Угловой коэффициент. Свойства линейной функции
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться определять угловой коэффициент линейной функции $y=kx+b$ по её формуле и графику, строить график по двум точкам и объяснять, как знак и величина коэффициента $k$ влияют на расположение прямой.
- Сформировать представление об угловом коэффициенте как характеристике наклона графика линейной функции и установить связь между значением $k$ и возрастанием или убыванием функции.
- Научиться применять алгоритм построения графика линейной функции $y=kx+b$ по двум точкам и проверять результат по формуле.
- Развивать умение сравнивать графики, выдвигать гипотезы, аргументировать выводы и находить ошибки в решениях.
- Воспитывать самостоятельность, ответственность за результат совместной работы и понимание роли математических моделей в будущих профессиях, связанных с графиками, измерениями и анализом данных.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию зависимости между формулой и графиком.
- Осознают ценность точного математического языка для описания реальных зависимостей.
- Развивают готовность самостоятельно выбирать уровень задания и отвечать за принятое решение.
- Формируют положительное отношение к сотрудничеству и уважению различных способов рассуждения.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формулы, таблицы значений и графика, преобразуя её из одного вида в другой.
- Сравнивают несколько графиков, выявляют закономерность и формулируют вывод о влиянии коэффициента $k$.
- Планируют последовательность построения графика и осуществляют самопроверку по заданным критериям.
- Аргументированно представляют решение в паре и используют математические термины в устном ответе.
Предметные
- Знать определение углового коэффициента линейной функции $y=kx+b$.
- Уметь находить коэффициенты $k$ и $b$ по формуле линейной функции.
- Уметь определять по знаку $k$, является ли линейная функция возрастающей или убывающей.
- Уметь строить график линейной функции по двум точкам и объяснять влияние коэффициента $k$ на наклон прямой.
- Уметь находить и исправлять ошибки в построении или интерпретации графика.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат на уроке и соотносят его с поставленной целью.
- Проявляют самостоятельность при выборе базового или повышенного задания.
- Осмысливают значение графиков как инструмента описания процессов в науке, экономике и технике.
- Оценивают вклад каждого участника пары в совместное решение.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования зависимости графика от углового коэффициента.
- Планируют действия при построении графика по формуле.
- Сверяют промежуточный результат с эталоном и находят расхождения.
- Корректируют ошибочное решение после обсуждения с партнёром.
- Осуществляют самооценку по критериям в конце урока.
Познавательные УУД
- Выделяют коэффициенты $k$ и $b$ в записи линейной функции.
- Устанавливают причинно-следственную связь между знаком $k$ и направлением изменения функции.
- Сравнивают графики функций $y=2x+1$, $y=-x+1$ и $y=0{,}5x+1$.
- Моделируют зависимость с помощью таблицы значений и графика.
- Используют анализ и обобщение для формулировки свойства линейной функции.
Коммуникативные УУД
- Формулируют точные вопросы о построении и свойствах графика.
- Объясняют партнёру, почему выбранный коэффициент определяет наклон прямой.
- Аргументируют вывод с опорой на формулу и координаты точек.
- Согласуют общий ответ пары и корректно реагируют на альтернативное мнение.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или экранную запись с графиками функций $y=2x+1$, $y=-x+1$, $y=0{,}5x+1$ и таблицами значений.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учеников класса.
- Подготовить для каждой пары лист с координатной плоскостью и сеткой для построения двух прямых.
- Подготовить цветные стикеры или карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор».
- Разместить на доске или слайде памятку: $y=kx+b$; $k>0$ — функция возрастает; $k<0$ — функция убывает; $k=0$ — функция постоянна.
- Распечатать мини-лист самопроверки с критериями: правильно найдены $k$ и $b$, выбраны две точки, построена прямая, сделан вывод о возрастании или убывании.
- Подготовить линейки, простые карандаши, ручки и тетради в клетку.
- Проверить работу проектора или интерактивной доски и заранее открыть изображение координатной плоскости.
