Решение основных задач на проценты
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать три основных типа задач на проценты и решать не менее 4 из 5 практических задач, выбирая соответствующую модель вычисления и выполняя проверку ответа.
- Закрепить алгоритмы нахождения процента от числа, числа по его проценту и процентного отношения двух чисел.
- Развивать умение анализировать условие, выделять величины и выбирать неизвестную величину.
- Формировать навыки сотрудничества при парной проверке и аргументированного объяснения способа решения.
- Воспитывать ответственное отношение к вычислениям в жизненных ситуациях: скидки, бюджет, результаты опросов.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность процентных вычислений при планировании покупок, бюджета и анализе информации.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа проверки результата.
- Понимают значение точности вычислений для принятия обоснованных решений.
- Положительно оценивают сотрудничество и корректную взаимопомощь при работе в паре.
Метапредметные
- Анализируют текст задачи, выделяют исходную величину, процент и искомое число.
- Выбирают алгоритм решения и планируют последовательность действий.
- Проверяют разумность ответа через оценку результата и обратное действие.
- Используют электронную презентацию или интерактивную доску для анализа данных.
- Формулируют объяснение решения и аргументированно сравнивают разные способы.
Предметные
- Знать смысл понятий «процент», «процент от числа», «число по его проценту», «процентное отношение».
- Уметь находить процент от числа по формуле $a=p/100\cdot b$.
- Уметь находить число по известному значению его процента по формуле $b=a:p/100$.
- Уметь находить, сколько процентов одно число составляет от другого, по формуле $p=a:b\cdot100\%$.
- Уметь применять основные модели процентов к задачам с ценами, скидками и данными опросов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают личную ответственность за точность расчётов в финансовых ситуациях.
- Определяют личный уровень готовности к решению задач на проценты.
- Проявляют уважение к иной стратегии решения, если она математически обоснована.
- Связывают изучаемый материал с профессиями, в которых требуется анализ числовых данных.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и соотносят её с результатом работы.
- Планируют решение задачи по этапам: анализ, выбор модели, вычисление, проверка.
- Осуществляют самоконтроль по образцу и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают собственный результат по количеству верно выполненных заданий.
Познавательные УУД
- Классифицируют задачи по неизвестной величине.
- Преобразуют текстовую информацию в краткую запись или схему.
- Сравнивают способы решения и устанавливают связь между процентом и десятичной дробью.
- Моделируют практическую ситуацию с помощью математического выражения.
- Используют данные таблицы или диаграммы для получения вывода.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре, распределяя роли решающего и проверяющего.
- Задают уточняющие вопросы о выборе величины, от которой вычисляется процент.
- Объясняют решение, используя математические термины.
- Корректно формулируют замечания и принимают аргументированную обратную связь.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с тремя схемами: «процент от числа», «число по его проценту», «процентное отношение», а также слайд с диаграммой расходов семьи.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на парту, всего 15 экземпляров, с задачами трёх типов.
- Подготовить индивидуальные карточки трёх уровней: по одной на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Вывести на доску или слайд памятку: $1\%=0,01$; «найти процент от числа — умножить»; «найти число по проценту — разделить».
- Подготовить интерактивную доску или проектор и ноутбук с презентацией.
- Подготовить таймер на 3 минуты для практических заданий.
- Распечатать по одному листу самооценки на каждого ученика и по одному стикеру на каждого.
- Освободить небольшой участок класса для физкультминутки; заранее вывести на экран задания для двигательной разминки.
- Подготовить эталоны решений для взаимопроверки и итоговый билет на выход.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую работу и показать значение процентов в повседневной жизни.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображение ценника: «Смартфон стоит 24 000 рублей, скидка составляет 15%. Сегодня нам нужно понять, сколько реально заплатит покупатель. Поднимите руку, кто встречал проценты в магазине, банковском приложении или спортивной статистике». | Проверяют готовность, приводят примеры: «скидка», «кэшбэк», «результаты опроса», «процент заряда». |
2 мин | Учитель объявляет практический формат: «Сегодня теории будет немного: мы будем распознавать тип задачи, быстро выбирать формулу и проверять ответ. Работать будем фронтально, в парах и индивидуально. В конце каждый определит, какой тип задач уже решает уверенно». | Записывают тему, формулируют ожидание: «научиться решать задачи со скидками», «не путать умножение и деление». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проценты встречаются в решениях, которые мы принимаем каждый день. Сейчас проверим, какие способы вычислений уже умеем применять и где возникает затруднение».
