Линейное уравнение с двумя переменными и его график
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать линейное уравнение с двумя переменными, находить координаты его решений и строить график по таблице значений не менее чем по двум точкам.
- Образовательная задача: сформулировать общий вид линейного уравнения с двумя переменными $ax+by+c=0$, понять смысл коэффициентов и свободного члена.
- Образовательная задача: научиться проверять принадлежность точки графику подстановкой её координат в уравнение.
- Развивающая задача: установить связь между формулой, таблицей значений и точками координатной плоскости, объясняя ход рассуждений.
- Воспитательная задача: развивать аккуратность вычислений, готовность аргументировать ответ и видеть применение математической модели в бытовой ситуации.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность математической модели при решении задачи о стоимости покупки.
- Проявляют интерес к поиску связи между формулой, таблицей и графиком.
- Оценивают собственную уверенность при работе с координатной плоскостью и планируют способ преодоления затруднения.
- Развивают ответственное отношение к точности вычислений и оформлению графика.
Метапредметные
- Познавательные: извлекают информацию из формулы, таблицы и графика, устанавливают соответствие между ними.
- Регулятивные: принимают учебную цель, планируют построение графика, выполняют самопроверку по эталону.
- Коммуникативные: обсуждают решение в парах, задают уточняющие вопросы и аргументируют принадлежность точки графику.
- Используют смысловое чтение условия задачи и переводят жизненную ситуацию на язык линейного уравнения.
Предметные
- Знать общий вид линейного уравнения с двумя переменными $ax+by+c=0$ и понимать, что $a$, $b$, $c$ — числа.
- Уметь находить значение одной переменной по заданному значению другой, например вычислять $y$ по формуле $y=2x+1$.
- Уметь проверять, является ли заданная пара чисел решением уравнения.
- Уметь строить график линейного уравнения по таблице значений и формулировать вывод о том, что графиком является прямая.
- Уметь составлять простую линейную модель по условию задачи о покупке.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в достижение цели урока и выбирают уровень задания для самостоятельной работы.
- Связывают изучаемое понятие с реальной ситуацией покупки нескольких одинаковых предметов.
- Осознают, что ошибка в одном вычислении может изменить положение точки на графике.
- Проявляют уважение к иному способу рассуждения одноклассника, если он математически обоснован.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель: перейти от уравнения к таблице и от таблицы к графику.
- Планируют последовательность построения: выбрать значения $x$, вычислить $y$, отметить точки, соединить их.
- Сверяют вычисления с формулой и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают результат по критериям: верность точек, наличие координатных осей, аккуратность прямой.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные в уравнении и условии практической задачи.
- Классифицируют пары чисел как решения и не решения уравнения.
- Строят таблицу значений и моделируют решение на координатной плоскости.
- Анализируют, почему две различные точки определяют прямую, и делают вывод о графике линейного уравнения.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру порядок проверки точки подстановкой.
- Формулируют вопросы по условию задачи и уточняют смысл переменных.
- Сравнивают решения в паре и аргументированно принимают общий вариант.
- Представляют результат у доски, используя математические термины: «координаты», «решение», «график», «прямая».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с координатной плоскостью, общей формой $ax+by+c=0$ и алгоритмом построения графика.
- Распечатать карточки трёх уровней: проверка точек, заполнение таблицы для $y=2x+1$, практическая задача о трёх тетрадях и ручке.
- Подготовить координатные сетки по одной на каждого ученика и одну увеличенную сетку для работы у доски.
- Распечатать лист самооценки со строками «Я могу найти решение», «Я могу построить график», «Я могу составить модель».
- Подготовить карточки с точками $A(0;1)$, $B(1;3)$, $C(2;5)$, $D(1;2)$ для работы в парах.
- Разместить на доске памятку: выбрать $x$ → вычислить $y$ → получить точки → нанести точки → провести прямую.
- Подготовить маркеры или магнитные карточки для приёма «Верно — неверно» и таймер.