- Подготовить билет на выход с двумя вопросами: «Как определить угловой коэффициент?» и «Что означает знак $k$?»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к исследованию связи между формулой и наклоном графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на парте есть тетрадь в клетку, ручка и линейка. Сегодня нам понадобится внимательность исследователя: мы будем не просто строить прямые, а выяснять, какую информацию о графике скрывает одна буква в формуле." Учитель показывает на экране три прямые с разным наклоном. | Проверяют готовность к работе, рассматривают три графика и формулируют первые наблюдения: «Прямые наклонены по-разному», «Некоторые идут вверх, а одна — вниз». |
2 мин | "Представьте, что вы анализируете график изменения температуры, стоимости товара или скорости движения. Важно быстро понять, растёт величина или уменьшается и насколько резко. Как вы думаете, какой элемент формулы может отвечать за наклон прямой? Запишите предположение одним предложением. Затем обсудите его с соседом в режиме «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Индивидуально записывают гипотезу, обсуждают её в парах 1 минуту и предлагают варианты: «За наклон может отвечать число перед $x$», «Важен коэффициент при переменной». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы предположили, что направление и наклон графика связаны с коэффициентом при $x$. Сейчас проверим эту гипотезу на уже известных нам линейных функциях."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о линейной функции, координатах точек и построении графика по таблице значений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Вспомним общий вид линейной функции. Запишите на доске и назовите, какие числа в записи $y=kx+b$ являются коэффициентами. Что показывает свободный член $b$? Где график пересекает ось $Oy$?" Учитель фиксирует ответы в схеме. | Записывают общий вид $y=kx+b$, отвечают: «$k$ — коэффициент при $x$, $b$ — свободный член». Формулируют: «График пересекает ось $Oy$ в точке с ординатой $b$». |
2 мин | "Рассмотрим функцию $y=2x+1$. Составьте таблицу для $x=-1$ и $x=1$, вычислите значения $y$ и назовите две точки графика. Какие действия нужно выполнить, чтобы построить прямую?" | Вычисляют: при $x=-1$ значение $y=-1$, при $x=1$ значение $y=3$; называют точки $(-1;-1)$ и $(1;3)$; формулируют алгоритм: «Выбрать значения $x$, вычислить $y$, отметить точки, провести прямую». |
2 мин | "Проверьте себя: если в формуле $y=-3x+2$ увеличить $x$ на 1, как изменится значение $y$? Не стройте график, рассуждайте по формуле. Почему ответ отрицательный?" | Рассуждают: «При увеличении $x$ на 1 значение $y$ уменьшится на 3, потому что коэффициент при $x$ равен $-3$». Отмечают, что знак коэффициента уже даёт важную информацию. |
Запись в тетрадях
$y=kx+b$; $b$ — ордината точки пересечения графика с осью $Oy$; для построения прямой достаточно найти две точки.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили общий вид функции, смысл свободного члена и алгоритм построения прямой. Но пока мы только предполагаем, какую роль играет $k$. Сформулируем проблему, которую нужно решить сегодня."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать цель исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "На экране изображены графики функций $y=2x+1$ и $y=0{,}5x+1$. Обе прямые пересекают ось $Oy$ в одной точке, но наклонены по-разному. Почему? А теперь сравните $y=2x+1$ и $y=-2x+1$: коэффициенты по модулю одинаковы, но прямые идут в разных направлениях. Какой вопрос возникает?" | Сравнивают графики, отвечают: «Свободный член одинаковый, поэтому точка на оси $Oy$ общая», «Знак коэффициента меняет направление». Формулируют вопрос: «Как коэффициент $k$ влияет на наклон и свойства функции?» |
2 мин | "Предложите цель урока. В ней должны быть три действия: определить, что такое угловой коэффициент, установить свойства функции по знаку $k$ и научиться использовать это при построении и чтении графика. Запишите цель в краткой форме." | Формулируют и записывают цель: «Научиться находить угловой коэффициент и по нему определять направление и наклон графика линейной функции». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена. Теперь исследуем несколько функций, сравним таблицы и графики, а затем сформулируем правило, которым можно будет пользоваться при решении задач."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести понятие углового коэффициента и установить свойства линейной функции в зависимости от значения $k$.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Работаем в парах. На листе даны функции $y=2x+1$, $y=-x+1$ и $y=0{,}5x+1$. Для каждой функции найдите значения при $x=0$ и $x=2$, отметьте две точки и соедините их. Обратите внимание: свободный член у всех функций одинаковый. Что изменяется?" Учитель раздаёт листы с координатной сеткой и запускает таймер на 3 минуты. | В парах составляют таблицы, отмечают точки и проводят прямые. Получают для первой функции точки $(0;1)$ и $(2;5)$, для второй $(0;1)$ и $(2;-1)$, для третьей $(0;1)$ и $(2;2)$. |
3 мин | "Сравните результаты. В первой функции при увеличении $x$ на 2 значение $y$ увеличилось на 4; во второй уменьшилось на 2; в третьей увеличилось на 1. Как связаны эти изменения с числами $2$, $-1$ и $0{,}5$? Именно коэффициент при $x$ показывает, насколько изменяется $y$ при увеличении $x$ на единицу. Его называют угловым коэффициентом." | Формулируют вывод: «Коэффициент $k$ показывает изменение $y$ при увеличении $x$ на 1». Записывают определение: «Угловой коэффициент линейной функции — коэффициент $k$ при $x$ в формуле $y=kx+b$». |
2 мин | "Проведём исследование знака. Если $k>0$, например $k=2$ или $k=0{,}5$, что происходит с функцией при увеличении $x$? Если $k<0$, например $k=-1$, что происходит? А если $k=0$?" | Отвечают: «При $k>0$ функция возрастает», «При $k<0$ функция убывает», «При $k=0$ функция постоянна, её график горизонтален». |
2 мин | "Сформулируем итоговую шпаргалку. Чем больше положительное значение $k$, тем круче прямая поднимается вправо. Чем меньше отрицательное значение $k$, тем круче она опускается вправо. Не путайте знак $k$ со свободным членом $b$: $b$ задаёт положение пересечения с осью $Oy$, а $k$ — наклон." Учитель записывает правило на доске. | Переписывают правило, приводят собственные примеры: «Для $y=3x-2$ функция возрастает», «Для $y=-0{,}5x+4$ функция убывает», «Для $y=7$ угловой коэффициент равен 0». |
Запись в тетрадях
- В функции $y=kx+b$ число $k$ называется угловым коэффициентом.