Этап 2. Актуализация знаний. Фронтальный устный счёт (5 мин)
Цель этапа: восстановить связь между процентом, десятичной дробью и основными арифметическими действиями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске цепочку: $1\%=0,01$, $10\%=0,1$, $25\%=0,25$, $50\%=0,5$. «Назовите десятичную дробь, соответствующую 8%, 35% и 120%. Объясните, почему процент можно заменить дробью». | Отвечают: «8% = 0,08», «35% = 0,35», «120% = 1,2»; объясняют: «процент — это сотая часть целого». |
3 мин | Учитель проводит фронтальный блиц: «Найдите 10% от 300; 25% от 80; определите, сколько процентов составляет 15 от 60». После каждого ответа просит назвать действие и кратко объяснить его. | Решают устно и записывают: «30», «20», «25%». Формулируют: «для процента от числа умножаем», «для процентного отношения делим часть на целое». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили перевод процентов в дробь и увидели, что разные формулировки требуют разных действий. Теперь разберёмся, как быстро определить тип задачи по вопросу».
Этап 3. Классификация задач и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: научить распознавать три основных типа задач на проценты по известным и неизвестным величинам.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран три вопроса: «Сколько составляет 20% от 450?», «20% числа равны 90. Чему равно число?», «Сколько процентов составляет 90 от 450?». «Сравните вопросы в парах в течение одной минуты. Что неизвестно в каждом случае?» | Обсуждают в парах и формулируют: «в первом ищем часть», «во втором ищем целое», «в третьем ищем процент». |
3 мин | Учитель фиксирует на доске таблицу: «Ищем часть — умножаем целое на процент; ищем целое — делим часть на процент; ищем процент — делим часть на целое и умножаем на 100%. Сформулируйте цель урока своими словами». | Заполняют пропуски в таблице, формулируют цель: «научиться определять тип задачи и выбирать правильную формулу». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Главный ориентир — не отдельное слово «процент», а то, какую величину требуется найти. Переходим к задачам из реального контекста и будем проговаривать выбор модели».
Этап 4. Практикум в парах с использованием ИКТ (10 мин)
Цель этапа: закрепить выбор алгоритма на практических задачах со скидкой, бюджетом и результатами опроса.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает задачу на экране: «Куртка стоила 3600 рублей. В магазине объявили скидку 20%. Сколько рублей составляет скидка и сколько нужно заплатить?» «Сначала определите, что ищем. Запишите выражение и объясните его соседу». | В парах находят скидку: $3600\cdot0,2=720$ рублей; вычисляют цену: $3600-720=2880$ рублей; проговаривают: «20% берём от первоначальной цены». |
3 мин | Учитель выводит вторую задачу: «После повышения на 10% цена товара стала 1320 рублей. Какова была первоначальная цена?» «Не перепутайте: 1320 — это уже 110% первоначальной цены». | Составляют модель $1,1x=1320$, находят $x=1200$ рублей, выполняют проверку: $1200\cdot1,1=1320$. |
4 мин | Учитель показывает третью задачу и диаграмму: «В опросе участвовали 40 учеников, из них 26 выбрали велосипед. Какой процент участников сделал такой выбор?» Предлагает использовать интерактивную доску и проверить ответ калькулятором только после составления выражения. | Записывают $26:40\cdot100\%=65\%$, сравнивают результат с диаграммой, объясняют порядок действий. Один представитель пары комментирует решение фронтально. |
Эталон решения
1) Скидка: $3600\cdot20:100=720$ рублей. Цена после скидки: $3600-720=2880$ рублей. 2) После повышения цена равна $110\%$ исходной: $x\cdot1,1=1320$, поэтому $x=1320:1,1=1200$ рублей. 3) Процент участников: $26:40\cdot100\%=65\%$. Проверка: $40\cdot0,65=26$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В каждой задаче мы сначала определили целое, часть и процент, а уже потом выполняли вычисления. Сейчас сделаем короткую физкультминутку и продолжим индивидуальную работу».
Этап 5. Физкультминутка с математическим выбором (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и повторить классификацию задач через двигательную реакцию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет: «Если я называю задачу на нахождение процента от числа, поднимите руки вверх; если число по его проценту — потянитесь в стороны; если процентное отношение — выполните два лёгких приседания». Учитель произносит три ситуации: «15% от 200», «30% числа равны 45», «12 из 48 — это сколько процентов?». | Выполняют соответствующие движения и называют действия: «умножить», «разделить на процент», «разделить часть на целое и умножить на 100%». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Движение помогло ещё раз закрепить три модели. Теперь каждый самостоятельно проверит, насколько уверенно умеет применять их без подсказки».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (12 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмами и обеспечить дифференциацию заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: «Базовый уровень обязателен для всех; затем выберите средний или продвинутый уровень. Перед вычислением подпишите тип каждой задачи». Напоминает критерии: модель, вычисления, ответ, проверка. | Получают карточки, выбирают уровень после выполнения обязательного задания, подписывают тип каждой задачи. |
7 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: «Найдите 18% от 250»; «35% числа равны 84»; «21 из 60 — сколько процентов?». Средний: «Цена 1500 рублей снижена на 12%. Найдите новую цену»; «После скидки 15% товар стоит 1700 рублей. Найдите начальную цену». Продвинутый: «В классе 30 учеников, 40% посещают спортивную секцию, а среди них 25% занимаются плаванием. Сколько учеников занимается плаванием?». Учитель консультирует, но не сообщает действие напрямую. | Индивидуально решают задания, составляют краткую запись, выбирают формулу, записывают единицы измерения и выполняют проверку. |
3 мин | Учитель показывает эталон на экране и организует самопроверку: «Отметьте плюс рядом с верным решением, вопрос — рядом с местом сомнения. Исправление выполняйте другим цветом». | Сверяют решения: $45$; $240$; $35\%$; $1320$ рублей; $2000$ рублей; $3$ ученика. Исправляют ошибки и отмечают уровень самостоятельности. |
Эталон решения
$250\cdot0,18=45$. Если $35\%$ равны $84$, то $84:0,35=240$. $21:60\cdot100\%=35\%$. После скидки осталось $88\%$: $1500\cdot0,88=1320$ рублей. Если после скидки осталось $85\%$, то $1700:0,85=2000$ рублей. Плаванием занимаются $30\cdot0,4\cdot0,25=3$ ученика.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала не только количество правильных ответов, но и типичные ошибки. Чаще всего путают исходную величину и результат после изменения. В завершение обобщим алгоритм и зафиксируем личный результат».
