Способ группировки: закрепление разложения многочлена на множители
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться раскладывать на множители многочлены способом группировки, выбирая подходящее объединение членов, вынося общий множитель за скобки и выполняя самопроверку умножением.
- Закрепить правило: сначала объединять члены многочлена в группы с общим множителем, затем выносить общий множитель за скобки и получать общий множитель у всех групп.
- Развивать умение анализировать структуру многочлена, сравнивать различные способы группировки и выбирать рациональный способ преобразования.
- Формировать навыки фронтальной и самостоятельной работы с заданиями базового, повышенного и исследовательского уровня.
- Воспитывать аккуратность математической записи, ответственность за результат и готовность обосновывать выбранный способ решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность преобразований выражений для упрощения вычислений и решения задач.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе способа группировки и уровня задания.
- Понимают значение проверки результата как элемента математической культуры.
- Готовы корректно обсуждать разные варианты решения и уважать аргументированное мнение одноклассников.
Метапредметные
- Анализируют состав многочлена, выделяют пары или группы членов с общим множителем.
- Планируют последовательность преобразований и контролируют соответствие результата исходному выражению.
- Используют математическую речь для объяснения выбора группировки и применённых свойств.
- Сравнивают два способа решения и оценивают их рациональность.
- Работают с текстом учебника как с источником правила и образца рассуждения.
Предметные
- Знать этапы разложения многочлена способом группировки.
- Уметь группировать члены многочлена так, чтобы в каждой группе выделялся общий множитель.
- Уметь выносить общий множитель за скобки и получать произведение двух многочленов.
- Уметь раскладывать на множители выражения вида $3mx-my+3nx-ny$ и $ax+bx-ay-by$.
- Уметь проверять разложение обратным раскрытием скобок.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться видеть структуру многочлена и выбирать группировку.
- Осознают необходимость точной записи знаков «плюс» и «минус» при вынесении общего множителя.
- Формируют положительное отношение к поиску нескольких способов решения.
- Оценивают собственную готовность применять правило в новых выражениях.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы после анализа проблемного выражения.
- Планируют два шага преобразования: группировка и вынесение общего множителя.
- Проверяют промежуточные преобразования по распределительному закону.
- Сопоставляют свой результат с эталоном и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают степень освоения алгоритма по итогам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки выражений, пригодных для группировки.
- Устанавливают связь между переместительным, сочетательным и распределительным законами.
- Строят математическую модель преобразования многочлена в произведение.
- Исследуют разные варианты объединения членов и выявляют общий множитель.
- Применяют обратное действие — умножение — для проверки результата.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с использованием математических терминов.
- Обсуждают в парах выбор группировки и приводят аргументы.
- Задают уточняющие вопросы о знаках и общем множителе.
- Сравнивают решения одноклассников без снисходительных оценок.
- Представляют исследовательский вывод фронтально.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску с алгоритмом: 1) объединить члены в группы; 2) вынести общий множитель в каждой группе; 3) вынести общий двучлен за скобки; 4) проверить умножением.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовый — по одной на каждого ученика, повышенный — по одной на парту, исследовательский — по одной на группу из 3–4 человек.
- Подготовить карточки с выражениями $2a+bc+2b+ac$, $3mx-my+3nx-ny$, $ax+bx-ay-by$ для фронтального разбора.
- Вывести на экран правило и два образца: $3mx-my+3nx-ny=(3x-y)(m+n)$ и $ax+bx-ay-by=(a+b)(x-y)$.
- Подготовить листы для самостоятельной работы с полями «Группировка», «Вынесение», «Проверка».
- Разместить на доске выражение $2am+2an-3bm-3bn$ для исследования двух способов группировки.
- Подготовить маркеры двух цветов для выделения групп и общих множителей.
