членом $b$?" Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | 30 секунд решают индивидуально, 1 минуту обсуждают в парах, затем формулируют: "$a$ нужно умножить на $c$ и $d$, а $b$ — также на $c$ и $d$". |
2 мин | Учитель уточняет: "Сформулируйте правило математически точно. Какие действия обязательны после выполнения произведений? Запишите цель урока одним предложением." | Формулируют правило: "Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого и полученные произведения сложить". Записывают цель: научиться раскрывать скобки и приводить результат к стандартному виду. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нужно не пропустить ни одного произведения и правильно объединить подобные слагаемые. Сейчас исследуем правило на конкретном примере и докажем его распределительным законом."
Этап 4. Открытие нового знания исследовательским методом (9 мин)
Цель этапа: вывести правило умножения многочлена на многочлен и отработать математическую запись алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на экране модель прямоугольника и говорит: "Стороны прямоугольника равны $4a+c$ и $2a+b$. Разобьём его на четыре прямоугольника. Площадь всей фигуры равна $(4a+c)(2a+b)$. Запишем сумму площадей частей: $4a\cdot2a+4a\cdot b+c\cdot2a+c\cdot b$." | Соотносят четыре части рисунка с четырьмя произведениями, проговаривают: "$4a$ умножается на оба слагаемых второй скобки, затем $c$ умножается на оба слагаемых". |
3 мин | Учитель записывает: $(4a+c)(2a+b)=4a(2a+b)+c(2a+b)=8a^2+4ab+2ac+bc$. "Обратите внимание: сначала применяется распределительный закон, затем выполняется умножение одночленов. Почему $4ab$ и $2ac$ нельзя сложить?" | Записывают вывод в тетрадь, отвечают: "Они не являются подобными: переменные и степени различаются". |
3 мин | Учитель разбирает пример из материала: "Рассмотрим $(7n-2m)(3n-5m)$. Запишем все четыре произведения: $7n\cdot3n$, $7n\cdot(-5m)$, $(-2m)\cdot3n$, $(-2m)\cdot(-5m)$. Теперь приведём подобные слагаемые." | Выполняют запись: $(7n-2m)(3n-5m)=21n^2-35nm-6mn+10m^2=21n^2-41nm+10m^2$. Объясняют, почему $-35nm$ и $-6mn$ подобны. |
Запись в тетрадях
Правило: чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Алгоритм: 1) выполнить все попарные умножения; 2) раскрыть скобки; 3) привести подобные слагаемые; 4) записать многочлен в стандартном виде.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили правило не из готовой формулы, а вывели его распределительным законом и подтвердили геометрической моделью. Теперь применим алгоритм сначала вместе, затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление и фронтальная практика (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на выражениях из материала урока с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает: $(a+2)(a+3)$. "Работаем фронтально. Первый шаг — умножаем $a$ на каждый член второй скобки. Второй шаг — умножаем $2$ на каждый член. Затем проверяем подобные слагаемые. Кто назовёт полный результат?" | По цепочке проговаривают: $a^2+3a+2a+6=a^2+5a+6$. Один ученик записывает решение у доски. |
2 мин | Учитель предлагает выражение $(z-1)(z+4)$ и спрашивает: "Какой знак будет у произведения $(-1)\cdot4$? Назовите типичную ошибку, которую здесь можно допустить." | Решают: $z^2+4z-z-4=z^2+3z-4$; отвечают: "Произведение отрицательного и положительного числа отрицательно; нельзя потерять знак минус". |
3 мин | Учитель предлагает выбор: "Можно решить у доски выражение $(m+6)(n-1)$ или выполнить его в тетради с последующей проверкой. Обязательно запишите все четыре произведения." | Решают: $mn-m+6n-6$. Сверяют запись с решением на доске, исправляют пропущенные произведения. |
Эталон решения
$(a+2)(a+3)=a\cdot a+a\cdot3+2\cdot a+2\cdot3=a^2+3a+2a+6=a^2+5a+6$. $(z-1)(z+4)=z\cdot z+z\cdot4-1\cdot z-1\cdot4=z^2+4z-z-4=z^2+3z-4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "На простых примерах мы увидели, что надёжный способ — выписать все попарные произведения, а уже потом упрощать. Теперь каждый проверит себя на заданиях разного уровня сложности."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить самостоятельное применение правила и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Базовый уровень — два произведения двухчленных многочленов; повышенный — выражения с буквенными коэффициентами; дополнительный — произведение трёх многочленов. Выберите уровень, который позволит вам работать самостоятельно и без спешки." | Выбирают карточку, записывают выбранный уровень и читают критерии проверки. |
6 мин | Учитель организует индивидуальную работу, напоминает: "Не переходите к следующему примеру, пока не проверили число попарных произведений. В двухчленах их должно быть четыре. Следите за знаками и приводите подобные слагаемые только после раскрытия скобок." | Выполняют задания. Базовый: $(c-4)(d-3)$, $(x+y)(x+1)$. Повышенный: $(2a-b)(4a^2+2ab+b^2)$, $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)$. Дополнительный: $(a+b)(a+2b)(a-3b)$. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Сверьте не только окончательный ответ, но и структуру решения. Отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — место сомнения, красным — ошибку, которую нужно исправить. Если ошибка найдена, перепишите только ошибочную строку и объясните причину." | Проводят самопроверку. Исправляют ошибки, записывают причину: пропущено произведение, неверно раскрыты скобки, неправильно объединены подобные слагаемые. |
