Графическое решение уравнений и систем уравнений
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся научатся строить графики двух функций, находить по рисунку координаты точек их пересечения и использовать эти координаты для графического решения линейного уравнения и системы двух уравнений с двумя переменными.
- Образовательная задача: раскрыть смысл графического способа решения уравнения как поиска общих точек графиков функций и системы как поиска координат точки пересечения двух графиков.
- Развивающая задача: формировать умение преобразовывать уравнение к виду функций, строить таблицу значений, анализировать график и оценивать точность полученного ответа.
- Коммуникативная задача: организовать аргументированное обсуждение решений в парах и группах с использованием математической речи.
- Воспитательная задача: развивать самостоятельность, ответственность за результат и понимание связи алгебры с компьютерной графикой, инженерией и анализом данных.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к способам решения задач, которые позволяют увидеть математический ответ на графике.
- Осознают ценность самостоятельного выбора способа решения и проверки результата.
- Понимают практическую значимость графиков для будущих профессий, связанных с проектированием, программированием и обработкой данных.
- Принимают необходимость аккуратности и ответственности при построении координатной плоскости.
Метапредметные
- Умеют ставить учебную цель, планировать последовательность построения графиков и оценивать достижение результата.
- Извлекают информацию из формулы, таблицы и графического изображения, переводят её из одной формы в другую.
- Сравнивают алгебраическое и графическое решения, выявляют достоинства и ограничения каждого способа.
- Работают в паре, формулируют вопрос, приводят аргументы и корректно принимают замечания.
Предметные
- Знать, что корень уравнения $f(x)=g(x)$ соответствует абсциссе общей точки графиков $y=f(x)$ и $y=g(x)$.
- Знать, что решением системы является упорядоченная пара координат общей точки двух графиков.
- Уметь преобразовывать уравнение к виду двух функций и строить их графики по таблице значений.
- Уметь находить по графику приближённое решение уравнения и системы, записывать ответ и выполнять проверку.
- Уметь объяснять, почему система может иметь одно, несколько или не иметь решений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в работу пары и оценивают собственную готовность применять графический способ.
- Формируют смыслообразование через понимание связи формулы, графика и реальной зависимости.
- Проявляют уважение к различным стратегиям решения одной задачи.
- Развивают уверенность при представлении собственного математического рассуждения.
Регулятивные УУД
- Совместно с учителем формулируют цель урока и критерии успешного выполнения задания.
- Планируют построение: выделяют функции, выбирают значения аргумента, строят точки и проводят графики.
- Осуществляют самопроверку по координатам точек и по условию задачи.
- Обнаруживают ошибку в масштабе или вычислениях и корректируют построение.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки графического решения уравнения и системы.
- Устанавливают соответствие между равенством функций и общей точкой графиков.
- Строят и используют математическую модель в виде координатной плоскости.
- Анализируют число точек пересечения и делают вывод о числе решений.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, строитель графика, проверяющий и докладчик.
- Формулируют ответы полным предложением: «Решение системы — координаты точки пересечения».
- Задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор масштаба и ответа.
- Согласовывают общий вывод и корректно оценивают работу партнёра.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с координатной плоскостью, графиками $y=2x+1$ и $y=5-x$, а также графиками параллельных и совпадающих прямых.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Подготовить листы в клетку для построения графиков — по одному на ученика, и цветные маркеры двух цветов — по одному набору на парту.
- Вывести на доску памятку: «1. Выдели функции. 2. Построй графики. 3. Найди общие точки. 4. Запиши ответ. 5. Проверь».
- Подготовить карточку с проблемным вопросом: «Как узнать решение уравнения, не выполняя преобразования до конца?» — по одной на группу.
- Подготовить эталон координатной плоскости с осями, единичным отрезком и направлением положительных координат.
- Организовать таймер на 3 минуты для работы в парах и на 5 минут для самостоятельной работы.
