Прямая пропорциональность и её график
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать прямую пропорциональность, записывать её формулу $y=kx$ по условию и строить график по двум точкам, объясняя роль коэффициента $k$.
- Сформировать представление о прямой пропорциональности как зависимости, в которой отношение $y/x$ постоянно, и установить, что её графиком является прямая, проходящая через начало координат.
- Научить составлять таблицу значений и строить график прямой пропорциональности по двум точкам с координатами, выбранными с учётом коэффициента $k$.
- Развивать умение анализировать данные таблицы, выдвигать гипотезы, проверять их по графику и аргументировать выводы в парной работе.
- Воспитывать ответственность за результат совместной деятельности, готовность проверять решение и уважительно обсуждать разные способы построения графика.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к описанию реальных зависимостей с помощью математической модели.
- Осознают практическую ценность графиков при анализе расходов, расстояния, времени и других величин.
- Развивают самостоятельность при выборе способа построения графика и оценке собственного результата.
- Принимают необходимость аккуратной записи и проверки координат как условия надёжного математического вывода.
Метапредметные
- Извлекают информацию из таблицы, формулы и координатной плоскости, преобразуют её из одной формы в другую.
- Планируют последовательность построения графика и контролируют соответствие результата заданной формуле.
- Сравнивают графики нескольких зависимостей, выявляют общее и различия, формулируют причинно-следственные выводы.
- Работают в паре: распределяют действия, задают уточняющие вопросы, аргументируют и корректируют решение.
Предметные
- Знать определение прямой пропорциональности и её аналитическую запись $y=kx$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.
- Уметь находить коэффициент $k$ по формуле и данным таблицы, составлять таблицу значений функции.
- Уметь строить график прямой пропорциональности по двум точкам и распознавать его среди других графиков.
- Уметь объяснять, почему график прямой пропорциональности проходит через начало координат, и проверять принадлежность точки графику.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формируют смысл учебной деятельности через понимание применения прямой пропорциональности в жизненных ситуациях.
- Осуществляют самоопределение: выбирают уровень задания и оценивают готовность объяснить новый способ.
- Осознают значение точности, последовательности и взаимопомощи при построении математической модели.
- Проявляют уважение к иной стратегии решения, если она обоснована и приводит к верному результату.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе обнаруженного затруднения.
- Составляют план построения графика: выбрать значения $x$, вычислить $y$, отметить точки, провести прямую.
- Осуществляют самопроверку по формуле, таблице и графику.
- Находят ошибку в координатах или масштабе и вносят коррекцию.
Познавательные УУД
- Выделяют постоянное отношение $y/x$ в предложенных таблицах.
- Строят математическую модель зависимости через формулу $y=kx$.
- Сравнивают графики при положительном и отрицательном значении коэффициента.
- Используют таблицу и координатную плоскость как модели одного и того же объекта.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и гипотезу в паре, используя математические термины.
- Распределяют роли при выполнении задания и согласуют общий ответ.
- Объясняют, почему выбранные точки принадлежат графику.
- Корректно дают обратную связь по критериям «Две звезды и пожелание».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображение координатной плоскости, таблицы значений для зависимостей $y=2x$, $y=-x$ и $y=3$, а также проблемный вопрос: «Всегда ли таблица значений помогает увидеть вид зависимости?»
- Распечатать карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика: базовые задания на распознавание, стандартные на построение и повышенные на сравнение графиков.
- Распечатать карточки для парной работы — по одной на парту, с таблицами значений и заданиями на поиск постоянного отношения $y/x$.
- Подготовить листы самооценки — по одному на каждого ученика, с пунктами «Я могу определить $k», «Я могу построить график», «Я могу объяснить его свойства».
- Подготовить цветные стикеры или карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор».
- Вывести на доску или слайд координатную сетку, алгоритм построения графика и критерии проверки: формула, таблица, две точки, прямая через начало координат.
- Подготовить линейки, карандаши и тетради в клетку; проверить наличие проектора или интерактивной доски.
