Вынесение общего множителя за скобки. Способ группировки
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться раскладывать многочлены на множители способом группировки, выполняя два этапа алгоритма и проверяя результат обратным умножением.
- Актуализировать переместительный, сочетательный и распределительный законы сложения и умножения, а также правило вынесения общего множителя за скобки.
- Сформулировать и применить алгоритм группировки членов многочлена в группы с общим множителем.
- Развивать умение исследовать несколько способов группировки, сравнивать их и выбирать рациональный способ решения.
- Воспитывать аккуратность математической записи, ответственность за промежуточный результат и готовность аргументировать выбранный способ.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение преобразований многочленов для упрощения вычислений и решения математических задач.
- Проявляют познавательный интерес при поиске подходящей группировки членов многочлена.
- Оценивают собственный вклад в фронтальную и парную работу.
- Понимают ценность точной записи знаков, коэффициентов и переменных в математике.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки выражения и устанавливают связи между слагаемыми.
- Планируют преобразование многочлена по заданному алгоритму и осуществляют самопроверку.
- Сравнивают два способа группировки и обосновывают выбор более удобного.
- Формулируют математическое правило, используя результаты исследовательской работы.
- Работают с текстом учебника, извлекая определение и последовательность действий.
Предметные
- Знать, что способ группировки основан на переместительном, сочетательном и распределительном законах сложения и умножения.
- Уметь объединять члены многочлена в группы, имеющие общий множитель в виде многочлена.
- Уметь выносить общий множитель за скобки и получать произведение двух многочленов.
- Уметь раскладывать на множители выражения вида $2a+bc+2b+ac$ и $3mx-my+3nx-ny$.
- Уметь проверять разложение обратным умножением и находить ошибку в преобразовании.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат: научиться видеть общий множитель после группировки.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение при подборе групп.
- Осознают необходимость проверки результата как элемента математической культуры.
- Связывают точность преобразований с качеством будущей учебной и профессиональной деятельности.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную задачу, сформулированную на основе проблемного примера.
- Планируют два шага разложения: группировка и вынесение общего множителя.
- Контролируют знаки и коэффициенты на каждом этапе преобразования.
- Сравнивают полученный результат с эталоном и исправляют обнаруженные ошибки.
- Оценивают степень освоения алгоритма по результатам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Восстанавливают преобразование по распределительному закону.
- Анализируют структуру многочлена и выделяют пары или тройки членов с общим множителем.
- Моделируют преобразование цепочкой равенств.
- Исследуют несколько вариантов группировки и устанавливают условие успешного выбора.
- Используют обратное умножение для проверки истинности результата.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с использованием математических терминов.
- Объясняют партнёру, почему выбранные члены объединены в одну группу.
- Задают уточняющие вопросы о знаках и общем множителе.
- Сравнивают решения без перехода на оценку личности одноклассника.
- Представляют классу аргументированный вариант преобразования.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или первом слайде тему урока и выражение $2a+bc+2b+ac$, не записывая заранее способ группировки.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по количеству учащихся класса.
- Подготовить отдельные карточки с выражениями $3mx-my+3nx-ny$ и $ab-ac-5b+5c$ для фронтального разбора.
- Подготовить листы самопроверки с эталонами для самостоятельной работы.
- Вывести на экран памятку: «1) объединить члены в группы; 2) вынести общий множитель за скобки; 3) получить одинаковую скобку; 4) проверить умножением».
- Подготовить маркеры двух цветов: одним цветом выделять первую группу, другим — вторую.
- Открыть учебник на материале параграфа о способе группировки; номера заданий в ходе урока не задавать, использовать содержание и примеры из приложенного материала.
- Подготовить таймер на 3–4 минуты для практических заданий.
