Функциональные зависимости между величинами
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся научатся распознавать функциональную зависимость между величинами, выделять независимую и зависимую величины, задавать зависимость формулой, таблицей или графиком и объяснять её на практическом примере.
- Образовательная задача: сформировать представление о функциональной зависимости и способах её задания на примере зависимостей пути, времени, стоимости и температуры.
- Развивающая задача: развивать умения анализировать условие, моделировать ситуацию таблицей, формулой и графиком, сравнивать способы представления информации и делать выводы.
- Коммуникативная задача: организовать работу в парах с распределением ролей, аргументацией выбора и взаимной проверкой решения.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к точности вычислений, интерес к применению математики в профессиях и готовность корректно обсуждать разные способы решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать практическую ценность функциональных зависимостей для описания движения, расходов, измерений и процессов в природе.
- Проявлять учебную самостоятельность, выбирая уровень задания и способ представления результата.
- Понимать значение точности, проверки и аргументированного объяснения математической модели.
- Проявлять уважение к мнению партнёра и готовность принимать обоснованную коррекцию.
Метапредметные
- Выделять существенные данные из практической ситуации и преобразовывать текстовую информацию в таблицу, формулу и график.
- Ставить учебную цель, планировать последовательность действий, проверять результат по условию и исправлять ошибки.
- Сотрудничать в паре, распределять роли «аналитик» и «оформитель», задавать уточняющие вопросы и аргументировать вывод.
- Использовать интерактивную доску или цифровую модель для наблюдения за изменением величин и формулировки закономерности.
Предметные
- Знать смысл функциональной зависимости, аргумента, значения функции, независимой и зависимой величин.
- Уметь определять, какая величина является независимой, а какая зависит от неё, в несложной практической ситуации.
- Уметь задавать зависимость формулой, составлять таблицу значений и наносить соответствующие точки на координатную плоскость.
- Уметь по формуле находить значение зависимой величины и по таблице или графику восстанавливать отдельные значения.
- Уметь объяснять область применимости модели и создавать собственный пример функциональной зависимости.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения темы через связь с будущими профессиями: инженерией, экономикой, программированием и естественными науками.
- Оценивают собственную готовность работать с формулами, таблицами и графиками без страха ошибки.
- Проявляют ответственное отношение к совместному результату пары.
- Формулируют, какое умение хотят улучшить к концу урока.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют модель решения: выделяют величины, устанавливают связь, составляют формулу и проверяют её.
- Используют критерии для самопроверки таблицы, формулы и графика.
- Сравнивают полученный результат с условием, обнаруживают и исправляют ошибку.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и «билета на выход».
Познавательные УУД
- Извлекают данные из текста, экранной модели и таблицы, классифицируют величины на независимые и зависимые.
- Строят знаково-символическую модель ситуации в виде формулы и таблицы.
- Устанавливают причинно-следственную связь между изменением одной величины и изменением другой.
- Сравнивают табличный, формульный и графический способы задания зависимости.
- Формулируют гипотезу и проверяют её на нескольких значениях.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре и согласуют последовательность решения.
- Формулируют вопрос партнёру: «От чего зависит эта величина?» и дают полный ответ с обоснованием.
- Представляют модель в формате короткого сообщения и отвечают на уточняющие вопросы.
- Сравнивают разные решения без оценивания личности партнёра и аргументированно выбирают корректное.
- Используют математическую речь: «независимая величина», «зависимая величина», «значение функции».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную модель с изменяемым временем движения и автоматически изменяющимся расстоянием по формуле $s=60t$.
- Подготовить на доске или первом экране маршрут, таблицу «время — расстояние» и вопрос: «Можно ли заранее узнать расстояние, если известно время?»
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: зелёные — базовые, синие — повышающие, фиолетовые — творческие; по одной карточке на каждого ученика.
- Распечатать лист самооценки и «билет на выход» по одному экземпляру на каждого ученика, а карточки критериев — по одной на парту.