- Если $k>0$, функция возрастает; если $k<0$, функция убывает; если $k=0$, функция постоянна.
- Коэффициент $b$ определяет ординату точки пересечения графика с осью $Oy$, а коэффициент $k$ определяет наклон прямой.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли правило: знак углового коэффициента определяет направление изменения функции, а его величина — крутизну наклона. Теперь проверим правило сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм определения углового коэффициента и свойства линейной функции через устные и графические задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Проведём игру «Математический светофор». Я показываю формулу, а вы поднимаете зелёную карточку, если функция возрастает, жёлтую — если постоянна, красную — если убывает. После каждого ответа один ученик объясняет выбор. Формулы: $y=4x-3$, $y=-2x+5$, $y=6$, $y=0{,}2x+1$." | Поднимают карточки и объясняют: «$y=4x-3$ возрастает, потому что $k=4>0$»; «$y=-2x+5$ убывает, потому что $k=-2<0$»; «$y=6$ постоянная, потому что $k=0$». |
2 мин | "Теперь сравните функции $y=2x+1$ и $y=5x+1$. Какая прямая круче поднимается вправо? Как это доказать без нового построения?" | Сравнивают значения $k=2$ и $k=5$, отвечают: «Прямая $y=5x+1$ круче, потому что при увеличении $x$ на 1 значение $y$ увеличивается на 5, а не на 2». |
2 мин | "Найдите ошибку в утверждении: «Функция $y=-3x+7$ возрастает, потому что свободный член 7 положительный». Объясните, какое число нужно анализировать." | Находят ошибку и исправляют: «Нужно анализировать $k=-3$, а не $b=7$. Поэтому функция убывает». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились быстро определять направление изменения функции и объяснять его через $k$. Теперь каждый проверит себя индивидуально и выберет посильный уровень задания."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом определения свойств линейной функции и построения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Выберите карточку. Базовая карточка обязательна для всех; средняя требует дополнительного объяснения; продвинутая предлагает исследовательское сравнение. Работайте самостоятельно 6 минут. Перед началом прочитайте критерии: коэффициенты определены верно, вычисления аккуратны, вывод обоснован." | Выбирают карточку и знакомятся с критериями оценивания. |
6 мин | "На базовой карточке определите $k$ и установите, возрастает или убывает функция $y=-4x+3$; составьте таблицу для $x=0$ и $x=1$ и постройте график. На средней карточке сравните $y=2x-1$ и $y=0{,}5x-1$ и объясните, какая прямая круче. На продвинутой карточке найдите все значения $k$, при которых функция $y=kx+4$ убывает, и объясните ответ." | Самостоятельно решают выбранный вариант. Базовый уровень: находят $k=-4$, точки $(0;3)$ и $(1;-1)$, строят прямую. Средний уровень: сравнивают $k=2$ и $k=0{,}5$. Продвинутый уровень: формулируют условие $k<0$. |
3 мин | "Покажите на экране эталон и выполните взаимопроверку по мини-листу. Не исправляйте работу молча: рядом с ошибкой запишите, на каком шаге возникло затруднение — в определении $k$, вычислении точки или выводе о направлении. Поставьте себе условный балл и отметьте, что нужно повторить." | Сверяют решение с эталоном, отмечают совпадения и ошибки, записывают корректировки. Используют формулировки: «Ошибка связана с определением свободного члена», «Неверно вычислена ордината второй точки». |
Эталон решения
Для функции $y=-4x+3$: $k=-4$, поэтому функция убывает. При $x=0$: $y=3$, получаем точку $(0;3)$. При $x=1$: $y=-4+3=-1$, получаем точку $(1;-1)$. Отмечаем точки $(0;3)$ и $(1;-1)$ и проводим через них прямую. Для сравнения $y=2x-1$ и $y=0{,}5x-1$: обе функции возрастают, поскольку $k>0$, но график $y=2x-1$ круче, так как $2>0{,}5$. Для $y=kx+4$ функция убывает при $k<0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы умеете применять новое правило, а не только повторять его. Особенно важно проверять не только рисунок, но и вычисления координат. Завершим урок общей рефлексией и зафиксируем следующий шаг."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать достигнутый результат, выявить оставшиеся затруднения и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Заполните билет на выход. Ответьте письменно: 1) Что называется угловым коэффициентом? 2) Как по знаку $k$ определить, возрастает функция или убывает? 3) Какая ошибка сегодня была бы для вас самой вероятной?" | Пишут ответы: «Угловой коэффициент — коэффициент при $x$», «При $k>0$ функция возрастает, при $k<0$ убывает». Называют личное затруднение и способ его устранения. |
