Понятие функции. Область определения функции
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать функциональную зависимость, записывать её с помощью формулы и находить область определения функции в простых случаях, выполнив не менее 4 из 5 учебных заданий без существенных ошибок.
- Сформировать представление о функции как зависимости, при которой каждому допустимому значению аргумента соответствует единственное значение функции.
- Научить обозначать функцию, аргумент и значение функции, а также находить значения функции по заданной формуле.
- Научить определять область определения функции по условию и формуле, учитывая ограничения на переменную.
- Развивать умение анализировать жизненные ситуации, работать в паре, объяснять ход рассуждений и проверять результат по критериям.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к описанию реальных процессов с помощью математических моделей.
- Осознают практическую ценность функций для анализа стоимости, расстояния, времени и других зависимостей.
- Развивают ответственное отношение к самостоятельной работе и готовность корректно обсуждать разные способы решения.
- Формируют уверенность в возможности вывести правило из наблюдений и проверить его на примерах.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки функциональной зависимости и отделяют их от второстепенных данных.
- Формулируют учебную проблему, планируют последовательность поиска решения и оценивают полученный результат.
- Читают математическую запись и переводят информацию из словесной формы в формулу и таблицу.
- Аргументируют ответ в паре, задают уточняющие вопросы и используют критерии взаимопроверки.
Предметные
- Знать определения функции, аргумента, значения функции и области определения.
- Уметь распознавать функциональную зависимость по описанию, таблице и формуле.
- Уметь вычислять значение функции по известному значению аргумента.
- Уметь находить область определения функции вида $y=2x-3$, $y=\frac{1}{x-4}$ и $y=\sqrt{x+2}$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения функций через связь темы с моделированием реальных процессов.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа записи решения.
- Осознают необходимость точности математического языка и проверки ограничений.
- Оценивают собственное продвижение по теме без сравнения себя с одноклассниками.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока, связанную с распознаванием функции и нахождением области определения.
- Планируют алгоритм: определить ограничения, записать допустимые значения, проверить ответ.
- Сверяют решение с эталоном и находят место возможной ошибки.
- Корректируют решение после взаимопроверки по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Сравнивают таблицы и формулы, выявляя однозначное соответствие между аргументом и значением функции.
- Строят простую математическую модель жизненной ситуации.
- Анализируют область допустимых значений переменной в формуле.
- Обобщают результаты наблюдений в определение и алгоритм.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают в паре, является ли зависимость функциональной, и приводят аргументы.
- Формулируют вопросы к решению одноклассника и дают корректную обратную связь.
- Распределяют роли при работе с карточкой и согласуют общий ответ.
- Представляют вывод классу, используя математические термины.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске с тремя ситуациями: стоимость яблок при разной массе, расстояние при постоянной скорости, соответствие ученика и его номера в списке.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на парту, всего 15–16 экземпляров; включить таблицы, формулы и вопросы на выбор.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы трёх уровней: обязательный, повышающий и дополнительный — по одному на каждого ученика.
- Подготовить лист эталона для самопроверки и карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор».
- Вывести на доску или экран памятку: «Функция — зависимость, при которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции».
- Заранее записать обозначения $y=f(x)$, $x$ — аргумент, $y$ — значение функции, а также алгоритм нахождения области определения.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и самостоятельной работы.
- Оборудование: доска, маркеры, проектор или интерактивная доска, раздаточные карточки, листы самооценки и стикеры.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и показать практический смысл изучения функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране таблицу: масса яблок 1, 2, 3 кг и соответствующая стоимость 120, 240, 360 рублей. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем разбираться, как математика описывает зависимости, которые встречаются в магазине, навигаторе и программировании. Посмотрите на таблицу: что меняется и что от этого зависит?» | Рассматривают таблицу, называют величины: «масса яблок» и «стоимость», формулируют: «стоимость зависит от массы». |
2 мин | Учитель продолжает: «Представьте, что вы создаёте приложение для расчёта покупки. Приложение должно однозначно выдавать стоимость для каждой выбранной массы. Как понять, что зависимость работает без противоречий? Сегодня мы найдём математический способ описать такую зависимость». Учитель объявляет тему урока. | Фиксируют интересующий вопрос: «Как определить, является ли зависимость функцией?»; записывают тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели зависимость из повседневной ситуации. Теперь проверим, какие знания уже помогут нам описать её математически и где возникнет затруднение».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия переменной, формулы и координатной записи зависимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске зависимости $y=2x+1$ и $s=60t$. «Что обозначают буквы в этих формулах? Какие величины можно выбрать произвольно, а какие вычисляются после выбора первой? Не торопитесь: сначала подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом». | 30 секунд размышляют индивидуально, 1 минуту обсуждают в парах, формулируют: «$x$ и $t$ задаются, а $y$ и $s$ вычисляются по формуле». |
