Прямоугольная система координат на плоскости
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться строить прямоугольную систему координат, находить координаты отмеченных точек и наносить на координатную плоскость точки по заданным координатам, правильно определяя их координатные четверти.
- Сформировать представление о координатной плоскости, координатных осях, начале координат и единичном отрезке.
- Научить читать и записывать координаты точки в виде пары чисел $(x; y)$ и объяснять порядок их записи.
- Развивать умение работать с математической моделью, анализировать положение точки и проверять правильность построения.
- Воспитывать аккуратность, самостоятельность и понимание практической ценности координат в навигации, картах и цифровых технологиях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к способам задания положения объекта на плоскости.
- Осознают ценность точности и аккуратности при построении математических моделей.
- Принимают ответственность за самостоятельную проверку результата.
- Связывают изучаемое понятие с использованием карт, навигаторов и компьютерной графики.
Метапредметные
- Извлекают информацию из схемы координатной плоскости и преобразуют её в математическую запись.
- Планируют последовательность построения точки по двум координатам.
- Сравнивают собственный результат с эталоном и находят ошибку в построении.
- Аргументируют ответ при работе в паре и используют математическую терминологию.
- Применяют навык смыслового чтения условия задания и выбирают способ действия.
Предметные
- Знать определения координатной плоскости, координатных осей, начала координат и единичного отрезка.
- Уметь строить прямоугольную систему координат с заданным единичным отрезком.
- Уметь определять координаты точки по её положению на плоскости.
- Уметь строить точки по заданным координатам и определять их координатную четверть.
- Понимать, что первая координата задаёт положение по оси абсцисс, а вторая — по оси ординат.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения координат как универсального способа описания положения объектов.
- Проявляют готовность к самостоятельному выбору уровня задания.
- Оценивают значение точности, последовательности и взаимопомощи в математической работе.
- Сохраняют учебную мотивацию при обнаружении ошибки и используют её для коррекции.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют учебную цель: научиться задавать положение точки двумя числами.
- Планируют построение точки по алгоритму «сначала $x$, затем $y$».
- Контролируют направление отсчёта и длину единичного отрезка.
- Сверяют построение с эталоном, выявляют и исправляют ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки прямоугольной системы координат.
- Сравнивают положение точек на одной координатной оси и в разных четвертях.
- Строят математическую модель положения объекта на плоскости.
- Устанавливают зависимость между знаками координат и координатной четвертью.
- Используют схему, таблицу и координатную запись как разные формы представления информации.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы о построении и чтении координат.
- Объясняют партнёру последовательность действий, не заменяя объяснение готовым ответом.
- Согласовывают решение при проверке в паре.
- Аргументируют выбор координатной четверти и корректно указывают на ошибку.
- Представляют классу краткий вывод, используя математические термины.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображение координатной плоскости с осями, началом координат, единичными отрезками и точками $A$, $B$, $C$.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые задания — по одной на каждого ученика, повышенные — по одной на парту, дополнительные — 5 экземпляров.
- Подготовить индивидуальные листы самооценки с пунктами «строю оси», «читаю координаты», «наношу точку», «определяю четверть».
- Вывесить на доску памятку: «Первая координата — по оси $x$, вторая — по оси $y»; алгоритм построения точки.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и небольшие листочки для «Билета на выход».
- Проверить наличие у каждого ученика тетради, линейки, карандаша и ручки; подготовить несколько запасных линеек.
- Подготовить на экране практический контекст: схема условного городского квартала с объектами, заданными парами чисел.
