Взаимное расположение графиков линейных функций
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться по коэффициентам k и b линейных функций вида y = kx + b определять, пересекаются ли их графики, являются ли они параллельными или совпадают, а также находить координаты точки пересечения двух пересекающихся прямых.
- Сформировать понимание роли коэффициента k как характеристики наклона прямой и коэффициента b как ординаты точки пересечения графика с осью Oy.
- Научиться применять алгоритм сравнения коэффициентов к функциям, записанным непосредственно в виде y = kx + b и после раскрытия скобок.
- Развивать умение рассуждать по вопросам, объяснять выбор ответа, проверять решение и работать с заданиями трёх уровней сложности.
- Воспитывать самостоятельность, аккуратность математической записи и готовность аргументированно отстаивать свой вывод.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию графиков и видят связь формулы с геометрическим образом.
- Осознают ценность точного рассуждения и проверки результата.
- Развивают самостоятельность при выборе уровня задания и оценке собственных затруднений.
- Формируют ответственное отношение к совместной работе и математической аргументации.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки функций, сравнивают коэффициенты и классифицируют графики.
- Планируют решение по алгоритму, осуществляют самопроверку и исправляют ошибки.
- Формулируют гипотезы, задают вопросы, объясняют ход рассуждения партнёру.
- Извлекают информацию из формул, таблиц, графика и схемы на экране.
Предметные
- Знать условия пересечения, параллельности и совпадения графиков функций y = kx + b.
- Уметь сравнивать коэффициенты k1 и k2, а при их равенстве — свободные члены b1 и b2.
- Уметь находить точку пересечения графиков уравниванием правых частей функций.
- Уметь исследовать функции после раскрытия скобок и определять значение параметра.
- Уметь объяснять особый случай горизонтальных прямых y = b.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться предсказывать положение прямых без построения полного графика.
- Осознают смысл изучения коэффициентов для решения практических и профессиональных задач.
- Оценивают собственную готовность переходить от наблюдения к доказательному выводу.
- Проявляют уважение к иной точке зрения при обсуждении математических гипотез.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока, составляют последовательность действий по алгоритму.
- Контролируют правильность преобразования формул и сравнения коэффициентов.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют допущенную ошибку.
- Оценивают результат по критериям и формулируют дальнейший шаг для улучшения.
Познавательные УУД
- Сравнивают математические объекты по двум признакам: k и b.
- Устанавливают причинно-следственную связь между равенством коэффициентов и видом графиков.
- Моделируют ситуацию с помощью формул, таблицы и координатной плоскости.
- Преобразуют выражения, выделяют главное и делают обобщающий вывод.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по схеме «Подумай — обсуди — поделись».
- Формулируют полный ответ с математическим обоснованием.
- Задают уточняющие вопросы и корректно обсуждают ошибочные решения.
- Распределяют роли при выполнении творческого задания и представляют общий результат.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с определением линейной функции, тремя случаями расположения прямых, графиками и алгоритмом исследования.
- Вывести на доску или слайд формулы y = kx + b и условия: k1 ≠ k2 — пересекаются; k1 = k2, b1 ≠ b2 — параллельны; k1 = k2, b1 = b2 — совпадают.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся.
- Подготовить карточки для творческой работы: наборы коэффициентов и пустые координатные мини-плоскости по одной на пару.
- Подготовить листы самооценки со светофором и четырьмя пунктами алгоритма.
- Подготовить эталон самостоятельной работы для показа после выполнения.
- Проверить проектор, компьютер и возможность демонстрации графиков на координатной плоскости.