- Подготовить координатную сетку, линейки и стикеры для группового моделирования; по одному комплекту на пару.
- Подготовить проектор, ноутбук, интерактивную доску и заранее открыть ЭОР с динамической таблицей и графиком линейной зависимости.
- Вывести на доску памятку: «1. Назови величины. 2. Определи зависимость. 3. Запиши формулу. 4. Составь таблицу. 5. Построй и проверь график».
- Подготовить таймер на 2–4 минуты и музыкальный фрагмент без текста для физкультминутки.
- Подготовить межпредметный контекст: данные о скорости велосипеда, расходе воды и стоимости поездки; проверить единицы измерения и корректность чисел.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность через жизненную ситуацию и сформировать интерес к поиску зависимости между величинами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки, линейки и карточки для работы в паре. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и умение замечать связи между величинами. Посмотрите на экран: велосипедист движется с постоянной скоростью 12 км/ч. Как изменится пройденное расстояние, если время движения увеличить?" | Проверяют готовность, рассматривают изображение и формулируют первые предположения: "Расстояние увеличится", "оно зависит от времени". |
2 мин | Учитель показывает на экране интерактивную модель: бегунок времени перемещается от 0 до 5 часов, рядом меняется расстояние. Учитель говорит: "Сейчас я изменю только время, а модель сама покажет расстояние. Внимательно наблюдайте и найдите правило изменения. Что остаётся постоянным, а что меняется?" | Наблюдают за моделью, называют постоянную скорость и изменяющееся расстояние, фиксируют два примера: при 1 часе — 12 км, при 3 часах — 36 км. |
1 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала десять секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом, какую величину можно выбрать задаваемой и почему. После этого две пары озвучат свои формулировки." | Обсуждают в парах и предлагают формулировку: "Время выбираем, расстояние вычисляем по времени". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что изменение одной величины связано с изменением другой. Пока мы описали эту связь словами и наблюдением. Теперь выясним, как представить её точно — с помощью формулы, таблицы и графика."
Этап 2. Актуализация знаний и физкультминутка (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о величинах, координатах, таблицах и формулах, необходимые для построения математической модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит игру «Математический светофор»: "Я называю пару величин, а вы показываете зелёную карточку, если первая величина может быть входной, жёлтую — если нужно уточнить условие, красную — если связь не определена. Обсудим: время и расстояние при постоянной скорости; сторона квадрата и его площадь; номер ученика и его любимый цвет." Учитель просит объяснять выбор. | Показывают карточки и объясняют: "Время можно выбрать, расстояние зависит от него"; "площадь зависит от стороны"; "по номеру ученика нельзя однозначно определить любимый цвет". |
2 мин | Учитель напоминает работу с координатной плоскостью: "Назовите, что записывают по горизонтальной и вертикальной осям. Как построить точку с координатами $(2; 5)$? Как проверить таблицу значений формулы?" | Отвечают: "По оси $x$ откладывают независимую величину, по оси $y$ — зависимую"; показывают построение точки $(2;5)$; называют подстановку значения в формулу способом проверки. |
1 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Встаньте рядом с партой. Если я называю независимую величину, поднимите руки вверх; если зависимую — потянитесь в сторону. Время — руки вверх, расстояние — наклон вправо, стоимость — наклон влево. Движения выполняем спокойно, не задевая соседей." | Встают, выполняют движения по инструкции, называют пары «количество товара — стоимость», «сторона — площадь», возвращаются к рабочему месту. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили координаты, таблицы, формулы и различие между величиной, которую выбираем, и величиной, которую вычисляем. Теперь зафиксируем затруднение и поставим цель."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: обнаружить необходимость общего понятия функциональной зависимости и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует на экране три ситуации: «Стоимость поездки зависит от расстояния», «температура воздуха меняется в течение дня», «любимый цвет зависит от номера в списке». Учитель спрашивает: "Во всех ли случаях по одному значению первой величины можно однозначно определить вторую? Какой случай можно описать формулой? Что нам нужно выяснить, чтобы не смешивать случайную связь и математическую зависимость?" | Сравнивают ситуации и отвечают: "Не во всех случаях есть однозначное соответствие"; "формулой удобно описать стоимость и расстояние"; формулируют затруднение: "Нужно понять, когда одна величина однозначно зависит от другой". |
2 мин | Учитель использует приём «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите один глагол, который показывает, чему надо научиться. Объединитесь в пары, выберите три наиболее точных действия, а затем составим общую цель." Учитель фиксирует на доске слова «распознавать», «задавать», «строить», «объяснять». | Записывают индивидуальные предложения, обсуждают в парах и формулируют цель: "Научиться распознавать функциональную зависимость и представлять её формулой, таблицей и графиком". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель сформулирована. Сначала мы откроем смысл нового понятия на знакомой ситуации, затем построим модель несколькими способами и проверим её на заданиях разной сложности."