- Оборудование: доска или интерактивная доска, проектор при наличии, линейки, тетради, ручки, карандаши и ластики.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл зависимости двух величин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске запись: «3 тетради и ручка стоят 270 рублей, ручка стоит 30 рублей». «Ребята, сегодня мы будем не просто считать. Попробуем описать покупку уравнением и увидеть результат на координатной плоскости. Проверьте, что на столе есть тетрадь, линейка и карандаш». | Проверяют готовность, читают условие и называют известные величины: «Общая стоимость — 270 рублей, ручка — 30 рублей, тетрадей — 3». |
2 мин | «Представьте, что цена одной тетради неизвестна и обозначена буквой $x$. Как записать стоимость трёх тетрадей? Сколько останется на тетради после покупки ручки? Можно ли показать зависимость чисел не только формулой, но и точками?» Учитель принимает гипотезы, не сообщает готовый вывод. | Формулируют: «Три тетради стоят $3x$», «После покупки ручки останется $270-30=240$ рублей», «Одна тетрадь стоит $240:3=80$ рублей». Предполагают: «Связь можно показать таблицей и графиком». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что жизненную ситуацию можно описать буквами и числами. Теперь вспомним, что называется решением уравнения и как координаты точки связаны с его формулой».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия координат точки, решения уравнения и подстановки значения переменной.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает точки $A(0;1)$, $B(1;3)$ и $C(1;2)$. «Назовите сначала абсциссу, затем ординату каждой точки. Почему порядок записи координат важен? Что изменится, если поменять числа местами?» | Называют координаты: «У точки $A$ абсцисса 0, ордината 1; у $B$ — 1 и 3; у $C$ — 1 и 2». Объясняют: «Точка $(1;3)$ и точка $(3;1)$ — разные точки». |
2 мин | «Рассмотрим уравнение $y=2x+1$. Вычислите $y$, если $x=0$, $x=1$, $x=2$. Что общего у получившихся пар чисел?» Учитель фиксирует таблицу на доске. | Вычисляют: при $x=0$ получаем $y=1$, при $x=1$ — $y=3$, при $x=2$ — $y=5$. Записывают пары $(0;1)$, $(1;3)$, $(2;5)$ и формулируют: «Каждая пара удовлетворяет формуле». |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Проверьте, является ли точка $D(1;2)$ решением уравнения $y=2x+1$. Сначала решите самостоятельно, затем обсудите с соседом». | Подставляют координаты: $2
e2oldsymbol{ imes}1+1=3$. Делают вывод: «Точка $D(1;2)$ не является решением и не лежит на графике». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем получать пары чисел по формуле и проверять их подстановкой. Но пока не ответили на главный вопрос: как выглядит множество всех таких точек. Сформулируем проблему урока».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: вывести учащихся на формулировку цели и алгоритма исследования линейного уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает несколько точек, полученных для $y=2x+1$. «Если взять не три значения $x$, а очень много, что получится на плоскости? Будут ли точки расположены случайно? Как можно проверить вашу гипотезу?» Учитель записывает ответы в кластер «Формула — таблица — точки — график». | Обсуждают гипотезы: «Точки могут выстроиться в линию», «Нужно вычислить несколько пар и нанести их на координатную плоскость». |
2 мин | «Сформулируйте цель урока своими словами. Какие шаги нам понадобятся?» Учитель подводит к записи алгоритма и спрашивает: «Какой результат должен быть у каждого к концу урока?» | Формулируют цель: «Научиться строить график линейного уравнения с двумя переменными». Называют шаги: «Выбрать значения $x$, вычислить $y$, отметить точки, соединить их прямой». Записывают цель и алгоритм. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель поставлена самими вами: перейти от формулы к графику и научиться объяснять каждый шаг. Сейчас исследуем, почему получившиеся точки образуют именно прямую».