- Раздать на каждую парту линейку, карандаш и цветные ручки для выделения коэффициентов.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование проблемы и создать ситуацию познавательного затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня мы будем не просто строить прямые, а попробуем по одной только формуле заранее предсказать, встретятся ли два графика. Поднимите руку те, кому кажется, что для этого обязательно нужно строить обе прямые полностью." | Проверяют готовность, поднимают руки, кратко объясняют предположение: "По графику это видно сразу" или "По формуле пока непонятно". |
2 мин | Учитель показывает на экране графики функций y = 2x + 1 и y = 2x − 3: "Посмотрите на эти прямые. Что общего в их направлении? Почему они не пересекаются? А если изменить только число после x, изменится ли наклон? Сформулируйте гипотезу." | Рассматривают графики, обсуждают в парах и формулируют гипотезу: "Одинаковый коэффициент при x даёт одинаковый наклон, а разные свободные члены разводят прямые". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что формула может заранее сообщить нам о положении прямой. Теперь вспомним, что именно обозначают её коэффициенты, и проверим нашу гипотезу."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить понятия линейной функции, коэффициента k и свободного члена b.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает формулу y = kx + b и спрашивает: "Как называется такая функция? Какую роль играет k? Какую роль играет b? Если k положителен, как ведёт себя график при движении слева направо? Что происходит при k = 0?" | Отвечают: "Линейная функция"; "k показывает наклон и изменение y при увеличении x на единицу"; "b — ордината пересечения с Oy"; "При k > 0 график возрастает, при k < 0 убывает, при k = 0 получается горизонтальная прямая". |
3 мин | Учитель предлагает быстро выделить коэффициенты в формулах: y = 3x − 2, y = −x + 4, y = 5, y = 2(x + 1). Спрашивает: "Какой коэффициент k у каждой функции? Что нужно сделать с последней записью, прежде чем сравнивать её с другой?" | Записывают пары k и b: (3; −2), (−1; 4), (0; 5), для последней раскрывают скобки: y = 2x + 2. Формулируют: "Сначала нужно привести функцию к виду y = kx + b". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что k отвечает за наклон, а b — за положение прямой на оси Oy. Теперь выясним, какие комбинации этих двух коэффициентов приводят к трём возможным случаям."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: вывести учащихся на самостоятельную формулировку признаков взаимного расположения графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает пары: y = x + 2 и y = −x + 4; y = 2x + 1 и y = 2x − 3; y = 3x − 2 и y = 3x − 2. "Что вы заметили? В каждой паре сравните сначала коэффициенты при x, затем свободные члены. Какой вопрос возникает?" | Сравнивают коэффициенты и замечают три случая. Формулируют вопрос: "Можно ли по k и b определить, пересекутся ли графики, будут параллельными или совпадут?" |
2 мин | Учитель направляет эвристическую беседу: "Если наклоны разные, могут ли прямые всё время сохранять одинаковое расстояние? Если наклоны одинаковые, что решает, будет ли это одна и та же прямая? Запишите цель урока своими словами." | Рассуждают: "Разные наклоны приводят к пересечению"; "При одинаковом наклоне нужно сравнить b". Записывают цель: "Научиться определять взаимное расположение прямых по коэффициентам". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы сами обнаружили порядок исследования: сначала сравниваем k, а если они равны — сравниваем b. Теперь проверим этот вывод на графиках и оформим правило."
