Вынесение общего множителя за скобки
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться раскладывать многочлены на множители способом вынесения общего множителя за скобки, находя общий множитель, выполняя деление каждого члена на него и проверяя результат умножением.
- Закрепить правило: если все члены многочлена содержат общий множитель, его можно вынести за скобки, а в скобках записать частное от деления каждого члена на общий множитель.
- Формировать умение применять алгоритм к одночленам и многочленам с числовыми коэффициентами и степенями переменных.
- Развивать умение исследовать выражение, выбирать общий множитель и аргументировать правильность преобразования математическим языком.
- Воспитывать аккуратность записи, самостоятельность при выборе уровня задания и ответственность за проверку результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность разложения многочлена на множители для упрощения вычислений и решения уравнений.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию структуры алгебраического выражения.
- Принимают необходимость аккуратной математической записи и проверки полученного результата.
- Осознанно выбирают уровень практического задания с учётом собственной готовности.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки общего множителя в многочлене и структурируют решение по алгоритму.
- Смыслово читают математическое задание и преобразуют словесное правило в последовательность действий.
- Сопоставляют исходное выражение и результат разложения, находят и исправляют ошибки.
- Аргументируют решение при фронтальном обсуждении и используют математическую речь.
- Осуществляют самопроверку умножением вынесенного множителя на многочлен в скобках.
Предметные
- Знать распределительный закон умножения и правило вынесения общего множителя за скобки.
- Уметь находить наибольший общий числовой множитель коэффициентов и общую часть степеней переменных.
- Уметь раскладывать многочлены вида $ax+ay$, $a^2b^2-3ab^3$, $2a(a-b)+3b(a-b)$ на множители.
- Уметь записывать в скобках многочлен, полученный делением каждого члена на общий множитель.
- Владеть проверкой правильности разложения умножением.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают, зачем преобразовывать многочлен в произведение множителей.
- Формируют готовность доводить вычисление до проверки результата.
- Оценивают собственную уверенность в применении алгоритма.
- Проявляют уважение к иной стратегии решения при её математическом обосновании.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и планируют последовательность действий.
- Контролируют наличие общего множителя во всех членах многочлена.
- Сверяют решение с алгоритмом и эталоном.
- Обнаруживают ошибку в знаке, коэффициенте или степени и корректируют запись.
- Оценивают результат по количеству правильно выполненных преобразований.
Познавательные УУД
- Применяют распределительный закон умножения как основу обратного преобразования.
- Сравнивают коэффициенты и степени переменных в членах многочлена.
- Моделируют разложение в виде произведения общего множителя и многочлена.
- Классифицируют задания по виду общего множителя.
- Проверяют гипотезу обратным раскрытием скобок.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с использованием терминов «многочлен», «общий множитель», «произведение».
- Объясняют партнёру выбор общего множителя.
- Задают уточняющие вопросы о знаках и степенях.
- Согласовывают ответ при фронтальном обсуждении.
- Корректно аргументируют несогласие с предложенным преобразованием.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или экране правило: «Если все члены многочлена содержат общий множитель, его можно вынести за скобки».
- Записать алгоритм: найти общий множитель; разделить каждый член на него; записать произведение; проверить умножением.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся.
- Подготовить карточки с выражениями $ab+ac-ad$, $28x^2y^4-21x^3y^2$, $a(b-c)+d(b-c)$ для исследовательской работы.
- Подготовить листы для взаимопроверки и сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета.
- Обеспечить работу с учебником по теме «Вынесение общего множителя за скобки» без указания конкретных номеров заданий в плане.
- Вывести на экран памятку о нахождении общего множителя: коэффициенты — общий делитель, степени одной переменной — наименьший показатель.
- Подготовить таймер для самостоятельной работы и доску для записи решений учащихся.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать готовность класса и показать, что разложение многочлена на множители является обратным действием к раскрытию скобок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и учебника. Сегодня нам потребуется не только выполнить преобразования, но и объяснить, почему они верны." | Проверяют готовность, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель записывает на доске $3(x+2)=3x+6$ и обращается к классу: "Какое действие мы выполняли раньше? А можно ли выполнить обратное преобразование и из $3x+6$ получить произведение? Предложите гипотезу и объясните её через распределительный закон." | Отвечают: "Раскрывали скобки"; предлагают: "$3x+6=3(x+2)$", объясняют связь с распределительным законом. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что преобразование можно выполнять в обратную сторону. Теперь проверим, какие знания нужны, чтобы выполнять это действие без ошибок."