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: сформировать представление о линейном уравнении с двумя переменными и его графике через таблицу значений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида $ax+by+c=0$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$, $c$ — числа. Если выразить $y$, часто получаем вид $y=kx+b$. Вспомните: что называют решением уравнения с двумя переменными?» Учитель подчёркивает на доске, что решением является пара чисел. | Отвечают: «Решение — пара значений $x$ и $y$, при которых равенство становится верным». Записывают определение и общий вид уравнения. |
3 мин | Учитель заполняет таблицу для $y=2x+1$: «Выберем $x=0,1,2$. При $x=0$ получаем $y=1$, значит, точка $(0;1)$. При $x=1$ — $y=3$, при $x=2$ — $y=5$. Как проверить, что точка принадлежит графику?» | Заполняют таблицу: $x$: 0, 1, 2; $y$: 1, 3, 5. Называют точки и объясняют проверку подстановкой координат в уравнение. |
3 мин | Учитель наносит точки на увеличенную координатную сетку. «Посмотрите: точки $(0;1)$, $(1;3)$ и $(2;5)$ лежат на одной прямой. Вспомните геометрический факт: сколько точек достаточно, чтобы провести одну прямую? Значит, как можно строить график?» | Отвечают: «Через две точки можно провести единственную прямую». Формулируют вывод: «График линейного уравнения, имеющего решения, является прямой». Перечисляют алгоритм построения. |
Запись в тетрадях
Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид $ax+by+c=0$. Его решение — пара чисел $(x;y)$, превращающая уравнение в верное равенство. График линейного уравнения — множество всех точек, координаты которых являются решениями; для линейного уравнения график является прямой. Алгоритм: выбрать значения $x$ → вычислить $y$ → получить точки → нанести их → провести прямую.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы установили связь между решением уравнения и точкой графика. Теперь проверим этот вывод на конкретных точках и научимся строить прямую самостоятельно».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить проверку принадлежности точки графику и построение прямой по двум решениям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Работаем в парах. Проверьте точки $A(0;1)$, $B(1;3)$, $C(2;5)$ и $D(1;2)$ для уравнения $y=2x+1$. В каждой строке сначала подставьте $x$, затем сравните полученное значение с ординатой точки. На работу — две минуты». | Заполняют карточку: $A$: $1=1$ — принадлежит; $B$: $3=3$ — принадлежит; $C$: $5=5$ — принадлежит; $D$: $2
e3$ — не принадлежит. Обсуждают ответы в парах. |
2 мин | «К доске выйдет пара: выберите любые две точки из принадлежащих графику и постройте через них прямую. Остальные проверьте расположение точек в своих координатных сетках. Какие ошибки могут возникнуть?» | Наносят две точки, проводят прямую линейкой, сверяют её с точкой на экране. Называют ошибки: «перепутали координаты», «неверно выбрали масштаб», «соединили точки отрезком, а не продолжили прямую». |
2 мин | Учитель проводит формирующее оценивание «Светофор»: «Зелёная карточка — умею проверить точку и построить прямую; жёлтая — нужен один пример; красная — требуется объяснение. Поднимите карточку и назовите, что именно вызывает трудность». | Поднимают карточки, формулируют затруднение: «Нужно внимательнее считать $y$» или «Путаю абсциссу и ординату». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проверка показала, что точка графика — это не любая точка на плоскости, а точка, координаты которой удовлетворяют уравнению. Теперь каждый выполнит задание самостоятельно и проверит себя по эталону».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание алгоритма и применить его в вычислительной и жизненной задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки с выбором уровня. «Базовый вариант: заполните таблицу для $y=2x+1$ при $x=-1,0,1,2$ и укажите две точки графика. Повышающий вариант: определите, какие из точек $(-1;-1)$, $(0;1)$, $(2;5)$ принадлежат графику. Продвинутый вариант: объясните, почему для построения достаточно двух точек, и постройте график». | Индивидуально выполняют выбранный вариант. Для базового задания получают значения $y=-1,1,3,5$ и точки $(-1;-1)$, $(0;1)$, $(1;3)$, $(2;5)$. Для повышающего проверяют равенства. Для продвинутого записывают объяснение и строят прямую. |
3 мин | «Теперь решим практическую задачу. Максим купил 3 одинаковые тетради и ручку за 270 рублей. Ручка стоит 30 рублей. Обозначьте цену одной тетради буквой $x$, составьте линейное уравнение и найдите $x$. Не забывайте: сначала определяем переменную, затем записываем общую стоимость». | Записывают: $3x+30=270$; решают: $3x=240$, $x=80$. Формулируют ответ: «Одна тетрадь стоит 80 рублей». Выполняют проверку: $3oldsymbol{ imes}80+30=270$. |
2 мин | Учитель выводит эталон: «Сверьте не только ответ, но и ход решения. Если нашли ошибку, зачеркните неверный шаг одной линией и исправьте рядом. Отметьте в листе самооценки, какой пункт алгоритма выполнили уверенно». | Сверяют вычисления, исправляют ошибки, отмечают в листе: «умею составить уравнение», «умею найти решение», «умею проверить ответ». |