- Оборудование: компьютер, проектор или интерактивная доска, доска, маркеры, линейки, карандаши, листы в клетку.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к графическому способу решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два пересекающихся графика без подписей: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём с изображения, которое часто используют инженеры, программисты и аналитики. Посмотрите на две линии: они пересеклись в одной точке. Какую информацию можно получить по этой точке?" | Рассматривают график, выдвигают предположения: "Можно узнать координаты", "Точка показывает общее значение двух зависимостей". |
2 мин | Учитель вводит приём «Проблемный вопрос»: "Представьте, что две формулы описывают движение или стоимость. Как найти значение, при котором они дают одинаковый результат? Сегодня мы проверим, может ли график стать способом решения уравнения и системы. В конце урока вы сами сформулируете алгоритм." | Формулируют предварительную гипотезу: "Нужно найти пересечение графиков"; записывают тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что точка пересечения может содержать ответ. Теперь вспомним, какие умения нужны, чтобы построить прямую и прочитать координаты точки."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о линейной функции, координатах и построении прямой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Запишите, что вам необходимо знать, чтобы построить график функции $y=2x-1$. Сначала работайте самостоятельно, затем сравните ответ с соседом." | Записывают: коэффициенты, значения $x$, таблицу значений, координатную плоскость; обсуждают в парах 1 минуту. |
2 мин | Учитель показывает формулу и спрашивает: "Как называется график линейной функции? Что показывает коэффициент при $x$? Как найти точку пересечения графика с осью $Oy$?" | Отвечают: "Прямая"; "угловой коэффициент и направление наклона"; "подставить $x=0$". |
2 мин | Учитель предлагает быстро построить по двум точкам график $y=x+2$: "Выберите удобные значения $x=0$ и $x=2$. Запишите координаты и покажите точки на листе." | Вычисляют точки $(0;2)$ и $(2;4)$, отмечают их на координатной плоскости и соединяют прямой. |
Запись в тетрадях
Линейная функция задаётся формулой $y=kx+b$. Для построения графика достаточно найти координаты двух точек и провести через них прямую.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как строить график функции и читать координаты. Но пока неясно, как связать пересечение графиков с решением уравнения. Зафиксируем это затруднение и поставим цель."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: обнаружить новое отношение между равенством функций и общей точкой графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске уравнение $2x+1=5-x$: "Попробуйте объяснить, что означает это равенство. При каком значении $x$ выражения слева и справа имеют одно и то же значение? Можно ли представить левую и правую части как две функции?" | Представляют уравнение как $y=2x+1$ и $y=5-x$, отвечают: "Нужно найти такое $x$, при котором значения функций равны". |
2 мин | Учитель показывает две прямые и спрашивает: "Что общего у координат точки пересечения? Какую координату мы будем считать решением уравнения, а какие координаты — решением системы?" | Формулируют гипотезу: "У точки пересечения одинаковы значения $y$, а её абсцисса является корнем уравнения"; предполагают, что для системы нужны обе координаты. |
Запись в тетрадях
Цель урока: научиться решать уравнения и системы уравнений графически, находя общие точки графиков соответствующих функций.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Гипотеза сформулирована. Теперь проверим её на конкретных построениях и выведем алгоритм, которым сможет пользоваться каждый."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести графический способ решения уравнения и системы через работу с двумя прямыми.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует построение: "Рассмотрим уравнение $2x+1=5-x$. Запишем левую часть как функцию $y=2x+1$, правую — как функцию $y=5-x$. Постройте обе прямые по двум точкам. Для первой возьмём $(0;1)$ и $(1;3)$, для второй — $(0;5)$ и $(1;4)$." Учитель показывает, как провести прямые разными цветами. | Строят две прямые, отмечают точку пересечения, получают приблизительные координаты $(4/3;11/3)$ или близкие значения по масштабу. |