Этап 4. Открытие нового знания. Метод моделирования и ИКТ (9 мин)
Цель этапа: сформировать понятие функциональной зависимости и показать три способа её задания на конкретной модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран ситуацию: «Автомобиль движется равномерно со скоростью 60 км/ч. Найдите расстояние за 1, 2, 3 и 4 часа». Учитель говорит: "Назовём время буквой $t$, расстояние — буквой $s$. Какая величина выбирается свободно? Как получить расстояние? Запишем математическую модель: $s=60t$. Проверьте, согласуется ли формула с условием." | Выделяют величины, отвечают: "Время — независимая величина, расстояние — зависимая"; записывают формулу $s=60t$ и проверяют её на значениях $t=1$, $t=2$, $t=3$, $t=4$. |
3 мин | Учитель заполняет на интерактивной доске таблицу: «$t$: 0, 1, 2, 3, 4; $s$: ...». Учитель спрашивает: "Какое значение расстояния соответствует нулевому времени? Почему? Что произойдёт с расстоянием при увеличении времени на 1 час?" Затем включает построение точек по таблице. | Составляют таблицу: $s$: 0, 60, 120, 180, 240; объясняют: "При нулевом времени путь равен нулю"; замечают постоянное увеличение на 60 км. |
3 мин | Учитель показывает координатную плоскость: "По горизонтальной оси откладываем время, по вертикальной — расстояние. Наносим точки $(0;0)$, $(1;60)$, $(2;120)$, $(3;180)$, $(4;240)$. В реальной задаче график продолжается только при неотрицательном времени. Какое соответствие мы получили?" Учитель формулирует определение. | Наносят точки в тетрадях, соединяют их по смыслу, формулируют вывод: "Каждому допустимому значению независимой величины соответствует единственное значение зависимой"; записывают определение функциональной зависимости и способы её задания. |
Запись в тетрадях
Функциональная зависимость — это зависимость, при которой каждому значению независимой величины соответствует единственное значение зависимой величины. Независимую величину часто обозначают $x$, зависимую — $y$ или $f(x)$. Зависимость можно задать формулой, таблицей или графиком. Для модели движения $s=60t$: $t$ — время, $s$ — расстояние.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы построили одну и ту же модель тремя способами и увидели, что формула, таблица и график не противоречат друг другу. Теперь проверим, умеем ли мы узнавать такую зависимость и строить её вместе с партнёром."