- Организовать работу в парах так, чтобы у каждой пары были клетчатый лист и карточка с координатами точек.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и показать практическую необходимость координат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране схему условного города с перекрёстками и двумя объектами. «Здравствуйте, ребята. Проверьте, готовы ли тетради, линейки и карандаши. Сегодня нам предстоит научиться точно сообщать положение точки на плоскости, не используя длинное описание маршрута». | Проверяют принадлежности, рассматривают схему и называют способы указать положение объекта: «по адресу», «по расстоянию», «по карте». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Как передать человеку координаты места так, чтобы он безошибочно нашёл его на карте? Где встречается такой способ в навигаторах, играх и компьютерной графике? Запишите один пример, а затем обсудите его с соседом». Использует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | 30 секунд формулируют пример индивидуально, около минуты обсуждают его в паре, затем сообщают классу: «в навигаторе», «на карте», «в компьютерной игре». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что положение объекта нужно задавать точно и единообразно. Сейчас выясним, какие математические элементы позволяют это сделать на плоскости».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о числовой прямой, направлении отсчёта и упорядоченной паре чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает числовую прямую. «Вспомним: где находится начало отсчёта? В каком направлении откладываются положительные числа? Как обозначается расстояние между соседними целыми точками? Если точка имеет координату $-3$, где она расположена относительно нуля?» | Показывают на схеме начало отсчёта и положительное направление, отвечают: «единичный отрезок», «слева от нуля на три единицы». |
3 мин | Учитель записывает пары $(2;5)$ и $(5;2)$. «Одинаковы ли эти записи? Почему порядок чисел важен? Представьте, что первое число обозначает номер ряда, а второе — номер места. Можно ли их поменять?» | Сравнивают пары, объясняют: «пары различаются, потому что числа стоят в разном порядке», приводят пример из расположения мест в театре или клетки на поле. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили числовую прямую, направление и единичный отрезок, а также убедились, что порядок чисел в паре имеет значение. Теперь определим, как объединить две числовые прямые».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при задании положения точки и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует горизонтальную числовую прямую и спрашивает: «На прямой удобно задавать положение объекта одним числом. Но точка на листе может быть выше, ниже, левее или правее. Можно ли одной координатой однозначно описать её положение?» | Отвечают: «Нет, одной координаты недостаточно», объясняют, что нужно указать горизонтальное и вертикальное положение. |
3 мин | Учитель показывает две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в нуле. «Что нужно обозначить, чтобы схема стала рабочим инструментом? Сформулируйте цель урока по схеме: научиться…». Учитель принимает формулировки и фиксирует итог: «строить координатную плоскость, читать и задавать координаты точек». | Называют оси, начало координат, единичные отрезки и направления отсчёта. Формулируют цель: «научиться находить и строить точки по двум координатам». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение понятно: на плоскости необходимо согласованно учитывать два направления. Мы поставили цель и теперь построим инструмент, который решит эту задачу».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятия прямоугольной системы координат, осей абсцисс и ординат, начала координат и координатной четверти.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель строит на доске две перпендикулярные числовые прямые. «Посмотрите: горизонтальную ось называют осью абсцисс и обозначают $x$, вертикальную — осью ординат и обозначают $y$. Точка их пересечения $O(0;0)$ называется началом координат. На обеих осях выбираем единичный отрезок и положительное направление. Такая система называется прямоугольной системой координат». | В тетрадях строят оси по линейке, подписывают $x$, $y$, $O$, стрелки положительных направлений, отмечают единичные отрезки. |
3 мин | Учитель показывает точку $A(3;2)$. «Первая координата называется абсциссой и читается по оси $x$, вторая — ординатой и читается по оси $y$. От начала координат идём на 3 единицы вправо, затем на 2 единицы вверх. Почему нельзя сначала откладывать 2?» | По образцу строят точку $A$, проговаривают алгоритм: «сначала откладываем абсциссу по $x$, затем ординату по $y$». Объясняют, что при обратном порядке получится точка $(2;3)$. |
3 мин | Учитель проводит через оси границы четырёх областей. «Четыре части координатной плоскости называют координатными четвертями. Определим знаки координат: в первой четверти обе координаты положительны, во второй $x$ отрицательна, а $y$ положительна. Самостоятельно предположите знаки в третьей и четвёртой четвертях». | Заполняют таблицу знаков: I — $(+; +)$, II — $(-; +)$, III — $(-; -)$, IV — $(+; -)$. Формулируют вывод о направлении движения по каждой оси. |
Запись в тетрадях
Прямоугольная система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных координатных осей: оси абсцисс $x$ и оси ординат $y$. Их пересечение — начало координат $O(0;0)$. Координаты точки записывают в порядке $(x; y)$: первая координата — абсцисса, вторая — ордината.