2 мин | Учитель предлагает вычислить для $y=2x+1$ значения при $x=0$, $x=2$, $x=-1$. «Запишите подстановку полностью, чтобы было видно, откуда получился каждый результат». | Вычисляют: $y(0)=1$, $y(2)=5$, $y(-1)=-1$; сравнивают ответы с соседом. |
2 мин | Учитель показывает две таблицы. В первой одному значению $x$ соответствует одно значение $y$, во второй числу 2 соответствуют значения 5 и 7. «Какая таблица выглядит однозначной? Что именно нарушается во второй?» | Отмечают первую таблицу как однозначную и объясняют: «одному значению $x$ соответствуют два значения $y$, поэтому правило не является функцией». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем подставлять значение переменной в формулу и видим, что однозначность соответствия важна. Теперь выясним, как назвать такую зависимость и какие значения переменной вообще разрешены».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему урока и совместно вывести план действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $y=\frac{5}{x-2}$. «Попробуйте применить привычный способ: можно ли подставить любое число вместо $x$? Что произойдёт при $x=2$? А теперь рассмотрите $y=\sqrt{x+3}$: допустимо ли взять $x=-5$? Почему возникают ограничения?» | Подставляют предложенные значения, отвечают: «при $x=2$ знаменатель равен нулю, делить нельзя; при $x=-5$ подкоренное выражение отрицательное, в действительных числах корень не существует». |
2 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: «Сначала каждый запишите, чему нужно научиться. Затем объединитесь в пары и выберите две главные задачи, после этого одна-две пары предложат общий план». Учитель фиксирует формулировки на доске. | Индивидуально записывают цели, обсуждают в парах и предлагают план: «понять, что такое функция; научиться находить значение функции; определить допустимые значения аргумента». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема ясна: формула не всегда разрешает подставлять любое число. Мы построили план — сначала введём понятие функции, затем научимся находить область её определения».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятия функции, аргумента, значения функции и области определения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает три карточки с зависимостями: «масса товара — стоимость», «время движения — пройденное расстояние», «человек — номер его паспорта». «В каждом случае для одного входного значения получаем единственный результат? Если да, такую зависимость называют функцией. Запишите определение с доски: функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению аргумента соответствует единственное значение функции». | Сравнивают ситуации, классифицируют их как функциональные, записывают определение и формулируют: «входное значение — аргумент, результат — значение функции». |
3 мин | Учитель записывает: «Функцию обозначают $y=f(x)$. Читаем: игрек равен эф от икс. $x$ — аргумент, $y$ — значение функции. Множество всех допустимых значений аргумента называют областью определения функции». Учитель подчёркивает слова «допустимых» и «единственное». | Записывают обозначения, стрелками связывают $x$ и $y$ в схеме, объясняют по записи $f(3)=7$: «при аргументе 3 значение функции равно 7». |
4 мин | Учитель организует работу в парах с карточкой. «Исследуйте три записи: $y=2x-3$, $y=\frac{1}{x-4}$, $y=\sqrt{x+2}$. Для каждой ответьте: какое ограничение возникает и какие значения $x$ допустимы? Работайте по алгоритму: найти запрещённые действия, записать ограничение, назвать область определения». | В парах заполняют таблицу. Формулируют: для $y=2x-3$ ограничений нет; для $y=\frac{1}{x-4}$ $x\ne4$; для $y=\sqrt{x+2}$ $x+2\ge0$, то есть $x\ge-2$. |
Запись в тетрадях
- Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению аргумента соответствует единственное значение функции.
- В записи $y=f(x)$ число $x$ называют аргументом, а число $y$ — значением функции.
- Область определения функции — множество всех допустимых значений аргумента.
- Для дроби знаменатель не равен нулю; для квадратного корня подкоренное выражение неотрицательно.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили определение и два главных ограничения. Теперь применим их сначала вместе с классом, а затем каждый проверит себя самостоятельно».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вычисления значения функции и нахождения её области определения с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель разбирает задачу: «Дана функция $f(x)=3x-4$. Найдите $f(2)$ и $f(-1)$. Сначала назовите действие, которое выполняем с аргументом, затем запишите подстановку». Учитель просит ученика прокомментировать решение у доски. | Записывают: $f(2)=3\cdot2-4=2$; $f(-1)=3\cdot(-1)-4=-7$. Проговаривают: «вместо $x$ подставили указанное число и выполнили вычисления». |
4 мин | Учитель предлагает парам задания на выбор. «Вариант А: найдите область определения $y=\frac{7}{x+1}$. Вариант Б: найдите область определения $y=\sqrt{2x-6}$. Вариант В: объясните, почему область определения $y=4x+5$ — все действительные числа. Выберите уровень и обязательно запишите ограничение». | Выбирают вариант, решают в парах и готовят объяснение. Ответы: для А $x\ne-1$; для Б $2x-6\ge0$, значит $x\ge3$; для В ограничений нет, поэтому $D(y)=\mathbb R$. |
Эталон решения