Этап 4. Открытие нового знания. Вывод правила (9 мин)
Цель этапа: сформировать и осмыслить три признака взаимного расположения графиков линейных функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует на экране три группы прямых и задаёт вопросы: "Сначала рассмотрим функции с разными k. Как направлены прямые? Почему они не могут оставаться на одном расстоянии? Теперь рассмотрим одинаковые k и разные b. Что меняется, а что остаётся прежним? Наконец, что происходит при равенстве и k, и b?" | По графикам называют: "При разных k прямые пересекаются"; "При одинаковых k и разных b имеют одинаковый наклон и не пересекаются"; "При одинаковых k и b графики совпадают". |
3 мин | Учитель открывает слайд с правилом: "Запишем общий вывод. Если k1 ≠ k2, графики пересекаются. Если k1 = k2, но b1 ≠ b2, графики параллельны. Если k1 = k2 и b1 = b2, графики совпадают. Объясните, почему нельзя остановиться только на сравнении k." | Записывают правило, отвечают: "Одинаковый k ещё не различает параллельные и совпадающие прямые, поэтому нужно сравнить b". |
3 мин | Учитель разбирает пример: "Даны y = 2x + 1 и y = −x + 4. Коэффициенты 2 и −1 различны, поэтому прямые пересекаются. Чтобы найти общую точку, приравняем правые части: 2x + 1 = −x + 4; 3x = 3; x = 1; y = 3. Точка пересечения — (1; 3). Почему найденная точка должна удовлетворять обеим формулам?" | Записывают решение и проверяют: при x = 1 обе функции дают y = 3. Формулируют: "В общей точке значение y у обеих функций одинаково". |
Запись в тетрадях
Линейная функция имеет вид y = kx + b. Если k1 ≠ k2, графики пересекаются. Если k1 = k2 и b1 ≠ b2, графики параллельны. Если k1 = k2 и b1 = b2, графики совпадают. Для нахождения точки пересечения приравнивают правые части функций и находят сначала x, затем y.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правило теперь записано. Но правило становится полезным только тогда, когда мы умеем применять его без подсказки. Начнём с коротких примеров и будем каждый ответ обязательно объяснять."
Этап 5. Первичное закрепление и практическая работа (8 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм сравнения коэффициентов в заданиях базового и повышенного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки базового уровня: "Для каждой пары определите расположение графиков и запишите причину. 1) y = 4x + 1 и y = 4x − 2; 2) y = −2x + 3 и y = x − 1; 3) y = 3x − 5 и y = 3x − 5. Подчеркните сначала k, затем b." | Индивидуально выполняют три задания: называют соответственно параллельные, пересекающиеся и совпадающие графики. Сверяют выделенные коэффициенты в паре. |
3 мин | Учитель предлагает повышенный уровень: "Исследуйте функции y = 2(x + 1) и y = 2x + 2; y = −3(x − 2) и y = −3x + 1. Сначала раскройте скобки, затем сравните коэффициенты. Почему в первой паре графики совпадают?" | Раскрывают скобки: y = 2x + 2 и y = 2x + 2; y = −3x + 6 и y = −3x + 1. Делают вывод: первая пара совпадает, вторая пара параллельна. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками. Проверяющий ставит знак плюс только при наличии не одного ответа, а полного обоснования: сравнение k, затем при необходимости b, затем вывод." | Проверяют работу партнёра по алгоритму, исправляют неточности, формулируют замечание: "Ответ верный, но не указано сравнение свободных членов". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились классифицировать прямые по коэффициентам. Далее каждый проверит себя самостоятельно, а затем попробует создать собственную пару функций с заданным расположением графиков."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и умение находить точку пересечения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает выбрать один из двух вариантов: "Вариант А: определите расположение графиков y = 5x − 1 и y = 5x + 4; найдите точку пересечения функций y = 2x + 1 и y = −x + 4. Вариант Б: определите параметр a, при котором графики y = 3x + a и y = 3x − 2 совпадут; исследуйте функции y = 2(x − 1) и y = 2x + 3." | Самостоятельно решают выбранный вариант. В варианте А получают параллельность и точку (1; 3). В варианте Б получают a = −2 и выводят, что вторая пара параллельна. |
3 мин | Учитель показывает эталон: "Проверьте не только результат, но и порядок действий. В точке пересечения сначала приравниваем функции, затем находим x, подставляем его в одну из формул и записываем координаты." | Сверяют решение с эталоном, отмечают зелёным правильные шаги, жёлтым — требующие исправления. Показывают карточку светофора. |
Эталон решения
Для функций y = 2x + 1 и y = −x + 4: 2x + 1 = −x + 4; 3x = 3; x = 1; y = 2 · 1 + 1 = 3. Точка пересечения: (1; 3). Для функций y = 5x − 1 и y = 5x + 4: k1 = k2 = 5, но b1 ≠ b2, поэтому графики параллельны.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм можно применять без построения графика. Осталось использовать его творчески: не распознать готовую пару, а самим сконструировать нужные прямые."
