Обобщающий урок по теме «Многочлены»
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу 45-минутного практикума систематизировать правила действий с одночленами и многочленами и применить их при выполнении не менее четырёх практических заданий с последующей проверкой результата.
- Образовательная задача: повторить алгоритмы сложения, вычитания и умножения многочленов, деления многочлена на одночлен, упрощения выражений и решения уравнений.
- Развивающая задача: развивать умение выбирать рациональный способ преобразования выражения, объяснять ход решения математическим языком и обнаруживать ошибки в вычислениях.
- Коммуникативная задача: формировать умение работать фронтально, в парах и малых группах, аргументировать ответ и корректно проверять решение одноклассника.
- Воспитательная задача: воспитывать ответственность за точность вычислений, самостоятельность и интерес к применению алгебры в естественно-научных и жизненных ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать значение точной записи и проверки результата при решении математических задач.
- Проявлять познавательный интерес к исследованию разных способов преобразования выражений.
- Оценивать собственный вклад в работу пары или группы.
- Понимать связь алгебраических моделей с задачами физики, биологии и практической деятельности.
Метапредметные
- Планировать последовательность преобразований и сверять её с условием задания.
- Извлекать информацию из формул, текста задачи и рисунка, представленного в учебном материале.
- Сравнивать два способа решения и выбирать более рациональный.
- Формулировать выводы, аргументировать математическое утверждение и осуществлять взаимопроверку.
Предметные
- Знать правила приведения подобных слагаемых, сложения и вычитания многочленов.
- Уметь выполнять умножение одночлена на многочлен и многочлена на многочлен.
- Уметь делить многочлен на одночлен, записывая преобразование по действиям.
- Уметь упрощать выражения и решать линейные уравнения, содержащие многочлены.
- Уметь использовать формулы и свойства многочленов при решении практических задач.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на практикум и соотносят её с результатом урока.
- Проявляют готовность исправлять ошибку после анализа решения.
- Осознают ценность математической точности и доказательности.
- Сохраняют учебную мотивацию при выполнении задания повышенной сложности.
Регулятивные УУД
- Формулируют план преобразования выражения до начала вычислений.
- Контролируют знаки, коэффициенты и степени при выполнении действий.
- Сверяют ответ с эталоном и находят место расхождения.
- Оценивают степень освоения алгоритмов по результатам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Классифицируют задания по ведущему действию: сложение, умножение, деление или упрощение.
- Выделяют подобные слагаемые и моделируют структуру многочлена.
- Проводят исследование тождественного преобразования на конкретных примерах.
- Используют подстановку числовых значений для проверки равенства.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру каждый шаг решения математическими терминами.
- Задают уточняющие вопросы о знаках, коэффициентах и порядке действий.
- Согласовывают общий ответ в группе и распределяют роли.
- Аргументированно принимают или опровергают предложенный способ решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с правилами действий с многочленами: приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, умножение и деление на одночлен.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: базовые задания на действия с многочленами, повышенные задания на упрощение и уравнения, дополнительные исследовательские задания.
- Подготовить по одной базовой карточке на каждого ученика, по одной повышенной карточке на пару и по одному исследовательскому листу на группу из четырёх человек.
- Вывести на экран выражения $(3x^2-2x^2)+(5x-7x)$ и $(a^2-4a+5):(a-1)$ для актуализации и обсуждения алгоритма.
- Подготовить эталон самостоятельной работы для поэтапной самопроверки, закрытый до соответствующего момента урока.
- Подготовить стикеры трёх цветов для формативного оценивания и лист самооценки на каждого ученика.
- Организовать на доске место для схемы «Действие — правило — контроль результата».
- Подготовить учебник и отметить в нём материал главы о многочленах для обращения к определениям и примерам без указания конкретных номеров заданий в плане.
- Подготовить калькуляторы только для межпредметной практической задачи с большими числами; алгебраические преобразования выполнять без калькулятора.
- Для межпредметной связи подготовить карточку с данными о массе Земли $6\cdot10^{24}$ кг и массе Луны $7{,}4\cdot10^{22}$ кг.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и обозначить задачу обобщения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы работаем в режиме практикума: теории будет ровно столько, сколько необходимо для точного решения. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и учебник. На доске записана тема — «Многочлены»." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает схему «Действие — правило — контроль» и обращается к классу: "Каждое выражение сегодня будем рассматривать как математический объект. Сначала определим действие, затем назовём правило, выполним преобразование и проверим результат. В конце вы выберете задание по силам и объясните решение." | Формулируют ожидаемый результат: "Повторить правила и научиться применять их без ошибок"; выбирают цвет стикера для обозначения первоначенной уверенности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили рабочий алгоритм: действие, правило, преобразование, контроль. Теперь проверим, какие знания уже готовы к применению."
