Признаки делимости и разложение натуральных чисел на множители
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют и применят признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9, а также разложат не менее трёх натуральных чисел на простые множители, объясняя каждый шаг решения.
- Сформировать представление о признаках делимости как способе быстро определять, делится ли число без выполнения полного деления.
- Научить раскладывать натуральное число на простые множители с использованием признаков делимости и проверять результат умножением.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, выявлять закономерности, аргументировать выводы и находить ошибки в вычислениях.
- Воспитывать ответственное отношение к вычислениям, готовность проверять результат и сотрудничать при решении учебной задачи.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность точных вычислений и самопроверки в учебной и практической деятельности.
- Проявляют интерес к поиску закономерностей в записи чисел и к самостоятельному открытию математического правила.
- Развивают уверенность в способности объяснить способ решения и корректно отнестись к иной точке зрения.
- Формируют ответственное отношение к результату групповой и индивидуальной работы.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и планируют последовательность действий.
- Сравнивают числа, выделяют существенные признаки, устанавливают закономерности и формулируют выводы.
- Работают с таблицей наблюдений, преобразуют информацию в правило и используют её для решения практических задач.
- Аргументируют ответ, задают уточняющие вопросы, распределяют роли в паре или группе.
- Осуществляют самопроверку по эталону, обнаруживают и исправляют вычислительные ошибки.
Предметные
- Знать признаки делимости натурального числа на 2, 5, 10, 3 и 9.
- Уметь определять делимость числа по его последней цифре или сумме цифр.
- Уметь различать простые и составные числа в пределах изучаемых примеров.
- Уметь раскладывать натуральное число на простые множители и записывать результат в виде произведения.
- Уметь проверять разложение на множители обратным умножением.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют познавательную инициативу при поиске признака делимости.
- Осознают личную ответственность за точность вычислений и достоверность вывода.
- Оценивают собственную готовность применять правило в новой ситуации.
- Сохраняют уважительное отношение к однокласснику при обсуждении разных способов решения.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока после фиксации учебного затруднения.
- Планируют алгоритм проверки делимости и разложения числа на множители.
- Контролируют последовательность действий и соответствие записи математическим требованиям.
- Сравнивают результат с эталоном, находят причину ошибки и корректируют решение.
- Оценивают степень освоения каждого признака по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют последнюю цифру и сумму цифр как существенные признаки числа.
- Классифицируют числа по делимости и по количеству делителей.
- Строят гипотезу на основе таблицы примеров и проверяют её на новых числах.
- Моделируют разложение числа в виде дерева множителей.
- Применяют известные свойства умножения для проверки результата.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: вычислитель, проверяющий, докладчик и секретарь.
- Формулируют полный устный ответ с использованием математических терминов.
- Задают вопросы о причине выбора признака или делителя.
- Согласуют общий вывод и аргументированно защищают его перед классом.
- Корректно указывают на ошибку и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с числами 120, 135, 246, 315, 728, 999 и таблицей для наблюдений.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить для каждой группы конверт с карточками чисел и признаков делимости; сформировать группы по 4 человека.
- Распечатать лист самооценки на каждого ученика с пунктами «Я могу определить делимость», «Я могу разложить число на множители», «Я могу проверить результат».
- Подготовить эталон решения для самостоятельной работы, закрытый до момента самопроверки.
- Вывесить на доску памятку: делимость на 2 — последняя цифра чётная; на 5 — последняя цифра 0 или 5; на 10 — последняя цифра 0; на 3 и 9 — сумма цифр делится соответственно на 3 или 9.
- Подготовить маркеры, магниты, таймер и цветные карточки для приёма «Светофор».
