Квадрат суммы и квадрат разности
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться раскрывать квадрат суммы и квадрат разности двух чисел или алгебраических выражений, применять формулы для преобразования и вычисления значений не менее чем в четырёх практических заданиях.
- Вывести исследовательским способом формулы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, опираясь на правило умножения многочлена на многочлен.
- Научиться распознавать квадрат двучлена и выбирать знак среднего члена в зависимости от знака между слагаемыми.
- Закрепить применение формул при раскрытии скобок, вычислении значений выражений и выполнении быстрых вычислений.
- Развивать математическую речь, умение объяснять преобразования и проверять полученный результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к исследовательскому способу получения математических правил и видят связь между формулой и практическим вычислением.
- Осознают ценность точной математической записи и последовательной проверки результата.
- Принимают ответственность за собственный выбор уровня задания и результат индивидуальной работы.
- Формируют уверенность в применении алгебраических правил при решении новых задач.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки квадратов суммы и разности, устанавливают связь между произведением и многочленом.
- Планируют последовательность преобразований и сопоставляют результат с эталоном.
- Формулируют математические выводы, аргументируют выбор знака среднего члена.
- Работают с текстом учебника, извлекают правило и применяют его в практических ситуациях.
Предметные
- Знать формулы квадрата суммы и квадрата разности двух чисел.
- Уметь выводить формулы посредством умножения многочлена на многочлен.
- Уметь раскрывать скобки в выражениях вида $(a+b)^2$ и $(a-b)^2$.
- Уметь вычислять значения выражений и упрощать многочлены с использованием формул сокращённого умножения.
- Уметь находить ошибки в применении формул и объяснять способ исправления.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения формул сокращённого умножения для рационального выполнения вычислений.
- Проявляют готовность к самостоятельному выбору задания и объективной самооценке.
- Осознают необходимость аккуратной записи промежуточных преобразований.
- Сохраняют учебную мотивацию при выполнении заданий повышенной сложности.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе возникшего затруднения.
- Планируют действия: определить двучлены, выбрать формулу, выполнить преобразование, проверить результат.
- Осуществляют самопроверку по эталону и находят место ошибки.
- Оценивают степень достижения цели и намечают способ устранения затруднения.
Познавательные УУД
- Сравнивают раскрытие скобок и формулы сокращённого умножения.
- Моделируют квадрат суммы геометрической схемой из квадратов и прямоугольников.
- Выделяют общий алгоритм преобразования квадрата двучлена.
- Применяют формулы для решения задач в прямом и обратном направлении.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с использованием математических терминов.
- Участвуют во фронтальном обсуждении и корректно сравнивают способы решения.
- Обосновывают выбор знака перед удвоенным произведением.
- Задают уточняющие вопросы и принимают аргументированную коррекцию.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску с датой, темой урока и местом для записи двух формул.
- Подготовить слайд или плакат с рисунком квадрата со сторонами $a+b$, разделённого на части площадей $a^2$, $ab$, $ab$, $b^2$.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учеников класса.
- Подготовить отдельные карточки с ошибочными равенствами для фронтального анализа.
- Подготовить листы самооценки с пунктами «Я знаю формулы», «Я выбираю знак», «Я могу применить формулу».
- Подготовить эталон самостоятельной работы для показа после выполнения задания.
- Организовать доступ к тексту учебника по теме без указания конкретных страниц.
- Приготовить маркеры или цветные мелки для выделения первого слагаемого, второго слагаемого и среднего члена.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать мотивацию к поиску более короткого способа вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и учебника. Сегодня нам понадобятся внимательность, точность записи и готовность объяснять каждый шаг, а не только называть ответ." | Проверяют принадлежности, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражение $99^2$ и обращается к классу: "Попробуйте быстро вычислить квадрат числа 99. Можно выполнить умножение столбиком, но сегодня мы проверим, существует ли более рациональный путь. Как представить 99 как сумму или разность удобных чисел?" | Предлагают: "$99=100-1$", вычисляют значение разными способами и предполагают, что выражение можно преобразовать короче. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что представление числа в виде суммы или разности может упростить вычисление. Чтобы действовать не наугад, нам нужно вывести и сформулировать точные правила."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать правила умножения многочлена на многочлен, степени и приведения подобных слагаемых.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает фронтальный опрос: "Вспомним, чему равно произведение суммы двух выражений на сумму двух выражений. Раскройте скобки в выражении $(a+b)(a+b)$. Какое правило применяем?" | Отвечают: "Каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго", записывают $(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2$. |
2 мин | Учитель записывает на доске $(a-b)(a-b)$ и спрашивает: "Как раскрываются скобки, если перед вторым слагаемым стоит знак минус? Обратите внимание на знаки всех четырёх произведений." | Раскрывают скобки: $(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2$, приводят подобные слагаемые. |