3 мин | Учитель задаёт цепочку вопросов по приёму «Сократовский диалог»: "Почему в точке пересечения значения $y$ одинаковы? Какое равенство можно записать? Что является корнем исходного уравнения?" | Отвечают: "В точке пересечения графики имеют одну и ту же ординату"; "$2x+1=5-x$"; "Абсцисса точки пересечения — корень уравнения". |
3 мин | Учитель переходит к системе: "Рассмотрим систему $\begin{cases}y=2x+1\y=5-x\end{cases}$. Построенные прямые уже готовы. Сколько у них общих точек? Какие координаты нужно записать в ответ?" Учитель выделяет точку пересечения и формулирует алгоритм. | Записывают: "Решение системы — координаты общей точки двух графиков"; фиксируют алгоритм из пяти шагов. |
Запись в тетрадях
Графическое решение уравнения $f(x)=g(x)$: построить графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$; найти их общие точки; абсциссы общих точек записать как корни уравнения. Графическое решение системы: построить графики двух уравнений; координаты каждой общей точки записать как решение системы.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы доказали, что общая точка графиков превращает равенство функций в решение. Теперь применим алгоритм вместе и научимся объяснять каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать построение графиков и чтение решения с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с заданием: "Постройте графики $y=x+1$ и $y=4-2x$. Найдите координаты их точки пересечения и объясните, как она связана с решением уравнения $x+1=4-2x$. В паре распределите роли: один вычисляет, второй строит; затем поменяйтесь ролями при проверке." | Вычисляют по две точки для каждой прямой, строят графики разными цветами, находят точку $(1;2)$. |
3 мин | Учитель останавливает работу и просит одну пару представить решение: "Расскажите не только ответ, но и почему он верен. Какие координаты вы проверяли?" | Докладчик объясняет: "Графики пересекаются в точке $(1;2)$, поэтому абсцисса $x=1$ — корень уравнения". Остальные сверяют построения. |
2 мин | Учитель предлагает задание на анализ: "На экране изображены параллельные прямые. Предскажите, сколько решений имеет соответствующая система, ещё до вычислений. Обоснуйте ответ." | Формулируют: "Общих точек нет, значит, система не имеет решений"; приводят аргумент о равных угловых коэффициентах и разных свободных членах. |
Эталон решения
Для уравнения $x+1=4-2x$ строим $y=x+1$ и $y=4-2x$. Их пересечение имеет координаты $(1;2)$, так как $1+1=2$ и $4-2\cdot1=2$. Следовательно, корень уравнения: $x=1$. Для системы с этими двумя функциями решение: $(1;2)$. Для параллельных различных прямых общих точек нет, поэтому система решений не имеет.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что абсцисса нужна для ответа на уравнение, а обе координаты — для ответа на систему. Теперь каждый проверит, может ли выполнить построение и объяснение без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и умение анализировать число решений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: "Постройте $y=2x-2$ и $y=-x+4$, найдите точку пересечения и запишите решение системы". Средний вариант: "Решите графически уравнение $3x-1=5-x$". Повышенный вариант: "Определите число решений системы $y=2x+3$ и $y=2x-1$ и объясните ответ без полного построения". | Индивидуально выбирают базовый или повышенный уровень, строят графики, записывают координаты точки или вывод об отсутствии решений. |
3 мин | Учитель выводит эталон: для первого задания точка пересечения $(2;2)$; для второго уравнения $x=3/2$; для третьего решений нет. Инструктирует: "Проверьте не только число, но и соответствие ответа исходным формулам." | Сверяют решение цветной ручкой, отмечают ошибку условным знаком, выполняют подстановку найденных координат. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если умеете объяснить алгоритм; жёлтую — если нужна тренировка построения; красную — если пока трудно определить ответ по графику." | Показывают карточки, фиксируют в листе самооценки пункт, который необходимо повторить. |
Эталон решения