Эталон решения
Пусть $x$ — цена одной тетради. Стоимость трёх тетрадей равна $3x$. Вместе с ручкой получаем уравнение $3x+30=270$. Вычитаем 30: $3x=240$. Делим на 3: $x=80$. Проверка: $3oldsymbol{ imes}80+30=240+30=270$. Ответ: 80 рублей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили один и тот же математический язык к формуле, графику и покупке. В конце урока проверим, какие связи вы сможете объяснить без подсказки».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, выявить оставшиеся затруднения и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: «На отдельной полоске запишите три коротких ответа: 1) что является решением уравнения с двумя переменными; 2) как проверить принадлежность точки графику; 3) какие шаги нужны для построения прямой. Добавьте один вопрос, который у вас остался». | Письменно отвечают: «Решение — пара чисел», «нужно подставить координаты», «выбрать $x$, найти $y$, нанести точки и провести прямую». Записывают оставшийся вопрос при наличии. |
1 мин | «Закончите фразу: “Сегодня я понял...” или “Теперь я могу...”. Поднимите руку, если готовы привести пример из жизни, где одна величина зависит от другой». | Формулируют: «Теперь я могу построить график по таблице», «Стоимость нескольких одинаковых покупок зависит от цены одного предмета». |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: «Выберите обязательный уровень. Если базовый выполняется уверенно, можно добавить повышающий или дополнительный. Номера заданий не задаю: используйте задания своего учебника или карточки, соответствующие точному описанию в таблице». | Записывают выбранный уровень домашней работы, задают уточняющие вопросы и сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы связали уравнение, таблицу, точки и прямую. На следующем уроке продолжим исследовать линейные зависимости и будем сравнивать графики по их коэффициентам».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно заполнена таблица для $y=2x+1$, правильно проверены все предложенные точки, построен график по двум точкам и без ошибок составлено и решено уравнение $3x+30=270$.
- «4» — выполнены все основные задания, но допущена одна вычислительная или графическая ошибка, исправленная при самопроверке.
- «3» — правильно выполнены базовые вычисления и записана модель практической задачи, но есть две ошибки в проверке точек, таблице или оформлении графика.
- Ниже отметки «3» — решение не показывает освоение основного алгоритма: отсутствует связь между подстановкой, точками и графиком; требуется индивидуальный разбор.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными? | Проверка понимания ключевого предметного определения. |
Как доказать, что точка принадлежит графику уравнения $y=2x+1$? | Выявление освоения алгоритма подстановки и проверки равенства. |
Какие действия нужно выполнить, чтобы построить график по формуле? | Проверка регулятивного умения планировать последовательность действий. |
Что оказалось самым трудным: вычисления, координаты или построение прямой? | Выявление субъективных точек затруднения для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что формула, таблица и график описывают одну и ту же зависимость. Решение уравнения с двумя переменными — это пара чисел, а график линейного уравнения является прямой. Самая частая ошибка — перепутать абсциссу с ординатой или проверить только одно число вместо равенства целиком. Если будете действовать по алгоритму и выполнять проверку, график получится надёжно. На следующем уроке мы продолжим сравнивать линейные зависимости и исследовать положение их графиков».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: для двух линейных уравнений с двумя переменными проверить принадлежность предложенных точек, заполнить таблицу значений для одного уравнения и построить его график по двум или трём точкам. | Закрепляет подстановку, вычисление значений и базовый алгоритм построения; при проверке смотреть на порядок координат, точность таблицы и продолжение прямой. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания: определить, какие пары чисел являются решениями уравнения, восстановить пропущенные значения в таблице и составить линейное уравнение по практической ситуации с известной общей стоимостью. | Развивает умение переходить между формулой, таблицей и текстом; при проверке учитывать обозначение переменной, составление равенства и проверку ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу из жизни, в которой одна величина линейно зависит от другой, записать уравнение, подобрать не менее трёх решений и изобразить соответствующие точки на координатной плоскости. | Формирует умение создавать математическую модель и объяснять смысл коэффициентов; при проверке смотреть на реалистичность условия, верность уравнения и соответствие графика. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что является решением уравнения с двумя переменными? Как проверить точку подстановкой? Почему график линейного уравнения — прямая? Назовите порядок построения графика по таблице значений».