Алгоритм построения точки $A(x; y)$: 1) отложить $x$ по оси абсцисс; 2) через полученное положение провести мысленно или тонко вертикаль; 3) отложить $y$ по оси ординат; 4) отметить пересечение соответствующих линий; 5) определить четверть и проверить знаки координат.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы построили прямоугольную систему координат и получили язык для точного описания положения точки. Теперь проверим алгоритм на конкретных точках и научимся объяснять каждое действие».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить чтение и построение координат точек с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: «Постройте точки $A(2;4)$, $B(-3;2)$, $C(-2;-3)$ и $D(4;-1)$. Для каждой точки запишите координатную четверть. Один ученик строит, второй диктует шаги, затем поменяйтесь ролями». Учитель напоминает о приёме «Взаимная проверка». | В парах строят четыре точки, вслух проговаривают «сначала $x$, затем $y$», записывают: $A$ — I, $B$ — II, $C$ — III, $D$ — IV. |
2 мин | Учитель показывает эталон на экране и спрашивает: «Сравните рисунок с вашим. Найдите не менее одной возможной ошибки: перепутаны координаты, неверно выбрана четверть или нарушен единичный отрезок». | Сверяют каждую точку с эталоном, отмечают ошибки карандашом и исправляют построение. |
2 мин | Учитель предлагает два утверждения: «Точка $P(-5;0)$ находится в третьей четверти» и «Точка $Q(0;3)$ лежит на оси ординат». «Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, красную — если неверно, и объясните выбор». | Показывают красную для первого и зелёную для второго утверждения; объясняют: $P$ лежит на оси абсцисс, а $Q$ — на оси ординат. |
Эталон решения
Для точки $B(-3;2)$: абсцисса $-3$, поэтому от начала координат движемся на 3 единицы влево; ордината $2$, поэтому поднимаемся на 2 единицы вверх. Получаем II четверть, так как знаки координат $(-; +)$. Для точки $D(4;-1)$: движемся на 4 единицы вправо и на 1 единицу вниз; знаки $(+; -)$ соответствуют IV четверти.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы построили точки и проверили их по знакам координат. Мы уже умеем действовать по алгоритму, а теперь каждый индивидуально покажет, насколько уверенно может применить его без подсказки».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение построения и чтения координат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает выбрать базовый или повышенный вариант. «Выберите посильный уровень. Выбор — это ответственность за результат. Не переговаривайтесь и сначала выполните задания самостоятельно». Базовый вариант: построить $M(3;1)$, $N(-2;4)$, определить четверти; повышенный: построить $P(-4;-2)$ и $Q(5;-3)$, затем сравнить расстояния точек от осей по координатам. | Выбирают вариант и записывают точки на координатной плоскости. |
4 мин | Учитель предлагает дополнительное задание для желающих: «Отметьте точки $K(0;4)$, $L(-3;0)$, $R(2;2)$. Какие из них не принадлежат координатным четвертям? Объясните почему». Консультирует, не сообщая ответ. | Решают индивидуально, указывают, что $K$ лежит на оси ординат, $L$ — на оси абсцисс, а $R$ — в I четверти. |
2 мин | Учитель выводит эталон: координатную плоскость с точками и краткий чек-лист. «Проверьте наличие подписей осей, начала координат, одинакового единичного отрезка, правильного порядка координат и четверти». | Сверяют работу по пяти пунктам, исправляют ошибки другим цветом. |
2 мин | Учитель просит заполнить лист самооценки: «Поставьте плюс напротив того, что вы можете выполнить без помощи, и знак вопроса напротив пункта, который требует тренировки». | Заполняют лист самооценки, формулируют индивидуальное затруднение, например: «иногда путаю оси» или «ошибаюсь со знаками». |
Эталон решения
$M(3;1)$: первая координата положительна, вторая положительна, точка находится в I четверти. $N(-2;4)$: первая координата отрицательна, вторая положительна, точка находится во II четверти. $K(0;4)$ лежит на оси ординат, поскольку её абсцисса равна нулю. $L(-3;0)$ лежит на оси абсцисс, поскольку её ордината равна нулю.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Индивидуальная работа показала, что основная схема освоена. Особенно внимательно проверяйте нулевую координату: такая точка находится на оси, а не в четверти. Завершим урок выводом и короткой обратной связью».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознать результат обучения, зафиксировать затруднения и получить посильное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт листочки для приёма «Билет на выход». «Ответьте кратко: 1) что означает запись $A(-2;3)$; 2) в какой четверти находится точка с координатами $(4;-5)$; 3) назовите одну проверку правильности построения». | Пишут ответы: «абсцисса $-2$, ордината $3$», «IV четверть», «проверить знаки и порядок координат». |