- Организовать доступ к тексту учебника по теме урока; номера страниц и заданий учитель выбирает по своему изданию.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для быстрой самооценки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую работу и показать, что группировка позволяет преобразовать многочлен, у которого нет общего множителя у всех членов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и учебника. Сегодня нам понадобится не только знание правила, но и внимательное наблюдение за строением многочлена. Работать будем математически точно: каждый знак и каждая скобка должны иметь обоснование." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату и тему, открывают учебник на разделе о разложении многочлена на множители. |
2 мин | Учитель записывает на доске $2a+bc+2b+ac$ и говорит: "Посмотрите на выражение. У всех ли четырёх членов есть общий множитель? Нет. Но в учебном примере это выражение всё же раскладывается на множители. Предположите, что можно изменить не в самом многочлене, а в порядке объединения его членов." | Отвечают: "Общего множителя у всех членов нет"; предлагают переставить и объединить члены: $(2a+2b)+(bc+ac)$; предполагают, что внутри групп можно вынести множитель. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели затруднение: общий множитель отсутствует у всего многочлена, но может появиться у отдельных групп. Сейчас восстановим необходимые свойства и проверим эту гипотезу."
Этап 2. Актуализация знаний и устная работа (6 мин)
Цель этапа: актуализировать законы действий, вынесение общего множителя и проверку разложения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит фронтальный опрос: "Какие свойства сложения позволяют менять порядок слагаемых? Какие свойства умножения используем при вынесении общего множителя? Сформулируйте распределительный закон. Не называйте только термин — приведите буквенную запись." | Отвечают: "Переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения; распределительный закон: $a(b+c)=ab+ac$". |
2 мин | Учитель записывает $6x+9y$ и спрашивает: "Какой общий множитель можно вынести? Что получится при обратном раскрытии скобок?" Затем записывает $ab-ac$ и просит назвать общий множитель. | Отвечают: $6x+9y=3(2x+3y)$; проверяют: $3(2x+3y)=6x+9y$; для второго выражения называют общий множитель $a$ и результат $a(b-c)$. |
2 мин | Учитель предлагает быстро определить ошибку в записи: $ab-ac-bc+bc=(a-c)(b+c)$. "Проверьте не вычислением, а раскрытием скобок. Какой знак потерян?" | Раскрывают скобки, получают $ab+ac-bc-c^2$ для предложенного результата и заключают, что равенство неверно; замечают необходимость внимательно сохранять знаки при группировке. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили законы, на которых основан способ группировки, и увидели, что проверка умножением быстро обнаруживает ошибку. Теперь сформулируем алгоритм преобразования."
Этап 3. Постановка проблемы и формулирование алгоритма (5 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: вывести алгоритм способа группировки через исследование образца из учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к тексту учебника: "Рассмотрите образец разложения $2a+bc+2b+ac$. Не переписывайте решение сразу. Найдите, какие члены объединены в первую группу и какие — во вторую. Почему именно такая группировка удобна?" Учитель выделяет группы цветом: $(2a+2b)+(bc+ac)$. | Читают образец, называют группы $(2a+2b)$ и $(bc+ac)$, объясняют: в первой группе выносится $2$, во второй — $c$. |
3 мин | Учитель по ответам класса записывает: $2a+bc+2b+ac=(2a+2b)+(bc+ac)=2(a+b)+c(b+a)=(a+b)(2+c)$. "Сформулируйте два обязательных действия алгоритма. Почему $b+a$ можно заменить на $a+b$?" | Формулируют: "Сначала объединить члены в группы с общим множителем, затем вынести общий множитель за скобки и вынести общий двучлен"; указывают на переместительное свойство сложения. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) объединить члены многочлена в группы, имеющие общий множитель в виде многочлена; 2) вынести общий множитель за скобки; 3) получить произведение и при необходимости проверить раскрытием скобок.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм сформулирован. Теперь проверим его на выражениях, где группы можно выбрать не единственным способом, и выясним, какой вариант приводит к общему множителю."