Этап 2. Актуализация знаний. Фронтальная работа (6 мин)
Цель этапа: восстановить основные правила и выявить затруднения перед практической работой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $(3x^2-2x^2)+(5x-7x)$ и говорит: "Назовите структуру выражения. Какие слагаемые являются подобными? Какое правило применяем? Не называйте только ответ — проговорите математическое действие." | Отвечают: "Это сумма многочленов; подобны $3x^2$ и $-2x^2$, а также $5x$ и $-7x$"; получают $x^2-2x$. |
2 мин | Учитель предлагает выражение $(2a-3)(a+4)$: "Какое правило позволяет раскрыть скобки? Запишите каждый результат умножения отдельно и только затем приведите подобные слагаемые." | Фронтально называют распределительное свойство, получают $2a^2+8a-3a-12=2a^2+5a-12$. |
2 мин | Учитель демонстрирует выражение $(6a^3-3a^2):(3a)$ и спрашивает: "Что делим на $3a$? Как контролируем результат?" | Объясняют деление каждого одночлена на $3a$, получают $2a^2-a$; выполняют обратное умножение для проверки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили три базовых правила и увидели, что ошибка чаще всего возникает из-за знака или пропуска слагаемого. Теперь поставим практическую задачу: выбрать верный алгоритм для разных выражений."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и планирование практикума (4 мин)
Цель этапа: научить учащихся классифицировать задания и самостоятельно выбирать порядок действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки с выражениями $5x^2-3x+2x^2+7x$, $(4y^2-8y):4y$, $(x+3)(x-2)$ и говорит: "Подумайте 30 секунд, затем обсудите в паре: какое действие является главным в каждом выражении? Составьте краткий план решения и объясните, почему нельзя начинать с приведения подобных слагаемых там, где есть произведение скобок." | В парах распределяют выражения по типам действий и формулируют планы: "сначала раскрыть скобки, затем привести подобные"; "разделить каждый член на одночлен". |
2 мин | Учитель фиксирует на доске общий алгоритм и спрашивает: "Какие средства проверки доступны? Где можно подставить число? Как понять, что выражение упрощено полностью?" | Предлагают подстановку числа, обратное действие, проверку степени и отсутствие подобных слагаемых; записывают алгоритм. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у каждой пары есть не только задание, но и план его выполнения. Переходим к практике и проверим, насколько план помогает избежать случайных действий."
Этап 4. Практикум по карточкам. Задания разной сложности (10 мин)
Цель этапа: применить правила действий с многочленами в заданиях базового и повышенного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает выбор: "Уровень 1 — выполнить сложение и вычитание многочленов: $\left(\frac12a+\frac13b\right)-\left(\frac52a-\frac23b\right)+(a+b)$. Уровень 2 — умножить и упростить: $(0{,}3a-1{,}2b)(a-b)-(1{,}3a-0{,}2b)$. Выберите уровень, который позволит вам работать самостоятельно, но потребует внимания." | Выбирают уровень, записывают действие и правило перед решением. |
4 мин | Учитель обходит класс, задаёт вопросы: "Почему при вычитании второй скобки знаки меняются? Какие слагаемые можно объединить? Проверьте коэффициент при $a$ и при $b$." При необходимости показывает на доске один промежуточный шаг. | Решают индивидуально, затем сравнивают промежуточные результаты в парах; объясняют изменения знаков. |
4 мин | Учитель выдаёт сильным учащимся исследовательскую карточку: "Сравните два выражения $(a-b)(c+d)$ и $ac+ad-bc-bd$. Докажите равенство раскрытием скобок и сформулируйте, какое свойство использовано." | Раскрывают скобки, получают одинаковый результат $ac+ad-bc-bd$, формулируют вывод о распределительном свойстве умножения. |
Запись в тетрадях
Ученики фиксируют алгоритм: «При сложении и вычитании многочленов раскрыть скобки с учётом знаков, затем привести подобные слагаемые. При умножении многочлена на многочлен умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго и привести подобные слагаемые».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили правила в выражениях разной структуры и увидели, что сложность определяется не количеством символов, а правильным выбором первого действия. Теперь проверим себя на заданиях, связанных с делением и уравнениями."