- Разделить задания на обязательный, повышенный и дополнительный уровни, чтобы ученик мог выбрать следующий уровень после выполнения базового.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать мотивацию к поиску способа разложения многочлена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобятся тетрадь, ручка и внимательное отношение к знакам. На доске записано выражение $2a+bc+2b+ac$. Пока не преобразуйте его, а только посмотрите на структуру многочлена." | Готовят тетради, записывают дату и рассматривают выражение на доске. |
2 мин | Учитель организует приём «Проблемный вопрос»: "Можно ли разложить этот многочлен на множители, если у всех его членов нет одного общего множителя? Не спешите отвечать. Подумайте, какие члены можно объединить так, чтобы внутри групп появился общий множитель." | Высказывают гипотезы: "Можно объединить $2a$ и $2b$, а $bc$ и $ac$"; замечают, что общий множитель может появиться после группировки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что общий множитель иногда появляется не сразу, а после перестановки и объединения членов. Сейчас восстановим необходимые правила и проверим эту гипотезу на конкретном выражении."
Этап 2. Актуализация знаний и устная разминка (6 мин)
Цель этапа: актуализировать законы действий и алгоритм вынесения общего множителя за скобки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит фронтальный опрос: "Назовите распределительный закон умножения относительно сложения. Как выполнить вынесение общего множителя в выражении $6x+6y$? Почему результатом будет произведение?" | Отвечают: "$a(b+c)=ab+ac$"; записывают $6x+6y=6(x+y)$ и объясняют, что число 6 является общим множителем. |
2 мин | Учитель предлагает устно преобразовать выражения: $5x+5y$, $7a-7b$, $3m(n+2)$. Реплика: "Следите за знаком перед вторым слагаемым. Общий множитель можно вынести вместе со знаком." | Называют результаты: $5(x+y)$, $7(a-b)$, $3mn+6m$; проговаривают правило вынесения общего множителя. |
2 мин | Учитель предлагает восстановить пропуски: $2a+2b=2(\ldots)$; $c(a+b)+d(a+b)=(\ldots)(a+b)$. Затем спрашивает: "Что должно совпасть после вынесения множителя, чтобы появилось дальнейшее разложение?" | Заполняют: $2(a+b)$ и $(c+d)(a+b)$; формулируют: "После вынесения должны появиться одинаковые скобки". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как выносить общий множитель и как раскрывать скобки. Теперь выясним, как создать одинаковую скобку в многочлене, где общего множителя пока не видно."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и сформулировать цель урока через исследование выражения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к выражению $2a+bc+2b+ac$: "Попробуйте назвать общий множитель всех четырёх членов. Получается ли сразу вынести его за скобки? Если нет, где находится затруднение?" | Отвечают: "Одного общего множителя у всех членов нет"; формулируют затруднение: "Нужно сначала сгруппировать слагаемые". |
2 мин | Учитель организует «Подумай — обсуди в паре»: "За 30 секунд предложите группировку. Затем обсудите её с соседом и объясните, почему она удобна. Цель урока сформулируйте одним предложением." | Предлагают $(2a+2b)+(bc+ac)$; формулируют цель: "Научиться раскладывать многочлены на множители способом группировки". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло из-за отсутствия общего множителя у всех членов. Наша задача — объединять члены в группы так, чтобы каждая группа имела общий множитель, а после вынесения появилась одинаковая скобка."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследовательская работа (9 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм способа группировки на основе преобразования выражений из материала учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске выражение и говорит: "Разложим многочлен $2a+bc+2b+ac$ на множители. Сначала переставим и объединим члены: $2a+bc+2b+ac=(2a+2b)+(bc+ac)$. В первой группе общий множитель 2, во второй — c. Выполните вынесение общего множителя." | Записывают цепочку: $(2a+2b)+(bc+ac)=2(a+b)+c(b+a)$. Замечают, что $b+a=a+b$. |
3 мин | Учитель продолжает: "Используем переместительный закон сложения: $b+a=a+b$. Тогда получаем $2(a+b)+c(a+b)$. Какая скобка стала общей? Какой следующий шаг возможен?" | Отвечают: "Общая скобка $(a+b)$"; выносят её: $2(a+b)+c(a+b)=(a+b)(2+c)$. |