Этап 5. Первичное закрепление в парах. Игра «Конструкторы моделей» (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм распознавания зависимости и перевода практической ситуации в формулу и таблицу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: «Один билет в музей стоит 300 рублей. Найдите стоимость $C$ для $n$ посетителей». Инструкция: "Аналитик называет величины и формулу, оформитель составляет таблицу для $n=1,2,3,4$. Через минуту поменяйтесь ролями. В карточке есть место для проверки результата." | Распределяют роли, называют $n$ независимой величиной и $C$ зависимой, записывают $C=300n$, составляют таблицу: 300, 600, 900, 1200 рублей. |
3 мин | Учитель предлагает двум парам прикрепить решения на доску и организует взаимопроверку по критериям: "Проверьте четыре пункта: величины названы; формула соответствует условию; таблица заполнена без вычислительных ошибок; единицы указаны. Если нашли расхождение, сначала задайте партнёру вопрос, а не сообщайте только слово «ошибка»." | Сравнивают решения, отмечают выполненные критерии, формулируют уточняющие вопросы и исправляют неточности. |
2 мин | Учитель проводит игру «Верю — не верю»: "Утверждение первое: если $C=300n$, то стоимость одного билета всегда 300 рублей. Второе: при $n=0$ модель даёт $C=0$, хотя в реальной покупке это означает отсутствие посетителей. Третье: каждому значению $n$ соответствует несколько разных стоимостей в одной и той же модели." | Поднимают карточки «верю» или «не верю», объясняют: первое и второе верны с оговоркой о модели, третье неверно, потому что одному $n$ соответствует одно $C$. |
Эталон решения
Пусть $n$ — количество посетителей, $C$ — стоимость билетов. Так как один билет стоит 300 рублей, зависимость задаётся формулой $C=300n$. При $n=1$: $C=300$; при $n=2$: $C=600$; при $n=3$: $C=900$; при $n=4$: $C=1200$. Независимая величина — $n$, зависимая — $C$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили модель в паре и научились объяснять, почему зависимость является функциональной. Теперь каждый самостоятельно выберет уровень и покажет, насколько уверенно применяет алгоритм."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение понятия, формулы, таблицы и чтения графика с учётом разного уровня подготовки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Обязательное задание выполняют все. Затем выберите зелёную карточку для базового уровня, синюю — для повышающего или фиолетовую — для творческого задания. Выбор уровня — это не оценка ваших способностей, а способ честно показать сегодняшнюю точку роста." | Выбирают карточку, записывают её цвет и начинают работу индивидуально. |
4 мин | Учитель предлагает задания. Зелёная карточка: «Для $y=4x$ найдите $y$ при $x=0,1,2,3$ и заполните таблицу». Синяя: «Тариф такси состоит из посадки 100 рублей и 20 рублей за каждый километр: задайте формулой стоимость $C$ через расстояние $d$, найдите стоимость 5 км и составьте таблицу для 0, 2, 5 км». Фиолетовая: «Придумайте реальную ситуацию, задайте её формулой, таблицей из четырёх пар значений и эскизом графика; укажите ограничение модели». | Решают выбранное задание, подписывают независимую и зависимую величины, выполняют вычисления и оформляют модель. Выполнившие базовый уровень по желанию переходят к следующему. |
3 мин | Учитель выводит эталон проверки: «Для $y=4x$: $0,4,8,12$. Для такси: $C=100+20d$, при $d=5$ получаем $C=200$ рублей». Учитель просит провести самопроверку: "Поставьте плюс за формулу, таблицу, единицы, объяснение и аккуратный график. Один недочёт исправьте другим цветом." | Сверяют решение с эталоном, отмечают критерии, исправляют найденную ошибку и записывают, что именно потребовало проверки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что одну и ту же идею можно применять на разных уровнях сложности. Осталось связать её с другими предметами и сформулировать, где такая модель полезна за пределами урока."