- Проверить наличие доски или проектора для демонстрации таблицы наблюдений и дерева множителей.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую ценность быстрого определения делимости чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и способность замечать закономерности. От точности вашей работы будет зависеть общий вывод урока." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату и готовятся к работе. |
2 мин | Учитель показывает на доске числа 240, 375 и 918 и говорит: "Представьте, что вы проверяете количество деталей на складе и должны быстро распределить их поровну по коробкам. Как узнать, можно ли разделить каждое количество на 2, 3, 5 или 10, не выполняя деление в столбик? Сегодня мы попробуем открыть такие способы самостоятельно." | Высказывают предположения: "Нужно посмотреть на последнюю цифру", "Можно сложить цифры числа", "Надо выполнить деление". Формулируют интерес к поиску быстрого способа. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что некоторые числа можно проверять быстрее, чем обычным делением. Теперь выясним, какие наблюдения уже умеем делать и на какие знания будем опираться."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия делителя, кратного, простого и составного числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что означает утверждение: число 24 делится на 6? Как называются числа 6 и 24 в этом отношении? Назовите несколько делителей числа 18." | Отвечают: "При делении 24 на 6 получается натуральное число без остатка; 6 — делитель 24, а 24 — кратное 6". Называют делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. |
2 мин | Учитель записывает числа 2, 7, 12, 17, 21 и спрашивает: "Какие из них простые, а какие составные? Почему число 1 не относят ни к простым, ни к составным?" | Классифицируют числа: простые — 2, 7, 17; составные — 12, 21. Объясняют, что у простого числа ровно два делителя, а у 1 только один делитель. |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "За 30 секунд выберите из чисел 14, 25, 31, 42 те, которые делятся на 2. Обсудите ответ с соседом и объясните, по какому признаку сделали выбор." | Сначала выбирают числа самостоятельно, затем обсуждают в парах и сообщают: "14 и 42 делятся на 2, потому что заканчиваются чётной цифрой". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили делители, кратные, простые и составные числа и уже заметили связь с последней цифрой. Теперь проверим, достаточно ли этого наблюдения для разных чисел и где возникает затруднение."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить невозможность определить делимость всех чисел только по последней цифре и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает числа 132, 225, 417 и 729: "На 2 и 5 мы можем посмотреть по последней цифре. А как быстро решить, делятся ли 132, 225 и 729 на 3 или 9? Попробуйте предложить способ, но пока не выполняйте полное деление." | Высказывают гипотезы: "Можно сложить цифры", "132 — это 1 + 3 + 2", "Нужно проверить сумму цифр". |
2 мин | Учитель организует короткое обсуждение: "Проверим ваши предположения. Сумма цифр 132 равна 6, 225 — 9, 417 — 12, 729 — 18. Что можно заметить? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Сравнивают суммы и делимость. Формулируют цель: "Открыть признаки делимости и научиться использовать их для разложения чисел на множители". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нам нужно превратить наблюдения в точные признаки и проверить их на новых числах. Работать будем как исследователи — сначала соберём факты, затем сформулируем правило."