Для $y=\frac{7}{x+1}$ знаменатель не равен нулю: $x+1\ne0$, поэтому $x\ne-1$. Область определения: все действительные числа, кроме $-1$. Для $y=\sqrt{2x-6}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2x-6\ge0$, откуда $x\ge3$. Для линейной функции $y=4x+5$ деления на переменную и корня нет, поэтому допустимы все действительные значения $x$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы проговорили полный алгоритм и увидели, что выбор ограничения зависит от вида формулы. Теперь каждый выполнит короткую самостоятельную работу, чтобы проверить личный результат».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание понятия функции и области определения, организовать самоконтроль и коррекцию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт листы трёх уровней. «Выполните обязательное задание, а затем выберите повышающий или дополнительный пункт. Работайте самостоятельно, решение записывайте полностью. Обязательная часть: 1) объясните, является ли таблица функциональной, если каждому $x$ соответствует одно $y$; 2) найдите $f(-2)$ для $f(x)=5x+1$; 3) найдите область определения $y=\frac{2}{x-3}$. Повышающий пункт: область определения $y=\sqrt{7-x}$.» | Индивидуально решают задания, выделяют ограничения и записывают ответы. Для обязательной части получают: «да»; $f(-2)=-9$; $x\ne3$. Для повышающего пункта записывают $7-x\ge0$, значит $x\le7$. |
2 мин | Учитель открывает на доске эталон и напоминает: «Проверяйте не только конечный ответ, но и причину ограничения. Ошибка в знаке — это сигнал вернуться к неравенству, а не повод стирать всё решение». | Сверяют решения с эталоном, отмечают исправления другим цветом, ставят количество верных пунктов. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно найти область определения дробно-рациональной и иррациональной функции; жёлтую — если нужен ещё один пример; красную — если пока не понимаете алгоритм». Учитель фиксирует фамилии для адресной помощи. | Показывают карточку, формулируют точку затруднения: «не уверен в решении неравенства» или «не понимаю, как записать область определения». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, какие шаги уже стали уверенными. Осталось связать понятия в единую схему и сформулировать, как функции помогают описывать реальные зависимости».
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новый способ действия, оценить достижение цели и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает заполнить мини-схему: «Функция — это зависимость. Вход — аргумент $x$, выход — значение $y$. Чтобы найти область определения, проверяем ...». Затем задаёт вопрос: «Почему для функции $y=\frac{1}{x}$ нельзя включить число 0, а для $y=x^2$ можно?» | Заполняют схему: «проверяем знаменатель и подкоренное выражение». Объясняют: «в первой формуле деление на ноль невозможно, во второй ограничений нет». |
2 мин | Учитель проводит «Одноминутку»: «На стикере закончите два предложения: “Сегодня я научился...” и “Мне нужно ещё потренироваться...”». После этого сообщает уровни домашнего задания и напоминает о выборе. | Записывают личный результат, прикрепляют стикер на доску в колонку «Уверенно», «Нужна тренировка» или «Есть вопрос», фиксируют выбранный уровень домашнего задания. |
1 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы перед выходом: «Что является аргументом? Какое ограничение у знаменателя? Какое условие у квадратного корня?» | Отвечают: «аргумент — $x$; знаменатель не равен нулю; подкоренное выражение неотрицательно». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились видеть за формулой правило соответствия и проверять, какие значения допустимы. Это основа дальнейшей работы с графиками и свойствами функций».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания, правильно найдены значения функции и область определения, ограничения обоснованы; дополнительное задание решено без существенных ошибок.
- «4» — верно выполнены не менее 3 обязательных заданий из 4, допущена одна вычислительная или знаковая ошибка, ход решения в основном записан полностью.
- «3» — верно выполнены 2 обязательных задания из 4, понятие функции распознано, но алгоритм нахождения области определения применён неполно или с несколькими ошибками.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о функции и её области определения? | Выявление осознания ключевых понятий и математического языка. |
Какое ограничение нужно проверить в функции с дробью? А с квадратным корнем? | Проверка понимания алгоритма и различения типов ограничений. |
Какое задание оказалось самым сложным и на каком шаге возникло затруднение? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Насколько уверенно вы сейчас умеете находить область определения: уверенно, с помощью примера или пока затрудняюсь? | Субъективная оценка освоения темы и планирование индивидуальной помощи. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что функция задаёт однозначное соответствие между аргументом и значением. Мы научились вычислять значение функции и находить область определения по ограничениям формулы. Самая частая ошибка — забыть, что знаменатель не может быть равен нулю, или неверно решить неравенство под корнем. Дома закрепите алгоритм, а на следующем уроке будем представлять функции таблицей, формулой и графиком».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: определить, является ли заданное соответствие функцией; найти два значения линейной функции; найти область определения двух функций с переменной в знаменателе. | Закрепляет определения, подстановку и условие ненулевого знаменателя; при проверке обратить внимание на объяснение ограничений. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания на область определения: две дробно-рациональные функции и две функции с квадратным корнем; для одной функции составить таблицу из трёх значений. | Формирует устойчивое применение алгоритма и связь формулы с таблицей; проверить знаки в неравенствах и полноту записи ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить две реальные ситуации, описываемые функциями, записать возможную формулу и указать область определения каждой переменной с объяснением ограничений. | Развивает моделирование и создание математического описания; оценить, соответствует ли область определения смыслу ситуации. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют функцией? Как обозначают аргумент и значение функции? Почему область определения функции $y=\frac{1}{x-4}$ не содержит число 4? Какое неравенство нужно составить для функции $y=\sqrt{x+2}$?»