Этап 7. Творческое задание, рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: применить правило в новой ситуации, обобщить изученное и определить степень освоения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает творческое задание: "В паре создайте три пары функций: первую — с пересекающимися графиками, вторую — с параллельными, третью — с совпадающими. Используйте хотя бы один случай с k = 0. Для каждой пары запишите объяснение в одну строку. Затем обменяйтесь листами с другой парой и проверьте, удалось ли авторами выполнить условие." | Подбирают, например: y = x + 1 и y = 2x − 3; y = 3x + 2 и y = 3x − 4; y = −2x + 5 и y = −2x + 5; отдельно включают y = 4 и y = −2 как параллельные горизонтальные прямые. Обосновывают выбор. |
3 мин | Учитель проводит рефлексию: "Закончите фразы: сегодня я понял; теперь я умею; ошибка, которой нужно избегать; вопрос, который ещё остался. Какой шаг алгоритма является главным?" | Заполняют лист самооценки, формулируют ответы: "Сначала сравниваю k"; "При равных k сравниваю b"; "Нельзя забывать раскрывать скобки". |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы перед выходом: "Если k1 ≠ k2, как расположены графики? Что проверяем при равных k? Как найти точку пересечения? Что представляют функции y = 4 и y = −2?" Сообщает домашнее задание. | Отвечают: "Пересекаются"; "Сравниваем b"; "Приравниваем правые части"; "Это параллельные горизонтальные прямые". Записывают домашнее задание. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — правильно выполнены все задания выбранного варианта, корректно раскрыты скобки, верно определены все случаи расположения и полностью найдена точка пересечения с обоснованием.
- "4" — правильно выполнена основная часть заданий, допущена одна неточность в преобразовании или оформлении, но правило взаимного расположения применено верно.
- "3" — определены не менее двух случаев из трёх или найдено значение x в задаче на пересечение, однако есть ошибки в сравнении b, подстановке или формулировке вывода.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нужно сравнить в первую очередь: k или b? Почему? | Проверка понимания последовательности алгоритма. |
Как по коэффициентам отличить параллельные графики от совпадающих? | Выявление осознания роли свободного члена. |
Какой шаг при нахождении точки пересечения оказался самым сложным? | Выявление затруднений в преобразовании уравнения и подстановке. |
Какой уровень задания вы выбрали и готовы ли в следующий раз выбрать более сложный? | Субъективная оценка освоения темы и учебной самостоятельности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что положение двух прямых можно предсказать по их формулам. Главный порядок действий таков: сначала сравниваем коэффициенты k, а при их равенстве — свободные члены b. Не забывайте перед сравнением раскрывать скобки и приводить функцию к виду y = kx + b. На следующем уроке мы продолжим находить точки пересечения и применять графики линейных функций при решении систем уравнений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на определение взаимного расположения графиков по формулам вида y = kx + b: две пары на параллельность, одну на пересечение и одну на совпадение. В каждом решении явно сравнить k и при необходимости b. | Закрепляет три признака; при проверке смотреть на последовательность сравнения и полноту вывода. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания: найти координаты точки пересечения двух пересекающихся прямых; определить расположение функций после раскрытия скобок; найти значение параметра, при котором две функции совпадут. | Формирует умение применять алгоритм в преобразованной записи и работать с параметром. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу: подобрать пару функций с горизонтальными параллельными графиками, пару совпадающих функций в разных записях и пару пересекающихся функций с целочисленной точкой пересечения. Построить эскизы и дать доказательство. | Развивает создание математической модели, проверку условия и объяснение результата. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Какой признак сразу указывает на пересечение? Почему при равных k нужно сравнить b? Как записывается алгоритм исследования двух функций? Что получится при k = 0?"