Этап 7. Межпредметное применение и творческое задание (4 мин)
Цель этапа: расширить представление о функциональных зависимостях через связь алгебры с физикой, географией, экономикой и информатикой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране три мини-кейса: «Физика: путь при постоянной скорости», «Экономика: стоимость товара при фиксированной цене», «Информатика: количество обработанных файлов при постоянной производительности». Учитель спрашивает: "Что в каждом случае может быть независимой величиной? Какую формулу или таблицу можно построить?" | В парах выбирают один кейс и называют величины: «число файлов и время», «количество товара и стоимость», «время и путь». Формулируют одну возможную формулу. |
2 мин | Учитель даёт творческое задание: "Создайте на стикере мини-модель для школьной жизни: расход воды, накопление баллов, стоимость поездки или количество страниц, прочитанных за время. Укажите величины, формулу или правило, две пары значений и вопрос, на который ответит ваша модель. Две пары представят идею за 20 секунд." | Создают мини-модель, записывают две пары значений, кратко представляют её и получают от класса один уточняющий вопрос. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Функциональные зависимости помогают описывать не только учебные примеры, но и реальные процессы. Теперь проверим, что каждый унесёт с урока, и определим следующий шаг обучения."
Этап 8. Рефлексия, билет на выход и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать результат, выявить затруднения и зафиксировать индивидуальное задание для дальнейшего закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Отметьте один вариант: я могу назвать независимую и зависимую величины; составить формулу; заполнить таблицу; объяснить график. Рядом запишите один пункт, который нужно повторить." | Заполняют лист самооценки, отмечают освоенные действия и личную трудность. |
1 мин | Учитель предлагает «билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса. Первое: является ли зависимость $y=5x+1$ функциональной и почему? Второе: назовите пример из жизни, где одна величина однозначно зависит от другой." | Пишут: «Да, каждому $x$ соответствует единственное $y$» и приводят пример, например «стоимость нескольких одинаковых тетрадей зависит от их количества». |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень, ориентируясь на сегодняшнюю самооценку. Проверьте, чтобы в работе были названы величины, указаны единицы и выполнена проверка формулы." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, сдают билет на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательное и выбранное задание, правильно названы независимая и зависимая величины, формула соответствует условию, таблица заполнена без ошибок, график или творческая модель оформлены и объяснены.
- «4» — выполнены задания с одной несущественной вычислительной или оформительской ошибкой, при этом смысл зависимости, формула и основная последовательность решения сохранены.
- «3» — правильно определена хотя бы одна величина и начата модель, но допущены ошибки в формуле, таблице или чтении графика; после подсказки ученик может исправить решение.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о функциональной зависимости? | Проверка осознания ключевого определения и признака однозначного соответствия. |
Как определить, какая величина независимая, а какая зависимая? | Выявление понимания роли величин в математической модели. |
Что было труднее: составить формулу, таблицу или график? Почему? | Выявление точек затруднения в алгоритме моделирования. |
Где функциональная зависимость может пригодиться в жизни или будущей профессии? | Связь учебного материала с практикой и поддержка внутренней мотивации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть функциональную зависимость в движении, стоимости и других жизненных ситуациях. Мы выяснили, что формула, таблица и график могут описывать одну и ту же модель. Помните о типичной ошибке: нельзя назвать зависимость функциональной, не проверив, что каждому допустимому значению первой величины соответствует единственное значение второй. Дома вы закрепите алгоритм на выбранном уровне. На следующем уроке мы продолжим исследовать функции и научимся внимательнее читать их графики."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на распознавание независимой и зависимой величин в практических ситуациях; для двух ситуаций записать формулу и составить таблицу из четырёх значений. | Закрепляет терминологию и базовый алгоритм перехода от текста к формуле и таблице; при проверке смотреть на однозначность зависимости и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на функциональную зависимость, включая задачу о стоимости с фиксированной частью и переменной оплатой; для одной задачи построить график по таблице. | Формирует умение моделировать составную практическую ситуацию и согласовывать формулу, таблицу и график. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать собственную модель из школьной или бытовой жизни: описать ситуацию, назвать величины, задать зависимость формулой или правилом, составить таблицу из пяти пар, построить эскиз графика и указать ограничение модели. | Развивает творческое мышление, функциональную грамотность и умение оценивать область применимости математической модели. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется функциональной зависимостью? Какая величина является независимой в формуле $y=3x+2$? Как проверить таблицу значений? Какими тремя способами можно задать зависимость?»