3 мин | Учитель показывает на доске памятку и два примера из источника: $3mx-my+3nx-ny=(3x-y)(m+n)$; $ab-ac-5b+5c=(b-c)(a-5)$. Реплика: "Сравните преобразования. В каждом случае сначала образуются группы, затем одинаковый двучлен. Найдите, какие слагаемые объединены." | Выписывают группы: $(3mx-my)+(3nx-ny)$ и $(ab-ac)-(5b-5c)$; объясняют вынесение: $m(3x-y)+n(3x-y)$ и $a(b-c)-5(b-c)$. |
Запись в тетрадях
Записывают правило: «Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно: 1) объединить его члены в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена; 2) вынести этот общий множитель за скобки». Также фиксируют: $2a+bc+2b+ac=(a+b)(2+c)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели правило группировки: сначала создаём группы с общими множителями, затем выносим множители и получаем одинаковую скобку. Теперь проверим алгоритм на практике и будем обязательно проговаривать каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление. Работа у доски (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм группировки в заданиях с постепенным усложнением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает выражение $3mx-my+3nx-ny$: "К доске выйдет ученик и выполнит преобразование, а класс будет проверять каждую строку. Сначала назовите удобную группировку. Затем объясните, какой множитель выносится из каждой группы." | Ученик у доски записывает $(3mx-my)+(3nx-ny)=m(3x-y)+n(3x-y)=(3x-y)(m+n)$. Класс проговаривает: "В обеих группах появилась скобка $3x-y$". |
2 мин | Учитель предлагает выражение $ab-ac-5b+5c$: "Обратите внимание на знаки. Можно записать вторую группу как $-(5b-5c)$. Проверьте, какая скобка получится после вынесения множителей." | Записывают $(ab-ac)-(5b-5c)=a(b-c)-5(b-c)=(b-c)(a-5)$; объясняют появление общего множителя $(b-c)$. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос на анализ: "Почему преобразование $ab-ac-5b+5c=(a-5)(b+c)$ неверно? Не раскрывая полностью скобки, найдите ошибку." | Отвечают: "При вынесении из второй группы должен появиться множитель $(b-c)$, а не $(b+c)$"; предлагают проверить ошибку обратным умножением. |
Эталон решения
$3mx-my+3nx-ny=(3mx-my)+(3nx-ny)=m(3x-y)+n(3x-y)=(3x-y)(m+n)$. Для второго выражения: $ab-ac-5b+5c=(ab-ac)-(5b-5c)=a(b-c)-5(b-c)=(b-c)(a-5)$. Проверка выполняется раскрытием скобок по распределительному закону.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "На доске мы применили оба шага алгоритма и увидели, что знак минус нельзя терять при группировке. Переходим к самостоятельной работе: сначала выполните обязательный уровень, затем по готовности выберите повышенный."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (11 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение выполнять группировку и применять обратное умножение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет критерии: "Все начинают с обязательного задания. Если оно выполнено без ошибок, переходите к повышенному. Дополнительное задание выбирают те, кто хочет исследовать другой способ группировки. В каждой строке ставьте промежуточную группировку." | Читают инструкцию, выбирают уровень после выполнения обязательной части, записывают решения с цепочкой равенств. |
5 мин | Учитель консультирует: "Проверьте, есть ли общий множитель у всех членов. Если его нет, выделите группы цветом. После вынесения множителей сравните скобки. Не пропускайте переход от суммы групп к произведению." | Выполняют обязательные задания: $a+b+ca+cb$; $x+3a(x+y)+4y$; $2m(m-n)+m-n$. Получают соответственно $(a+b)(1+c)$, $(x+y)(3a+4)$, $(m-n)(2m+1)$. |
3 мин | Учитель предлагает повышенный уровень: "Разложите на множители $ac+bc-2ad-2bd$ и $2bx-3ay-6by+ax$. В первом выражении группируйте по первым двум и последним двум членам, во втором ищите группировку, которая создаёт одинаковую скобку." | Решают: $(a+b)(c-2d)$; $(2bx-6by)+(ax-3ay)=2b(x-3y)+a(x-3y)=(x-3y)(2b+a)$. |
2 мин | Учитель предлагает самопроверку по эталону на экране: "Сверьте не только ответ, но и промежуточную группировку. Ошибку обозначьте знаком вопроса и исправьте рядом. Если ответ совпал, выполните обратное умножение одного выражения." | Сверяют решения, исправляют ошибки, раскрывают скобки в одном выбранном примере и убеждаются в совпадении с исходным многочленом. |
Эталон решения