2 мин | Учитель демонстрирует два утверждения: $(a+b)^2=a^2+b^2$ и $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. "Какое равенство вызывает сомнение? Что пропущено в первом утверждении?" | Находят ошибку в первом равенстве, объясняют, что пропущены два произведения $ab$, формулируют: "Средний член равен удвоенному произведению." |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем раскрывать скобки, но пока не сформулировали компактные правила для квадрата суммы и квадрата разности. Сейчас исследуем преобразования и сами получим эти формулы."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (3 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и алгоритм исследовательской работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Можно ли заменить каждый случай раскрытия квадрата двучлена одной общей формулой? Какие элементы обязательно должны в неё войти?" | Формулируют предположения: "Квадраты первого и второго слагаемых и произведение этих слагаемых". |
2 мин | Учитель фиксирует план: "Сначала раскроем скобки по известному правилу, затем приведём подобные слагаемые, сравним два случая и сформулируем правило. В конце проверим формулы на числовых и буквенных примерах." | Записывают план исследования, формулируют цель: "Вывести и научиться применять формулы квадрата суммы и квадрата разности". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: получить не заученное, а обоснованное правило. Переходим к его выводу и математической записи."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследовательский вывод формул (9 мин)
Цель этапа: вывести формулы квадрата суммы и квадрата разности и связать их с геометрическим представлением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает: $(a+b)^2=(a+b)(a+b)$. "Раскрываем скобки строго по правилу умножения многочлена на многочлен: первый член первого множителя умножаем на каждый член второго, затем второй член первого множителя — на каждый член второго. Получаем $a^2+ab+ab+b^2$. Какие слагаемые подобны?" | Пошагово записывают преобразование и отвечают: "$ab$ и $ab$ подобны, их сумма равна $2ab$". |
2 мин | Учитель выделяет результат: "Итак, квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. Запишем формулу: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$." | Записывают формулу, проговаривают её по частям и выделяют средний член. |
2 мин | Учитель аналогично выводит: "Рассмотрим $(a-b)^2=(a-b)(a-b)$. После раскрытия скобок получаем $a^2-ab-ab+b^2$. Поэтому $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Почему последний член положителен?" | Записывают вывод, отвечают: "Произведение отрицательных слагаемых $(-b)(-b)$ положительно, поэтому последний член равен $b^2$." |
1 мин | Учитель показывает схему квадрата со сторонами $a+b$: "Большой квадрат состоит из частей площадей $a^2$, $ab$, $ab$ и $b^2$. Их сумма подтверждает первую формулу. Для разности аналогично знак среднего члена меняется на минус." | Соотносят части схемы с членами формулы, формулируют геометрическое обоснование. |
Запись в тетрадях
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулы выведены из уже известного правила, поэтому каждый член имеет понятное происхождение. Теперь проверим, умеем ли мы применять их без промежуточной записи."
Этап 5. Первичное закрепление. Фронтальная работа (8 мин)
Цель этапа: отработать распознавание структуры двучлена и правильный выбор знака среднего члена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает разобрать выражения на доске: $(2m+3k)^2$, $(5a^2-3)^2$, $(-a-3b)^2$. "Назовите первый и второй члены двучлена, формулу и результат. Не пропускайте этап определения $a$ и $b$." | По очереди объясняют: $(2m+3k)^2=4m^2+12mk+9k^2$; $(5a^2-3)^2=25a^4-30a^2+9$; $(-a-3b)^2=a^2+6ab+9b^2$. |
3 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "В течение 30 секунд определите, где ошибка: $(x-4)^2=x^2-16$ или $(x-4)^2=x^2-8x+16$. Обсудите с соседом и подготовьте объяснение." | Сначала выбирают верное равенство индивидуально, затем обсуждают в парах и объясняют: "Верно второе, потому что необходимо учесть средний член и квадрат второго слагаемого". |
2 мин | Учитель предлагает быстро вычислить $99^2$ и $52^2$: "Выберите представление, удобное для применения формулы, и проговорите ход вычислений." | Записывают: $99^2=(100-1)^2=10000-200+1=9801$; $52^2=(50+2)^2=2500+200+4=2704$. |
Эталон решения
$99^2=(100-1)^2=100^2-2\cdot100\cdot1+1^2=10000-200+1=9801$. $52^2=(50+2)^2=50^2+2\cdot50\cdot2+2^2=2500+200+4=2704$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились раскрывать квадрат двучлена и применять формулы для быстрых вычислений. Следующий шаг — самостоятельная проверка, где каждый выберет посильный уровень и покажет, насколько уверенно действует по алгоритму."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение формулами и умение применять их в заданиях разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Базовый уровень обязателен для всех. Средний и продвинутый можно выбрать дополнительно. Записывайте преобразования, а не только ответы. На работу — 6 минут." | Выбирают карточку, читают условия, планируют порядок выполнения. |
6 мин | Учитель консультирует, не сообщая готовый ответ: "Сначала определите $a$ и $b$. Проверьте знак между ними. Затем найдите три части формулы: квадрат первого, удвоенное произведение, квадрат второго." | Выполняют задания индивидуально. Базовый вариант: раскрывают $(x+3)^2$, $(y-5)^2$, $(2a+b)^2$. Средний вариант: раскрывают $(3x-2y)^2$, $(4m+n)^2$, упрощают $(p+q)^2-(p-q)^2$. Продвинутый вариант: заменяют пропуск в выражении $a^2+12a+x$, чтобы получить квадрат двучлена, и преобразуют $25a^4-10a^2b^2+b^4$. |
3 мин | Учитель показывает эталон: "$ (x+3)^2=x^2+6x+9$; $(y-5)^2=y^2-10y+25$; $(2a+b)^2=4a^2+4ab+b^2$. Сверьте не только ответ, но и структуру записи. Поставьте себе знак: плюс — без ошибок, вопрос — есть неточность, минус — нужна помощь." | Сверяют решения с эталоном, подчёркивают место ошибки, исправляют преобразования, заполняют лист самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формула работает только при точном распознавании двучлена. Теперь обобщим алгоритм и проверим, можете ли вы объяснить его другому человеку."