Этап 4. Открытие нового знания (11 мин)
Цель этапа: в ходе группового исследования вывести признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 и связать их с разложением числа на простые множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель делит класс на группы и раздаёт конверты: "В каждом конверте числа и таблица. Первая группа исследует делимость на 2 и 10, вторая — на 5, третья — на 3, четвёртая — на 9. Заполните столбцы «делится» и «не делится», найдите общий признак и подготовьте одно доказательное объяснение. Секретарь записывает вывод, докладчик представит его классу." | Распределяют роли, сортируют карточки чисел, записывают наблюдения, формулируют гипотезы и готовят сообщение. Примеры выводов: "На 2 делятся числа с чётной последней цифрой", "На 5 — с последней цифрой 0 или 5", "На 3 и 9 проверяем сумму цифр". |
4 мин | Учитель выслушивает группы и уточняет: "Почему число 350 делится и на 5, и на 10? Почему 123 делится на 3, но не делится на 9? Не ограничивайтесь ответом «так получилось» — назовите признак." Затем фиксирует правила на доске. | Докладчики представляют выводы. Остальные проверяют их на числах 350 и 123, задают вопросы и записывают точные формулировки признаков. |
2 мин | Учитель показывает число 84 и говорит: "Теперь применим признаки для разложения. 84 делится на 2, значит, представим его как 2 умножить на 42. Число 42 снова делится на 2, а 21 — на 3 и 7. Что получим в конце?" | Строят дерево множителей: $84=2\cdot42=2\cdot2\cdot21=2\cdot2\cdot3\cdot7$. Формулируют: "Все множители простые, значит, разложение завершено". |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают: «Число делится на 2, если его последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8. Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Число делится на 10, если его последняя цифра 0. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9». Ниже записывают алгоритм: выбрать делитель; применить признак; если число составное, разделить его на найденный простой делитель; продолжать до получения простых множителей; проверить произведением.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли пять признаков и увидели, что они помогают не только быстро проверять делимость, но и выбирать первый шаг при разложении числа. Сейчас проверим новое знание вместе, проговаривая каждое действие."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить применение признаков и алгоритма разложения с проговариванием основания каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает устную цепочку: "Определите без деления, делятся ли на 2, 3, 5, 9 и 10 числа 270, 414 и 725. В каждом ответе называйте признак: последняя цифра или сумма цифр." | Заполняют в тетради краткую таблицу. Отвечают: "270 делится на 2, 3, 5, 9 и 10; 414 делится на 2 и 3, но не на 5, 9 и 10; 725 делится на 5, но не на 2, 3, 9 и 10". |
4 мин | Учитель разбирает задачу: "Разложите на простые множители число 150. Сначала назовите самый удобный признак, затем выполняйте деление по цепочке. Почему после получения множителя 3 нужно продолжить работу с числом 5?" Учитель просит одного ученика объяснять решение у доски, а класс — проверять каждый шаг. | Один ученик записывает $150=2\cdot75=2\cdot3\cdot25=2\cdot3\cdot5\cdot5$. Класс проговаривает: "150 делится на 2, 75 — на 3, 25 — на 5, 5 — простое число". |
Эталон решения
$150$ оканчивается на 0, поэтому делится на 2 и 5. Выбираем простой делитель 2: $150:2=75$. Сумма цифр числа 75 равна 12, поэтому $75$ делится на 3: $75:3=25$. Число 25 оканчивается на 5: $25:5=5$. Число 5 простое. Следовательно, $150=2\cdot3\cdot5\cdot5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились выбирать признак и объяснять каждое деление. Теперь каждый проверит себя индивидуально, а затем сравнит решение с эталоном, не повторяя чужой алгоритм механически."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать самостоятельное применение признаков и алгоритма разложения на простые множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень по своей готовности. Базовая карточка обязательна для всех, повышенную можно взять при уверенной работе, дополнительная задача предназначена для тех, кто хочет проверить себя. Записывайте не только ответ, но и основание каждого вывода." | Выбирают карточку, записывают фамилию и приступают к индивидуальной работе. |
6 мин | Учитель наблюдает и адресно помогает вопросами: "На какую цифру заканчивается число? Что нужно сделать с цифрами числа? Все ли множители в вашей записи простые?" На базовой карточке: определить делимость чисел 348, 615, 720 на 2, 3, 5, 9 и 10; разложить 72 и 90. На повышенной: разложить 126, 225 и объяснить выбор первого делителя. На дополнительной: найти ошибку в записи $108=2\cdot54=2\cdot2\cdot27=2\cdot2\cdot3\cdot9$ и исправить её. | Решают индивидуально, подчёркивают использованные признаки, выполняют проверку произведением. При затруднении используют памятку, но формулируют объяснение самостоятельно. |