Этап 5. Межпредметная исследовательская задача (6 мин)
Цель этапа: применить алгебраические преобразования к естественно-научным данным и развить смысловое чтение математического текста.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт группам карточку: "Масса Земли равна $6\cdot10^{24}$ кг, масса Луны — $7{,}4\cdot10^{22}$ кг. Во сколько раз масса Земли больше массы Луны? Запишите отношение и преобразуйте его, используя свойства степеней. Сначала оцените порядок результата." | Читают условие, записывают отношение $\frac{6\cdot10^{24}}{7{,}4\cdot10^{22}}$, прогнозируют результат около $81$. |
3 мин | Учитель напоминает: "При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются. Коэффициенты делятся отдельно. Запишите вычисление математически, затем округлите результат до десятых." | Выполняют $\frac{6}{7{,}4}\cdot10^{24-22}=\frac{6}{7{,}4}\cdot100\approx81{,}1$; формулируют ответ. |
1 мин | Учитель спрашивает: "Почему здесь использовались не только навыки вычисления, но и чтение научного условия? Где в реальной работе может понадобиться запись числа в стандартном виде?" | Отвечают: "В физике, астрономии, естественных науках при работе с большими и малыми величинами". |
Эталон решения
$\frac{6\cdot10^{24}}{7{,}4\cdot10^{22}}=\frac{6}{7{,}4}\cdot10^{24-22}=\frac{6}{7{,}4}\cdot10^2\approx0{,}8108\cdot100\approx81{,}1$. Масса Земли примерно в $81{,}1$ раза больше массы Луны.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгебраические правила позволяют компактно работать с научными данными. Вернёмся к многочленам и проверим, умеем ли мы применять несколько действий последовательно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение основными алгоритмами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель выдаёт индивидуальный вариант: "Выполните три задания. Первое: $3x^2-2x^2+5x-7x$. Второе: $(2a-3)(a+4)$. Третье: упростите $(12x^3-8x^2):4x-4x(3x+0{,}25)$. Записывайте промежуточные преобразования, а не только ответ." | Самостоятельно решают три выражения, подчёркивают окончательный результат. |
3 мин | Учитель открывает эталон на экране: $x^2-2x$; $2a^2+5a-12$; $3x^2-2x-12x^2-x=-9x^2-3x$. Говорит: "Сверьте не только ответы, но и первый ошибочный шаг. Отметьте зелёным верное решение, жёлтым — вычислительную ошибку, красным — непонятое правило." | Сверяют решения, исправляют ошибки, отмечают цветом тип затруднения и формулируют вопрос партнёру или учителю. |
Эталон решения
1) $3x^2-2x^2+5x-7x=x^2-2x$. 2) $(2a-3)(a+4)=2a^2+8a-3a-12=2a^2+5a-12$. 3) $(12x^3-8x^2):4x-4x(3x+0{,}25)=3x^2-2x-12x^2-x=-9x^2-3x$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала не только количество верных ответов, но и характер затруднения. Последним шагом применим знания в короткой рефлексивной задаче и определим личный результат."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенные алгоритмы, оценить результат и выбрать домашнюю практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутная запись»: "Закончите три фразы: «Сегодня я уверенно умею…», «При преобразовании многочлена я сначала…», «Мне нужно повторить…». Запишите ответы кратко и конкретно." | Заполняют мини-лист самооценки, указывают конкретное правило или действие. |
2 мин | Учитель проводит фронтальный опрос: "Как проверить деление многочлена на одночлен? Почему при вычитании скобок меняются знаки? Как проверить тождественное преобразование?" | Отвечают: "Обратным умножением"; "перед скобками стоит минус, поэтому меняются знаки всех слагаемых"; "подстановкой одного или нескольких числовых значений". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и говорит: "Выберите обязательный уровень, а затем при желании добавьте повышающий или дополнительный. Выбор должен быть осознанным: ориентируйтесь на сегодняшнюю самопроверку." | Записывают выбранный уровень и контрольный вопрос, задают уточнения. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания самостоятельной работы, корректно записаны промежуточные преобразования, соблюдены знаки и приведены подобные слагаемые; межпредметная задача решена с объяснением.
- «4» — верно выполнены два задания из трёх или допущена одна вычислительная ошибка при правильно выбранном алгоритме; решение межпредметной задачи содержит полный способ.
- «3» — верно выполнено хотя бы одно базовое задание, распознано основное правило, но имеются ошибки в раскрытии скобок, делении или приведении подобных слагаемых; исправление выполнено после подсказки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое правило действий с многочленами сегодня стало понятнее? | Выявление осознанного освоения конкретного алгоритма. |
На каком шаге самостоятельной работы возникла ошибка? | Выявление точки затруднения: знак, коэффициент, степень или порядок действий. |
Как вы проверяли полученный результат? | Формирование навыка самоконтроля и математической аргументации. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Оценка готовности к самостоятельной работе и развитие учебной автономии. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы не просто повторили многочлены, а выстроили рабочий способ решения: определить действие, назвать правило, выполнить преобразование и проверить результат. Типичная ошибка связана с потерей знака при раскрытии скобок или с объединением неподобных слагаемых, поэтому именно эти места проверяйте особенно внимательно. Вы увидели, что многочлены применяются и при обработке научных данных. На следующем уроке мы продолжим преобразования и будем использовать их для решения более сложных уравнений и задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 выражения на сложение, вычитание, умножение одночлена на многочлен и деление многочлена на одночлен, аналогичные разобранным на уроке, но с другими коэффициентами. | Закрепляет базовые алгоритмы; при проверке обратить внимание на знаки, степени и приведение подобных слагаемых. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания на умножение многочленов и упрощение выражений, включая одно выражение с несколькими действиями, затем проверить один результат подстановкой числа. | Развивает последовательное применение правил и самоконтроль; проверить наличие промежуточных преобразований. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить одну исследовательскую задачу: доказать тождество $(a-b)(c+d)=ac+ad-bc-bd$ и составить собственный пример двух равных выражений, подтверждая равенство раскрытием скобок. | Формирует исследовательское и доказательное мышление; оценить корректность рассуждения и использование распределительного свойства. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какое действие выполняют первым при умножении многочленов?», «Что происходит со знаками при вычитании многочлена?», «Как проверить результат деления многочлена на одночлен?», «Какие слагаемые называют подобными?»