Для системы $\begin{cases}y=2x-2\y=-x+4\end{cases}$ строим две прямые. При $x=2$ получаем $y=2$, поэтому точка пересечения $(2;2)$, а решение системы — $(2;2)$. Для уравнения $3x-1=5-x$ строим $y=3x-1$ и $y=5-x$. Приравнивание даёт $4x=6$, поэтому $x=3/2$; на графике абсцисса точки пересечения должна быть близка к $1{,}5$. В системе $y=2x+3$ и $y=2x-1$ угловые коэффициенты одинаковы, свободные члены различны, поэтому прямые параллельны и решений нет.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм состоит не только в рисовании линий. Важно правильно определить функции, выбрать масштаб, прочитать координаты и проверить ответ. Осталось обобщить, что происходит при разном взаимном расположении графиков."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новый способ, оценить продвижение и определить дальнейшую самостоятельную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает три пары прямых: пересекающиеся, параллельные, совпадающие: "Сравните изображения. Сколько решений имеет система в каждом случае? Как связаны общие точки и решения?" | Заполняют устно таблицу: "Одна общая точка — одно решение; нет общих точек — решений нет; совпадение графиков — бесконечно много решений". |
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "Запишите одним предложением, что является решением уравнения, и одним предложением — что является решением системы. Добавьте вопрос, который у вас остался." | Заполняют билет: "Корень уравнения — абсцисса общей точки графиков"; "Решение системы — координаты общей точки"; записывают индивидуальный вопрос. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: "Выберите уровень по готовности. Обязательный минимум выполняют все, а дополнительные задания можно взять для тренировки или интереса." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились видеть решение не только в преобразованиях, но и на графике. Проверьте дома, насколько уверенно вы умеете переходить от формулы к изображению и обратно."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно построены оба графика, указаны координаты точки пересечения или обосновано отсутствие решений, записан полный ответ и выполнена проверка подстановкой.
- «4» — способ выбран верно, но допущена одна неточность в таблице, масштабе или записи координат, не повлиявшая на общий ход решения.
- «3» — построен хотя бы один график и частично применён алгоритм, но есть существенная ошибка в нахождении точки пересечения или в интерпретации ответа.
- Ниже отметки «3» — отсутствует связное построение или не установлена связь между общей точкой графиков и решением.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что является решением уравнения при графическом способе? | Проверка понимания роли абсциссы общей точки. |
Что нужно записать в ответе для системы уравнений? | Выявление различия между корнем уравнения и решением системы. |
Какая ошибка при построении графика может изменить ответ? | Осознание значения масштаба, координат и точности построения. |
Какой этап алгоритма вы готовы выполнить самостоятельно, а где нужна тренировка? | Субъективная оценка освоения темы и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы установили важную связь: равенство значений функций на графике выражается общей точкой. Для уравнения мы берём абсциссу этой точки, а для системы записываем обе её координаты. Не забывайте, что графический ответ может быть приближённым, поэтому его полезно проверять подстановкой. На следующем уроке мы продолжим исследовать системы и сравним графический способ с аналитическим.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 3 задания на построение графиков двух линейных функций и нахождение координат их точки пересечения; одно задание должно иметь единственное решение, одно — не иметь решений. | Закрепляет алгоритм построения и различение числа решений; при проверке обратить внимание на масштаб и полный ответ. |
Средний (повышающий) | Решить графически 4 уравнения вида $ax+b=cx+d$, построив графики левой и правой частей и выполнив проверку найденного корня. | Формирует переход от уравнения к двум функциям; проверять правильность выделения абсциссы общей точки. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать 3 системы линейных уравнений: с одной общей точкой, с параллельными графиками и с совпадающими графиками; для каждой объяснить число решений. | Развивает анализ и обобщение; при проверке оценить аргументацию через взаимное расположение прямых. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что строим для решения уравнения $f(x)=g(x)$? Какая координата является корнем? Что записываем для системы? Как по графикам определить отсутствие решений?»