Этап 4. Открытие способа на примерах и исследовательская работа (9 мин)
Цель этапа: научить распознавать удачную группировку и сравнивать два равноправных способа преобразования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает $3mx-my+3nx-ny$: "Попробуйте фронтально выполнить первый способ. Объедините первые два и последние два члена. Проговаривайте каждое действие: какой общий множитель вынесли и какой общий двучлен получили." | Записывают: $3mx-my+3nx-ny=(3mx-my)+(3nx-ny)=m(3x-y)+n(3x-y)=(3x-y)(m+n)$; проговаривают общий множитель в группах $m$ и $n$, затем $3x-y$. |
3 мин | Учитель предлагает второй вариант: "Можно ли сгруппировать члены по переменным $x$ и $y$? Проверьте, получится ли тот же результат." | Получают $3mx+3nx-my-ny=3x(m+n)-y(m+n)=(m+n)(3x-y)$; сравнивают с первым способом и делают вывод о равенстве результатов. |
2 мин | Учитель организует мини-исследование: "Для выражения $2am+2an-3bm-3bn$ найдите два способа группировки. Один способ начните с первых двух членов, второй — сгруппируйте по $m$ и $n$. Какая запись короче?" | Выполняют оба варианта: $2a(m+n)-3b(m+n)=(m+n)(2a-3b)$ и $m(2a-3b)+n(2a-3b)=(2a-3b)(m+n)$; формулируют: оба способа верны, выбор зависит от удобства группировки. |
Эталон решения
$2am+2an-3bm-3bn=(2am+2an)+(-3bm-3bn)=2a(m+n)-3b(m+n)=(m+n)(2a-3b)$. Второй вариант: $2am-3bm+2an-3bn=m(2a-3b)+n(2a-3b)=(2a-3b)(m+n)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили, что способ группировки может иметь несколько вариантов. Верным будет тот, который после вынесения общих множителей даёт одинаковый двучлен или многочлен в обеих группах. Переходим к закреплению алгоритма на практических заданиях."
Этап 5. Первичное закрепление. Фронтальная работа (7 мин)
Цель этапа: отработать полный алгоритм на выражениях различной структуры с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает выражение $ab-ac-5b+5c$: "Сначала найдите удобные группы, затем объясните, почему во второй группе перед скобками появляется знак минус. Работайте в тетради, после этого один ученик запишет решение на доске." | Группируют: $(ab-ac)-(5b-5c)=a(b-c)-5(b-c)=(b-c)(a-5)$; объясняют, что из группы $-5b+5c$ выносят $-5$, чтобы получить $b-c$. |
2 мин | Учитель даёт выражение $ax+bx-ay-by$: "Какие два варианта группировки возможны? Выберите тот, который быстрее приводит к результату, и назовите второй вариант устно." | Записывают $(ax+bx)-(ay+by)=x(a+b)-y(a+b)=(a+b)(x-y)$; называют альтернативу $(ax-ay)+(bx-by)=a(x-y)+b(x-y)=(x-y)(a+b)$. |
2 мин | Учитель предлагает проверить результат раскрытием скобок и спрашивает: "Какие признаки показывают, что разложение завершено?" | Раскрывают скобки, получают исходный многочлен; отвечают: "Результат записан в виде произведения, общий множитель вынесен, дальнейшее разложение по данному способу не требуется". |
Эталон решения
$ab-ac-5b+5c=(ab-ac)-(5b-5c)=a(b-c)-5(b-c)=(b-c)(a-5)$. Проверка: $(b-c)(a-5)=ab-5b-ac+5c=ab-ac-5b+5c$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "На фронтальных примерах мы выполнили все шаги алгоритма и отдельно проследили за отрицательным общим множителем. Теперь каждый покажет, насколько уверенно умеет применять способ самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение способом группировки на заданиях трёх уровней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: "Выполните обязательное задание. Записывайте не только ответ, но и группировку. Если справитесь раньше, переходите к повышенному уровню. Помните: запись должна позволять проверить каждый переход." | Получают карточки, выполняют базовое задание: разложить на множители $a+b+ca+cb$ и $m-n+p(m-n)$. |
4 мин | Учитель предлагает повышенный уровень: "Разложите на множители $ac+bc-2ad-2bd$. Перед преобразованием подчеркните группы одинаковыми цветами. Проверьте ответ умножением." | Решают: $(ac+bc)-(2ad+2bd)=c(a+b)-2d(a+b)=(a+b)(c-2d)$; выполняют проверку раскрытием скобок. |
2 мин | Учитель предлагает дополнительное исследовательское задание: "Найдите рациональный способ разложения $ax+bx-ay-by+az+bz$. Сначала попробуйте группировать по два члена, затем сформулируйте, почему общий множитель появляется во всех группах." | Получают $(ax+bx)-(ay+by)+(az+bz)=x(a+b)-y(a+b)+z(a+b)=(a+b)(x-y+z)$; объясняют роль повторяющегося двучлена $a+b$. |
2 мин | Учитель показывает эталон на доске, организует самопроверку: "Сверьте решения по трём признакам: корректна группировка, правильно вынесены множители, результат проверен умножением. Отметьте ошибку цветом и исправьте её." | Сверяют решения, исправляют ошибки, выставляют себе условный результат по критериям, поднимают зелёную, жёлтую или красную карточку. |