3 мин | Учитель открывает на доске эталон: "Сначала сравните порядок действий и конечные множители, затем проверьте произведение. Исправления выполняйте другим цветом. Если ошибка найдена, запишите её причину: неверно применён признак, остановились слишком рано или ошиблись в умножении." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, отмечают количество верных заданий и заполняют один пункт листа самооценки. |
Эталон решения
$72=2\cdot36=2\cdot2\cdot18=2\cdot2\cdot2\cdot9=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3$. $90=2\cdot45=2\cdot3\cdot15=2\cdot3\cdot3\cdot5$. В дополнительной задаче ошибка состоит в том, что число $9$ оставлено составным. Правильная запись: $108=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что правило становится полезным только тогда, когда мы объясняем каждый шаг. Осталось обобщить знания, назвать затруднения и проверить, можем ли мы применить алгоритм без подсказки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить оставшиеся трудности и определить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете назвать и применить все признаки; жёлтую — если путаетесь в одном из них; красную — если пока нужна помощь. Теперь завершите фразы: «Сегодня я научился…», «При разложении числа я сначала…», «Мне нужно повторить…»" | Показывают цветную карточку, устно или письменно завершают фразы: "Сначала проверяю делимость", "Продолжаю, пока все множители не станут простыми". |
2 мин | Учитель говорит: "Запишите домашнее задание по выбранному уровню. Перед уходом ответьте на контрольные вопросы: по какой цифре узнаём делимость на 5? Что делаем для проверки делимости на 9? Когда прекращаем разложение?" | Записывают задание, отвечают: "Последняя цифра 0 или 5"; "Складываем цифры и проверяем сумму на делимость на 9"; "Когда все множители простые". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы самостоятельно открыли признаки делимости и использовали их как инструмент разложения чисел. На следующем уроке мы продолжим работать с разложением на простые множители и применим его при нахождении наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены признаки делимости для всех предложенных чисел, без ошибок выполнены оба обязательных разложения, каждый шаг объяснён, результат проверен умножением.
- «4» — правильно выполнено не менее 80% заданий, допущена одна неточность в формулировке признака или вычислении, итоговое разложение в основном верно.
- «3» — правильно выполнена базовая часть: определена делимость большинства чисел и верно разложено хотя бы одно число, но имеются ошибки в выборе признака или незавершённое разложение.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак делимости вы сегодня открыли или применили увереннее всего? | Выявление осознанности и степени усвоения конкретных правил. |
Что нужно сделать с цифрами числа, чтобы проверить делимость на 3 или 9? | Проверка понимания алгоритма работы с суммой цифр. |
На каком шаге разложения числа возникло затруднение? | Выявление точек затруднения: выбор делителя, деление или завершение разложения. |
Как вы проверили, что разложение выполнено правильно? | Формирование навыка самоконтроля через обратное умножение. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что запись числа содержит подсказки: последняя цифра помогает определить делимость на 2, 5 и 10, а сумма цифр — на 3 и 9. Мы научились использовать эти признаки при разложении натурального числа на простые множители. Обратите внимание на типичную ошибку: нельзя остановиться, пока среди множителей остаётся составное число. На следующем уроке мы применим разложение для поиска общих делителей и кратных чисел."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 6 заданий: определить делимость четырёх натуральных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10; разложить на простые множители ещё два составных числа, используя признаки делимости. | Закрепляет формулировки признаков и базовый алгоритм разложения; при проверке смотреть на объяснение каждого шага и полноту разложения. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на разложение чисел, среди которых должны быть числа, делящиеся на несколько изученных делителей; для каждого указать использованные признаки и выполнить проверку произведением. | Развивает выбор рационального способа действия и самоконтроль; при проверке обратить внимание на правильность суммы цифр и отсутствие составных множителей в конце. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 3 собственных числа: одно, делящееся на 2 и 3, но не на 5; второе, делящееся на 5 и 9; третье, не делящееся ни на 2, ни на 3. Разложить их на простые множители и объяснить, почему условия выполнены. | Формирует умение создавать математический пример по заданным условиям и аргументировать решение; при проверке смотреть на соответствие всем ограничениям и корректность разложения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как распознать делимость на 10? Как проверить делимость на 3? Почему разложение прекращается только на простых множителях? Как проверить готовое разложение?»