1 мин | Учитель проводит «Светофор»: «Зелёный — могу построить и прочитать точку, жёлтый — нужна тренировка, красный — требуется помощь. Поднимите карточку и назовите, что именно нужно повторить». | Поднимают цветную карточку, называют конкретное затруднение или подтверждают готовность. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии проверки: «Выберите уровень по своей самооценке. Во всех построениях подписывайте оси, начало координат и единичный отрезок». | Записывают выбранный уровень домашнего задания и контрольные вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились задавать положение точки двумя числами, строить координатную плоскость и определять четверть по знакам координат. Сохраните алгоритм: сначала $x$, затем $y$. На следующем уроке будем использовать координаты для исследования взаимного расположения точек и построения геометрических объектов».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно построены все точки выбранного варианта, правильно определены четверти, подписаны оси, начало координат и единичный отрезок; ученик может объяснить алгоритм «сначала $x$, затем $y$».
- «4» — допущена одна неточность в построении или записи, но координаты и четверти определены верно, ошибка самостоятельно исправлена при проверке.
- «3» — выполнена основная часть задания, но допущены две-три ошибки в направлении отсчёта, порядке координат или определении четверти; после подсказки алгоритм воспроизводится.
- Ниже базового уровня — неверно построены большинство точек или не различаются оси; необходима индивидуальная работа с координатной сеткой и повторение алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о координатной плоскости? | Выявление осознания основных понятий: оси, начало координат, единичный отрезок. |
Какой шаг алгоритма построения точки оказался самым важным? | Проверка понимания последовательности «сначала $x$, затем $y$». |
Как определить четверть точки по её координатам? | Выявление умения связывать знаки координат с положением точки. |
Какая ошибка может возникнуть при построении и как её предупредить? | Формирование навыка самоконтроля и коррекции действия. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы построили прямоугольную систему координат и научились описывать положение точки парой чисел. Запомните главный порядок: первая координата относится к оси $x$, вторая — к оси $y$. Типичная ошибка — перепутать координаты или принять точку на оси за точку в четверти, поэтому всегда проверяйте нулевые координаты и знаки. На следующем уроке мы продолжим работать с точками и увидим, как координаты помогают исследовать фигуры на плоскости».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Построить прямоугольную систему координат и нанести 6 точек: по две в I, II и IV четвертях; записать координатную четверть каждой точки и определить координаты трёх точек, заданных на готовой сетке. | Закрепляет построение осей, чтение координат и определение четверти; при проверке обратить внимание на порядок координат и единичный отрезок. |
Средний (повышающий) | Построить точки $A(-4;2)$, $B(3;2)$, $C(3;-2)$, $D(-4;-2)$, соединить их последовательно и описать получившуюся фигуру без вычисления её площади. | Закрепляет применение координат для построения фигуры и анализ общего положения точек; проверить точность координат и аккуратность соединения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный рисунок из 8–10 точек на координатной плоскости, записать координаты точек и предложить однокласснику восстановить рисунок по этим координатам. | Развивает создание математической модели и точность передачи информации; проверить соответствие рисунка списку координат. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какая координата откладывается по оси $x$? Что называют началом координат? В какой четверти находится точка $(-2;-6)$? Где расположена точка с координатами $(0;5)$? Какой первый шаг нужно выполнить при построении точки?»