1 мин | "Покажите карточку «Светофор»: зелёная — могу определить свойства функции и построить график, жёлтая — нужна тренировка, красная — требуется объяснение. Поднимите карточку и назовите один конкретный вопрос, если выбрали жёлтую или красную." | Поднимают карточки, формулируют вопросы: «Как выбрать вторую точку?», «Почему при $k=0$ график горизонтальный?» |
2 мин | "Домашнее задание выбирайте по готовности. Обязательный уровень выполняют все; повышающий и дополнительный можно выбрать для тренировки или интереса. Перед уходом проверьте, что в дневнике записан выбранный уровень и что вы можете своими словами объяснить роль $k$." | Записывают выбранное задание, задают уточняющие вопросы, сдают билеты на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены коэффициенты и свойства функции, построен график по двум точкам, все вычисления выполнены без ошибок, вывод о роли $k$ сформулирован и обоснован.
- «4» — правильно определены $k$ и направление изменения функции, график построен в целом верно, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не нарушающая основного вывода.
- «3» — распознано значение $k$ или направление изменения функции, но допущены ошибки в вычислении координат, построении прямой или объяснении связи между знаком $k$ и свойством функции.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называется угловым коэффициентом линейной функции? | Проверка осознания нового понятия и точности математической формулировки. |
Как знак $k$ влияет на возрастание или убывание функции? | Выявление понимания основного свойства линейной функции. |
Как определить, какая из двух прямых круче? | Проверка умения сравнивать модули угловых коэффициентов и применять правило. |
На каком шаге построения графика вам нужна дополнительная тренировка? | Выявление индивидуальных затруднений для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что угловой коэффициент — это коэффициент при $x$ в формуле линейной функции. Его знак показывает, возрастает функция или убывает, а величина помогает сравнить крутизну прямых. Не забывайте отличать $k$ от $b$: свободный член задаёт положение пересечения с осью $Oy$, но не направление графика. На следующем уроке мы продолжим исследовать графики линейных функций и научимся использовать их для решения практических задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания на определение углового коэффициента и свойств функций вида $y=kx+b$: указать $k$, определить возрастание или убывание, для одной функции построить график по двум точкам. | Закрепляет распознавание коэффициентов, применение правила о знаке $k$ и алгоритм построения прямой. При проверке обратить внимание на вычисление координат и подпись осей. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на сравнение графиков функций с одинаковым свободным членом и разными значениями $k$, объяснить, какая прямая круче, и составить таблицу значений для одной пары функций. | Формирует умение анализировать график и связывать величину углового коэффициента с наклоном прямой. При проверке смотреть на наличие обоснования, а не только на ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный практический пример, где величина описывается формулой $y=kx+b$, выбрать два разных значения $k$, построить соответствующие графики и письменно объяснить смысл знака и величины коэффициента. | Развивает моделирование, функциональную грамотность и творческое применение нового знания. При проверке обратить внимание на корректность формулы, точек и интерпретации коэффициентов. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти угловой коэффициент в записи $y=kx+b$?», «Что происходит с функцией при $k>0$, $k<0$ и $k=0$?», «Какой коэффициент определяет пересечение графика с осью $Oy$?», «Сколько точек достаточно, чтобы построить график линейной функции?»