- Заранее записать на доске тему урока, оставить место для формулы $y=kx$ и вывода о прохождении графика через точку $O(0;0)$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл изучаемой зависимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовы ли тетрадь в клетку, линейка, карандаш и ручка. Сегодня нам понадобится не только вычислять, но и видеть зависимость на координатной плоскости. Работайте внимательно: точность построения будет частью математического вывода." | Проверяют принадлежности, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "За каждый литр воды в автомате нужно заплатить 30 рублей. Сколько будут стоить 2, 3 и 5 литров? Как изменяется стоимость, если количество литров увеличивается? Можно ли представить эту зависимость графически? Запишите краткое предположение." | Устно вычисляют стоимость, формулируют предположение: "Стоимость увеличивается в 30 раз относительно количества литров"; записывают зависимость $y=30x$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели зависимость, в которой цена за единицу остаётся постоянной. Сейчас проверим, как распознать такую зависимость по таблице и как представить её на графике."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о функции, координатах точки, таблице значений и коэффициенте пропорциональности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Вспомним, как связаны аргумент и значение функции. Если задано $y=4x$, что произойдёт с $y$, когда $x$ увеличится в два раза? А если $x=0$?" Учитель фиксирует ответы на доске. | Отвечают: "Значение $y$ также увеличится в два раза"; "при $x=0$ получится $y=0$". |
2 мин | Учитель раздаёт карточку с таблицей: $x$: 1, 2, 4; $y$: 3, 6, 12. "Подумайте самостоятельно 30 секунд, затем обсудите в паре: во сколько раз изменяется $y$ и какое отношение остаётся постоянным?" | Вычисляют отношения $3/1$, $6/2$, $12/4$, обсуждают в парах и отвечают: "Отношение равно 3". |
2 мин | Учитель показывает две пары точек: $A(1;3)$, $B(2;6)$ и $C(1;3)$, $D(2;5)$. "Какие точки могут задавать одну и ту же зависимость $y=kx$? Как это проверить?" | Подставляют координаты в отношение $y/x$, выбирают точки $A$ и $B$, объясняют: "У них одинаковое значение коэффициента — 3". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что функцию можно задать формулой, таблицей и точками. Теперь выясним, какое условие объединяет таблицы прямой пропорциональности и какой график получается из таких точек."
Этап 3. Выявление проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить необходимость нового понятия и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует на доске две таблицы. Первая: $x$: 1, 2, 3; $y$: 2, 4, 6. Вторая: $x$: 1, 2, 3; $y$: 2, 5, 8. "Обе таблицы показывают увеличение величины. Но какая из зависимостей имеет постоянное отношение $y/x$? Как доказать это не одним примером, а для любого $x$?" | Находят отношения в обеих таблицах, формулируют: "В первой таблице отношение постоянно и равно 2; во второй оно меняется". |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Как назвать зависимость с постоянным отношением $y/x$? Как записать её формулу и какой вид будет иметь график? Сформулируйте цель урока через действия: узнать, вывести, построить, объяснить." | Предлагают формулировку цели: "Узнать определение прямой пропорциональности, вывести формулу $y=kx$, построить её график и объяснить его свойства". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нам нужно связать постоянное отношение, формулу и график. Начнём с самостоятельного открытия определения и свойства этой зависимости."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определение прямой пропорциональности, формулу $y=kx$ и свойство её графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Рассмотрите зависимость стоимости воды $y=30x$. Найдите отношение $y/x$ для двух разных значений $x$. Что в нём неизменно? Запишите собственную формулировку свойства." Через минуту просит две пары озвучить вывод. | Вычисляют отношения $30/1$ и $60/2$, обсуждают, формулируют: "Отношение значения функции к аргументу постоянно и равно 30". |
3 мин | Учитель записывает на доске: "Определение: прямая пропорциональность — это функция, которую можно задать формулой $y=kx$, где $k$ — постоянное число, не равное нулю, называемое коэффициентом пропорциональности". Затем спрашивает: "Чему равен коэффициент в формулах $y=5x$ и $y=-2x$?" | Записывают определение, отвечают: "В первом случае $k=5$, во втором $k=-2$". |
2 мин | Учитель показывает последовательность: "Возьмём $x=0$. Тогда $y=k\cdot0=0$. Значит, для любой прямой пропорциональности точка $O(0;0)$ принадлежит графику. Возьмём ещё одно ненулевое значение $x$, найдём $y$ и получим вторую точку." | Записывают вывод: "График прямой пропорциональности проходит через начало координат"; называют вторую точку для $y=2x$: $A(1;2)$. |
2 мин | Учитель показывает на координатной сетке точки $O(0;0)$ и $A(1;2): "Соединим две точки прямой. Почему достаточно двух точек? Как изменится положение прямой, если $k<0$?" | Отвечают: "Через две точки можно провести единственную прямую"; предполагают: "При отрицательном $k$ прямая будет проходить во II и IV координатных четвертях". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Прямая пропорциональность — функция вида $y=kx$, где $k\ne0$. Число $k$ — коэффициент пропорциональности. График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат. Для построения достаточно найти две точки, одна из них всегда $O(0;0)$».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли определение и главное геометрическое свойство прямой пропорциональности. Теперь проверим новый алгоритм на конкретных примерах и научимся видеть ошибку в построении."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм составления таблицы и построения графика с проговариванием каждого действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает общий пример: "Построим график $y=\frac{1}{2}x$. Сначала выбираем удобные значения $x$, чтобы получить целые значения $y$: $x=0$ и $x=2$. Записываем точки. Какими будут координаты?" | Составляют таблицу: при $x=0$, $y=0$; при $x=2$, $y=1$. Называют точки $O(0;0)$ и $A(2;1)$. |