Эталон решения
Для повышенного задания: $(2a-b)(4a^2+2ab+b^2)=2a(4a^2+2ab+b^2)-b(4a^2+2ab+b^2)=8a^3+4a^2b+2ab^2-4a^2b-2ab^2-b^3=8a^3-b^3$. Для дополнительного задания: сначала $(a+b)(a+2b)=a^2+3ab+2b^2$, затем $(a^2+3ab+2b^2)(a-3b)=a^3-3a^2b+3a^2b-9ab^2+2ab^2-6b^3=a^3-7ab^2-6b^3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм работает для разных случаев: от двухчленных произведений до последовательного умножения трёх многочленов. Осталось проверить, понимаем ли мы не только алгоритм, но и смысл преобразования."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: связать новое правило с ранее изученными действиями и оценить достижение цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как связано сегодняшнее правило с распределительным законом? Почему после умножения необходимо привести результат к стандартному виду? Как проверить, не пропущен ли член?" | Отвечают: "Правило является последовательным применением распределительного закона"; "подобные слагаемые нужно объединить"; "в произведении двух двучленов должно получиться четыре попарных произведения до упрощения". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Зелёная карточка — уверенно выполняю алгоритм, жёлтая — иногда ошибаюсь в знаках или подобных слагаемых, красная — нужна помощь. На стикере допишите одно действие, которое будете проверять первым." | Поднимают карточки, на стикерах пишут: "проверю все попарные произведения", "проверю знаки", "соберу подобные слагаемые". |
1 мин | Учитель формулирует домашнее задание по уровням и задаёт контрольные вопросы: "Перед выходом ответьте соседу: какое правило мы применяли и в каком порядке выполняли действия?" | Устно отвечают соседу: "Умножить каждый член на каждый, раскрыть скобки, привести подобные, записать стандартный вид". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы вывели и применили правило умножения многочлена на многочлен. Главное — не сокращать рассуждение раньше времени: сначала получить все произведения, затем раскрыть скобки и только после этого привести подобные слагаемые."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания выбранного уровня, записаны все попарные произведения, правильно раскрыты скобки и приведены подобные слагаемые; в дополнительном задании корректно выполнено последовательное умножение.
- "4" — верно выполнено большинство заданий, допущена одна вычислительная ошибка или неточность в знаке, но алгоритм применён полностью и ошибка исправлена при самопроверке.
- "3" — выполнено не менее половины базовых заданий, правило в целом понято, но есть пропуски попарных произведений, ошибки в знаках или приведении подобных слагаемых.
- Ниже базового уровня — задание требует повторной отработки умножения одночлена на многочлен и последовательного контроля каждого шага.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как сформулировать правило умножения многочлена на многочлен? | Проверка осознания нового алгоритма и математической точности формулировки. |
Какое действие вы выполняете первым и почему нельзя сразу складывать слагаемые? | Выявление понимания структуры решения и места применения распределительного закона. |
На каком шаге вы сегодня ошибались чаще всего: произведения, знаки или подобные слагаемые? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекции. |
Какое задание вы выбрали бы на следующем уроке: базовое, повышенное или дополнительное? Почему? | Формирование самооценки и осознанного выбора уровня сложности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились умножать многочлены, последовательно применяя распределительный закон. Мы увидели, что главный источник ошибок — пропуск одного из попарных произведений или неверный знак перед произведением. Поэтому всегда сначала выписывайте все произведения, а затем приводите подобные слагаемые. На следующем уроке мы продолжим преобразование выражений и применим новый алгоритм к вычислениям и доказательствам. Если сегодня осталось сомнение, начните повторение с примеров, где каждый шаг записан подробно."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 примера на умножение двухчленных многочленов, аналогичных $(a+2)(a+3)$, $(z-1)(z+4)$ и $(c-4)(d-3)$, с обязательной записью всех попарных произведений. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке смотреть на полноту произведений, знаки и приведение подобных слагаемых. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 примера на умножение многочлена на трёхчлен, включая выражения типа $(2a-b)(4a^2+2ab+b^2)$, и один пример на вычисление значения предварительно упрощённого выражения при заданном значении переменной. | Развивает умение работать с несколькими членами и связывать преобразование с вычислением; проверять стандартный вид результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 задания на последовательное умножение трёх многочленов и одну задачу на доказательство алгебраического равенства с раскрытием скобок, например преобразовать обе части к стандартному виду. | Формирует перенос алгоритма на сложную структуру и навыки доказательного рассуждения; проверять порядок действий и обоснование каждого преобразования. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Какое правило лежит в основе умножения многочленов? Сколько попарных произведений получится при умножении двух двучленов? В каком порядке выполняются раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых? Как обнаружить пропущенный член?"