Этап 2. Актуализация знаний и устная практика (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о распределительном законе, одночленах, степенях и делении одночлена на одночлен.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит фронтальный опрос: "Назовите распределительный закон. Что получится, если общий множитель $a$ умножить на сумму $b+c$? Как найти частное $12a^3b^2:3ab$?" | Формулируют: "$a(b+c)=ab+ac$"; отвечают: "$4a^2b$". |
2 мин | Учитель предлагает устно определить общую часть в парах: "$6x^2y$ и $9xy^3$; $14a^2b$ и $21ab^2$. Не называйте пока результат разложения, только общий множитель." | В парах называют общий множитель: для первой пары $3xy$, для второй — $7ab$; объясняют выбор. |
2 мин | Учитель показывает запись $8m+12$ и спрашивает: "Какой общий множитель можно вынести? Почему число 4 является подходящим выбором?" | Отвечают: "$4$; $8$ и $12$ делятся на $4$"; записывают $8m+12=4(2m+3)$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили закон умножения и научились видеть общую часть членов. Теперь установим точный алгоритм и выясним, что должно остаться в скобках."
Этап 3. Постановка проблемы и формулирование алгоритма (5 мин)
Цель этапа: сформулировать правило вынесения общего множителя за скобки через исследование готового многочлена.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает $ab+ac-ad$ и говорит: "Исследуйте выражение. Что повторяется во всех трёх членах? Если вынести этот множитель, какое выражение останется в скобках? Выполните деление каждого члена на общий множитель." | Находят общий множитель $a$, выполняют деление: $ab:a=b$, $ac:a=c$, $ad:a=d$; получают $a(b+c-d)$. |
3 мин | Учитель направляет формулирование правила: "Сформулируем алгоритм математически. Первое действие — найти общий множитель. Второе — разделить каждый член на него. Третье — записать произведение. Как проверим результат?" | Формулируют алгоритм из трёх шагов и добавляют: "Нужно раскрыть скобки и получить исходный многочлен". |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают: «Если все члены многочлена содержат общий множитель, этот множитель можно вынести за скобки. В скобках остаётся многочлен, полученный делением данного многочлена на общий множитель». Алгоритм: 1) найти общий множитель; 2) вынести его за скобки; 3) разделить каждый член на общий множитель; 4) проверить умножением.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правило построено на распределительном законе, а скобки содержат частные от деления. Проверим алгоритм сначала на числовых коэффициентах, затем на степенях переменных."
Этап 4. Открытие и первичное применение правила (8 мин)
Цель этапа: научить находить общий множитель в многочленах с буквенными коэффициентами и степенями переменных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель разбирает пример: "Рассмотрим $28x^2y^4-21x^3y^2$. Общий числовой множитель — наибольший общий делитель чисел 28 и 21, то есть 7. Для $x$ берём меньшую степень $x^2$, для $y$ — меньшую степень $y^2$. Значит, общий множитель $7x^2y^2$." | Записывают $7x^2y^2$, устно объясняют выбор коэффициента и показателей степеней. |
3 мин | Учитель продолжает: "Теперь разделим каждый член на общий множитель: $28x^2y^4:7x^2y^2=4y^2$, а $-21x^3y^2:7x^2y^2=-3x$. Поэтому $28x^2y^4-21x^3y^2=7x^2y^2(4y^2-3x)$." | Записывают преобразование, проговаривают частные и проверяют раскрытием скобок. |
2 мин | Учитель предлагает исследовательское задание: "Сравните выражения $a(2b+3)+b(2b+3)$ и $a+b$. Что повторяется? Какой множитель можно вынести?" | Находят общий множитель $(2b+3)$ и получают $(2b+3)(a+b)$; объясняют, что общий множитель может быть многочленом. |
Эталон решения
$28x^2y^4-21x^3y^2=7x^2y^2\left(\frac{28x^2y^4}{7x^2y^2}-\frac{21x^3y^2}{7x^2y^2}\right)=7x^2y^2(4y^2-3x)$. Проверка: $7x^2y^2\cdot4y^2-7x^2y^2\cdot3x=28x^2y^4-21x^3y^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились учитывать и коэффициенты, и степени переменных, а также увидели общий множитель-многочлен. Теперь применим алгоритм к серии заданий и будем обязательно проговаривать каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление: фронтальная практическая работа (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вынесения общего множителя за скобки на заданиях возрастающей сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на доску выражения $19a-38b$, $9a+12b+6$, $ax-ay$. "Решаем фронтально. Для каждого выражения сначала называем общий множитель, затем частные. Один ученик объясняет, остальные сверяют запись." | Устно называют и записывают: $19(a-2b)$; $3(3a+4b+2)$; $a(x-y)$. Обосновывают деление членов. |
3 мин | Учитель предлагает задания средней сложности: $9mn+9n$, $3bd-3b$, $a^4+2a^2$. "Обратите внимание на наименьший показатель степени общей переменной. Не теряйте знак перед вторым членом." | Записывают: $9n(m+1)$; $3b(d-1)$; $a^2(a^2+2)$. Проверяют раскрытием скобок. |