Этап 7. Включение знания в систему и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, выявить типичные ошибки и оценить достижение цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает составить алгоритм: "Восстановите последовательность действий: определить знак, возвести первый член в квадрат, найти удвоенное произведение, возвести второй член в квадрат, привести результат к стандартному виду." | Восстанавливают алгоритм и формулируют его вслух. |
2 мин | Учитель показывает ошибочную запись $(3x-2)^2=9x^2-4$. "Найдите ошибку и объясните, какой член пропущен." | Исправляют: $(3x-2)^2=9x^2-12x+4$, называют пропущенный средний член $-2\cdot3x\cdot2$. |
2 мин | Учитель проводит мини-рефлексию: "Закончите фразы: сегодня я научился; при выборе формулы я смотрю; мне нужно потренироваться в..." | Заполняют фразы, поднимают зелёную, жёлтую или красную карточку в зависимости от уверенности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы вывели две формулы, применили их к буквенным выражениям и быстрым вычислениям, а также научились замечать пропущенный средний член. Дома вы закрепите алгоритм и выберете задание повышенной сложности по желанию."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания выбранного обязательного уровня, формулы записаны корректно, учтены средние члены и знаки, объяснение алгоритма полное.
- "4" — выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или знаковая ошибка, общий способ применения формул понятен.
- "3" — выполнено не менее 60% обязательных заданий, формулы воспроизведены, но имеются ошибки в удвоенном произведении или приведении подобных слагаемых.
- Ниже базового уровня — учитель фиксирует затруднение и предлагает повторно выполнить два задания с опорой на алгоритм.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о квадрате суммы и квадрате разности? | Выявление осознания содержания двух формул. |
Как определить знак среднего члена в формуле? | Проверка понимания связи знака двучлена и знака удвоенного произведения. |
Какую ошибку легче всего допустить при раскрытии квадрата двучлена? | Выявление типичных ошибок для последующей коррекции. |
Какой уровень задания вы готовы выполнить на следующем уроке? | Субъективная оценка уверенности и планирование дифференциации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы не просто запомнили формулы, а вывели их из правила умножения многочленов и подтвердили геометрическим представлением. Помните о главной ошибке: квадрат двучлена не равен сумме квадратов его членов — обязательно появляется удвоенное произведение. При работе сначала определяйте первый и второй члены двучлена, затем выбирайте знак среднего члена. На следующем уроке мы продолжим применять формулы сокращённого умножения для преобразования выражений и разложения многочленов на множители."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 заданий на представление квадратов двучленов в виде многочлена: два примера на квадрат суммы, два на квадрат разности и один пример с коэффициентами. | Закрепить чтение формул и правильную запись среднего члена; при проверке смотреть на знак и наличие всех трёх частей. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на применение формул для вычисления квадратов чисел, близких к круглым, и на упрощение разности $(a+b)^2-(a-b)^2$. | Отработать выбор удобного представления и переход от формулы к практическому вычислению. |
Продвинутый (дополнительный) | Выполнить 3 задания обратного типа: подобрать пропущенный член так, чтобы многочлен стал квадратом двучлена, и доказать одно тождество с использованием формул квадрата суммы и разности. | Развить анализ структуры многочлена, умение работать в обратном направлении и аргументировать преобразования. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Запишите формулу квадрата суммы. Чем отличается формула квадрата разности? Какой член нельзя пропускать при раскрытии квадрата двучлена?"