Этап 7. Рефлексия, контроль понимания и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: осознать результат обучения, выявить затруднения и объяснить применение процентов в межпредметном контексте.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на экране таблицу «Величина — Действие»: «Заполните пропуски фронтально. Что делаем, если ищем часть? Что делаем, если ищем целое? Как находим процентное отношение?» | Отвечают: «умножаем целое на процент», «делим часть на процент», «делим часть на целое и умножаем на 100%». |
2 мин | Учитель задаёт межпредметный вопрос: «В географии и обществознании часто анализируют долю городского населения, в биологии — долю проросших семян, в экономике — скидки и налоги. Почему во всех случаях важна исходная величина?» | Формулируют: «процент зависит от того, что принято за 100%»; приводят один собственный пример. |
3 мин | Учитель раздаёт стикеры для рефлексии и билет на выход: «Запишите: 1) какой тип задач решаете уверенно; 2) где нужна тренировка; 3) решите: 30% числа равны 72. Найдите число». Объявляет домашнее задание. | Заполняют стикер: «уверенно решаю задачи на процент от числа», «нужно повторить нахождение целого». Решают $72:0,3=240$, прикрепляют стикер к шкале самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы не просто повторили формулы, а научились выбирать модель по смыслу задачи. Проверьте дома, сможете ли вы объяснить, от какой величины считается процент. На следующем уроке продолжим применять проценты в более сложных задачах».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три базовые задачи и не менее двух задач выбранного повышенного уровня; правильно определены типы задач, записаны формулы и выполнена хотя бы одна проверка.
- «4» — верно выполнены четыре задания, допущена не более одной вычислительной ошибки, алгоритм выбран правильно.
- «3» — верно выполнены три задания базового уровня, но есть отдельные ошибки в вычислениях или записи ответа; типы задач в основном определены правильно.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой из трёх типов задач вы теперь узнаёте сразу? | Выявление осознанности классификации задач. |
Что изменяется в формуле, если нужно найти число по его проценту? | Проверка понимания различия между частью и целым. |
Какая ошибка сегодня была наиболее вероятной: неправильный выбор модели или вычислительная? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Где в жизни или будущей профессии вам могут понадобиться проценты? | Связь учебного материала с функциональной грамотностью и мотивацией. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы закрепили три основные задачи на проценты и научились начинать решение не с вычислений, а с анализа вопроса. Помните: процент всегда считается от величины, принятой за 100%, поэтому особенно важно правильно определить целое. Вы увидели, что проценты нужны не только на уроках алгебры, но и при покупках, анализе опросов, планировании бюджета и в разных профессиях. Дома закрепите алгоритмы, а на следующем уроке мы будем решать более сложные задачи с последовательными изменениями величины».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 5 задач: две на нахождение процента от числа, две на нахождение числа по его проценту и одну на процентное отношение. В каждой задаче подписать тип и выполнить краткую проверку. | Закрепляет три базовых алгоритма; при проверке обратить внимание на выбор исходной величины и запись ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи со скидкой, повышением цены и результатами опроса, включая задачу, где требуется найти первоначальную цену. | Формирует умение применять проценты в реальном контексте; проверить перевод процентов в множитель и разумность ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу о семейном бюджете, скидке или спортивной статистике, используя не менее двух последовательных процентных изменений; кратко объяснить, почему эти изменения нельзя просто сложить. | Развивает создание математической модели и аргументацию; проверить корректность условия, последовательность вычислений и вывод. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти процент от числа? Как найти число по известному проценту? От какой величины считается процентное отношение? Почему скидка 20% и последующее повышение на 20% не возвращают исходную цену?»