2 мин | Учитель организует короткую проверку: "Сравните решения на доске. Если нашли ошибку, назовите не только исправление, но и нарушенный шаг алгоритма." | Находят возможные ошибки в коэффициенте, знаке или степени, формулируют: "Не разделили каждый член на общий множитель" или "взяли не наименьшую степень". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В типовых примерах алгоритм уже работает уверенно. Теперь каждый самостоятельно выберет уровень и покажет, умеет ли применять правило без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и умение выбирать уровень сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень осознанно. Базовый обязателен для всех, средний позволит проверить устойчивость навыка, продвинутый содержит выражения, где нужно заметить более сложную общую часть. На карточке записывайте общий множитель отдельно." | Выбирают карточку, читают критерии, готовят место для решения. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: $2m+2n$, $3a-3x$, $8-4x$. Средний: $21a-7b+42$, $4a^2b^2+36a^2b^3+6ab^4$, $2x^2y^4-2x^4y^2+6x^3y^3$. Продвинутый: $ab-ac+a^2$, $a^2(x-y)+b^2(x-y)$, $2b(x-y)-(y-x)$. | Самостоятельно выполняют выбранные задания. Записывают общий множитель, частные и выполняют проверку раскрытием скобок. |
3 мин | Учитель выводит эталон: $2(m+n)$; $3(a-x)$; $4(2-x)$; $7(3a-b+6)$; $2ab(2ab+18ab^2+3b^3)$; $2x^2y^2( y^2-x^2+3xy)$; $a(b-c+a)$; $(x-y)(a^2+b^2)$; $(2b+1)(x-y)$. "Проверьте по шагам и поставьте себе отметку: выполнено верно, есть одна ошибка, требуется разбор." | Сверяют решения с эталоном, отмечают место ошибки, исправляют вычисления и показывают сигнальную карточку: зелёную, жёлтую или красную. |
Эталон решения
Для выражения $ab-ac+a^2$ общий множитель равен $a$: $ab-ac+a^2=a(b-c+a)$. Проверка: $a\cdot b-a\cdot c+a\cdot a=ab-ac+a^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что общий множитель нужно не угадывать, а обосновывать делением каждого члена. В конце урока проверим, какие шаги алгоритма стали для вас уверенными, а какие требуют дополнительной тренировки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить затруднения и определить направление домашней практики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Покажите цвет, который отражает ваше состояние. Зелёный — могу выполнить и объяснить, жёлтый — могу с подсказкой, красный — пока затрудняюсь. Поднимите руку и назовите конкретный шаг, который требует повторения." | Показывают карточки, формулируют: "Мне нужно повторить нахождение общего множителя" или "Я путаю знак в скобках". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "На каком законе основано вынесение общего множителя? Что записывают в скобках? Как проверить ответ?" | Отвечают: "На распределительном законе"; "частные от деления членов на общий множитель"; "раскрыть скобки и получить исходный многочлен". |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте один из повышающих. Обязательно оформите общий множитель и проверку хотя бы в двух выражениях." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, общий множитель найден обоснованно, частные записаны без ошибок, выполнена проверка не менее чем для двух выражений.
- «4» — верно выполнено большинство заданий, допущена одна вычислительная ошибка или неточность в проверке, алгоритм в целом соблюдён.
- «3» — правильно выполнены базовые задания, но допущены ошибки в нахождении общего множителя, знаках или степенях в заданиях повышенного уровня.
- «2» — общий множитель определяется случайно, более половины преобразований неверны, проверка результата отсутствует.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма вынесения общего множителя вы выполняете уверенно? | Выявление осознанно освоенного действия. |
Как определить общий множитель в выражении со степенями переменных? | Проверка понимания роли наименьшего показателя степени. |
Какая ошибка сегодня была наиболее вероятной: коэффициент, знак или степень? | Выявление типичных точек затруднения для коррекции. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно на следующем уроке? | Субъективная оценка уровня готовности и планирование дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы закрепили разложение многочлена на множители вынесением общего множителя за скобки. Главное — не просто записать ответ, а найти общий множитель, разделить на него каждый член и проверить результат умножением. Особенно внимательно следите за знаками и наименьшими показателями степеней переменных. На следующем уроке мы продолжим разложение многочленов на множители и будем выбирать наиболее удобный способ преобразования."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 выражения на вынесение числового и буквенного общего множителя: по одному виду $ax+ay$, $ax-ay$, многочлен с тремя членами и выражение со степенями переменных. В двух примерах выполнить проверку раскрытием скобок. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке обратить внимание на полный общий множитель, знаки и частные. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 выражений, включая $28x^2y^4-21x^3y^2$, многочлены с общим множителем-многочленом и выражения, где требуется использовать равенство $a-b=-(b-a)$. | Развивает умение видеть общий множитель разного вида и преобразовывать знаки; проверить каждое разложение умножением. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 3 исследовательских задания: составить многочлен, который после вынесения общего множителя даёт заданное произведение; найти ошибку в готовом разложении; придумать выражение с общим множителем-многочленом и доказать правильность преобразования. | Формирует анализ, создание и аргументацию; при проверке оценить математическую корректность и полноту доказательства. |
Контрольные вопросы перед выходом: «На каком законе основано вынесение общего множителя? Как находят общий числовой множитель? Как выбирают показатель степени общей переменной? Что должно находиться в скобках? Каким действием проверяют правильность разложения?»