$ac+bc-2ad-2bd=(ac+bc)-(2ad+2bd)=c(a+b)-2d(a+b)=(a+b)(c-2d)$. Для выражения $2bx-3ay-6by+ax$: $(2bx-6by)+(ax-3ay)=2b(x-3y)+a(x-3y)=(x-3y)(2b+a)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что результат зависит от правильного выбора групп. Вы уже умеете не только выполнять алгоритм, но и проверять его обратным умножением. Осталось обобщить правило и зафиксировать, что именно нужно контролировать."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать способ действия, оценить результат и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутка»: "Закончите три фразы: «Сегодня я научился...», «При группировке важно...», «Мне ещё нужно потренироваться...». Затем задаёт контрольный вопрос: "Какие два действия составляют алгоритм?" | Записывают ответы: "Объединить члены в группы; вынести общий множитель за скобки"; называют типичную трудность — выбор групп или контроль знака. |
1 мин | Учитель предлагает оценить готовность карточками «Светофор»: "Зелёный — могу самостоятельно разложить многочлен; жёлтый — умею по образцу, но ошибаюсь в знаках; красный — требуется совместный разбор." | Поднимают карточки, соотносят самооценку с результатом самостоятельной работы. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень с учётом своей сегодняшней работы. В решении обязательно записывайте группировку и хотя бы одну проверку раскрытием скобок." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, уточняют непонятные условия. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились находить общий множитель после группировки членов многочлена. На следующем уроке продолжим разложение на множители и будем выбирать наиболее рациональный способ преобразования."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания и не менее одного повышенного, записаны промежуточные группировки, корректно соблюдены знаки, выполнена проверка одного результата умножением.
- «4» — верно выполнены обязательные задания, допущена одна неточность в промежуточной записи или повышенном задании, общий алгоритм применён правильно.
- «3» — правильно выполнено не менее двух обязательных преобразований, но имеются ошибки в выборе группировки, знаках или записи одинаковой скобки.
- Оценка снижается, если отсутствуют промежуточные преобразования и невозможно проследить применение алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о разложении многочлена на множители? | Выявление осознания способа группировки как последовательности двух действий. |
Как вы определяете, какие члены объединить в одну группу? | Проверка понимания признака: после группировки должен появиться общий множитель. |
На каком шаге вы чаще всего ошибались: при группировке, вынесении множителя или работе со знаками? | Выявление точек затруднения в алгоритме. |
Как вы проверяете правильность полученного произведения? | Проверка владения обратным раскрытием скобок. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что общий множитель может быть скрыт внутри структуры многочлена. Для его обнаружения мы группируем члены, выносим общий множитель и получаем одинаковую скобку. Самая частая ошибка — потеря знака минус при образовании второй группы, поэтому проверка раскрытием скобок обязательна. На следующем уроке мы продолжим выбирать рациональные способы разложения многочленов на множители."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 выражений на разложение многочлена способом группировки, аналогичных разобранным на уроке: с четырьмя членами и одной очевидной группировкой. В каждом решении записать промежуточные скобки. | Закрепить два шага алгоритма; при проверке смотреть на правильность группировки, знаков и вынесения общего множителя. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 выражения с разными вариантами группировки, включая многочлены вида $ac+bc-2ad-2bd$ и $2bx-3ay-6by+ax$. Один результат проверить раскрытием скобок. | Развить умение распознавать структуру многочлена и выбирать удобный способ; проверять совпадение с исходным выражением. |
Продвинутый (дополнительный) | Для многочлена из четырёх или шести членов найти два возможных порядка группировки, получить разложение и объяснить, какой вариант короче. Составить собственный пример, который раскладывается способом группировки. | Развить исследовательское и творческое мышление; при проверке смотреть на корректность обоих способов и математическое обоснование выбора. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие два этапа включает способ группировки? Какой признак показывает, что группировка выбрана удачно? Почему после вынесения множителей должна появиться одинаковая скобка? Как проверить результат разложения?»