Эталон решения
$a+b+ca+cb=(a+b)+c(a+b)=(a+b)(1+c)$. $m-n+p(m-n)=(m-n)+p(m-n)=(m-n)(1+p)$. $ac+bc-2ad-2bd=(ac+bc)-(2ad+2bd)=c(a+b)-2d(a+b)=(a+b)(c-2d)$. $ax+bx-ay-by+az+bz=(ax+bx)-(ay+by)+(az+bz)=(a+b)(x-y+z)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основной затрудняющий момент — не само вынесение множителя, а выбор групп. В конце урока сформулируем, как распознавать удачную группировку и какие ошибки встречаются чаще всего."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить освоение алгоритма, оценить практический результат и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Назовите два этапа способа группировки. Как понять, что группировка выбрана удачно? Почему иногда общий множитель выносят со знаком минус?" | Отвечают: "Сначала группируют члены, затем выносят общий множитель и получают общий двучлен"; "удачная группировка даёт одинаковый множитель у всех групп"; "минус выносят, чтобы скобки были одинаковыми". |
1 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "Запишите на маленьком листе один пример группировки и одну типичную ошибку, которую сегодня научились замечать." | Записывают пример, например $ax+bx-ay-by=(a+b)(x-y)$, и ошибку: неправильный знак при вынесении общего множителя. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень, а затем при готовности добавьте повышающий или дополнительный. Перед сдачей проверьте каждое разложение раскрытием скобок." | Записывают домашнее задание, отмечают для себя уровень и задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились превращать многочлены без общего множителя в произведение с помощью группировки. Главное — увидеть повторяющийся двучлен и сохранить знаки. На следующем уроке продолжим применять разложение на множители для упрощения выражений и решения задач."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательное и повышенное задания, в исследовательском задании найден общий множитель, все преобразования записаны последовательно, выполнена проверка умножением.
- «4» — правильно выполнено обязательное задание и большая часть повышенного, допущена одна вычислительная или знаковая ошибка, ход решения в целом понятен.
- «3» — выполнено хотя бы одно обязательное разложение с верной группировкой, но есть ошибки в вынесении общего множителя или отсутствует проверка.
- Ниже «3» — группировка не выбрана или преобразования не позволяют установить связь с исходным многочленом; требуется повторная работа по алгоритму.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие два действия необходимо выполнить при разложении многочлена способом группировки? | Проверка понимания алгоритма и последовательности операций. |
Как вы выбираете группы в выражении $ax+bx-ay-by$? | Выявление умения распознавать повторяющийся двучлен. |
Какая ошибка при работе со знаками показалась вам наиболее опасной? | Диагностика типичных затруднений при вынесении отрицательного множителя. |
Что вы сможете выполнить самостоятельно на следующем уроке? | Осознание личного результата и планирование дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы закрепили способ группировки и увидели, что один и тот же многочлен иногда можно преобразовать несколькими способами. Основная математическая идея — получить одинаковый множитель у разных групп, а затем вынести его за скобки. Особенно внимательно проверяйте знаки в выражениях с вычитанием и отрицательными коэффициентами. На следующем уроке мы будем использовать разложение на множители для упрощения выражений и решения более сложных задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 выражений на разложение многочлена способом группировки, включая выражения вида $a+b+ca+cb$, $m-n+p(m-n)$ и $ax+bx-ay-by$. Для каждого записать группировку и вынесение общего множителя. | Закрепляет алгоритм; при проверке обратить внимание на выбор групп и сохранение знаков. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3–4 выражения, в которых возможны два способа группировки, например $2am+2an-3bm-3bn$ и $ax+bx-ay-by+az+bz$, сравнить способы и проверить результат умножением. | Развивает умение выбирать рациональный способ и обосновывать равенство результатов. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два собственных многочлена из 4–6 членов, раскладываемых способом группировки, решить их и записать обратную проверку раскрытием скобок. | Формирует умение конструировать математические выражения и осознанно применять правило. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие группы можно выделить в многочлене? Какой общий множитель есть в каждой группе? Получился ли одинаковый множитель после вынесения? Проверил ли я ответ раскрытием скобок?»