2 мин | Учитель просит ученика у доски выполнить построение: "Отметь начало координат, точку $A(2;1)$, проведи через них прямую. Остальные проверьте: проходит ли линия через точку $B(4;2)$?" | Один ученик строит график, остальные отмечают точки $O$, $A$, $B$ в тетрадях и отвечают: "Да, потому что $2=\frac{1}{2}\cdot4$". |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку по приёму «Две звезды и пожелание»: "Проверьте работу соседа по трём признакам: верная формула, две точки, прямая через начало координат. Назовите две сильные стороны и один совет, если обнаружили неточность." | Сверяют графики, формулируют обратную связь: "Верно выбраны точки; прямая проведена аккуратно; совет — подписать масштаб осей". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает: формула задаёт таблицу, таблица — точки, а точки определяют прямую. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли он выполнить все шаги без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение определения, формулы и построения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки с выбором уровня: "Выберите один из двух вариантов. Обязательное задание для всех: определите, является ли $y=3x$ прямой пропорциональностью, найдите $k$ и постройте график по точкам $O(0;0)$ и $A(1;3)$. Повышенный вариант: сравните графики $y=2x$ и $y=-2x$, укажите общее и различие." Учитель напоминает критерии и не подсказывает готовый ответ. | Индивидуально решают выбранный вариант, записывают формулу, таблицу или координаты точек, строят график; в повышенном варианте сравнивают наклон и расположение прямых. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте себя. Для $y=3x$ коэффициент $k=3$, точки — $O(0;0)$ и $A(1;3)$, график — прямая через эти точки. Для $y=2x$ и $y=-2x$ начало координат общее, но при отрицательном коэффициенте прямая имеет противоположный наклон." | Сверяют решение с эталоном, подчёркивают место ошибки, исправляют координаты или построение другим цветом. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете построить график самостоятельно, жёлтую — если нужна ещё одна тренировка, красную — если пока не можете объяснить, почему прямая проходит через начало координат. Зафиксируйте в листе самооценки конкретное затруднение." | Показывают карточку, заполняют лист самооценки, формулируют затруднение: "Мне нужно потренироваться выбирать удобные значения $x$" или "Я уверенно нахожу $k$". |
Эталон решения
Для задания $y=3x$: 1) формула имеет вид $y=kx$, поэтому это прямая пропорциональность; 2) коэффициент $k=3$; 3) при $x=0$ получаем $y=0$, точка $O(0;0)$; 4) при $x=1$ получаем $y=3$, точка $A(1;3)$; 5) проводим через точки $O$ и $A$ прямую и продлеваем её в обе стороны.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие шаги уже стали уверенными, а какие требуют тренировки. В завершение свяжем новое знание с реальными зависимостями и сформулируем главный вывод урока."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, проверить понимание ключевого свойства и определить дальнейший шаг обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как по формуле узнать, что перед нами прямая пропорциональность? Как найти коэффициент? Почему график всегда проходит через начало координат? Что изменяет знак коэффициента?" | Отвечают: "Формула имеет вид $y=kx$"; "$k$ — постоянное отношение $y/x$"; "при $x=0$ значение $y$ равно 0"; "знак коэффициента определяет направление наклона прямой". |
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "Запишите на стикере формулу прямой пропорциональности, одну точку её графика, кроме начала координат, для $y=-3x$, и одно предложение о том, как проверить принадлежность точки графику." | Записывают: $y=kx$; например, $A(1;-3)$; формулируют: "Подставить координаты точки в формулу и проверить равенство". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и завершает: "Выберите уровень, который позволит вам закрепить именно сегодняшнее умение, а не просто выполнить больше примеров." | Записывают домашнее задание, отмечают выбранный уровень в дневнике. |
Завершающее слово этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы связали три представления об одной зависимости: формулу, таблицу и график. Вы научились распознавать прямую пропорциональность, находить коэффициент и строить прямую через начало координат. На следующем уроке мы подробнее исследуем, как значение коэффициента влияет на положение графика."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определена прямая пропорциональность, найден коэффициент $k$, составлена корректная таблица или указаны две точки, график построен аккуратно и сделан вывод о прохождении через начало координат; повышенное задание выполнено с аргументацией.
- «4» — основное задание выполнено верно, но допущена одна неточность в оформлении таблицы, масштабе или подписи осей, не повлиявшая на общий вывод.
- «3» — распознана формула вида $y=kx$ и найден коэффициент, но допущена ошибка в одной координате или график построен неполно; ученик исправляет ошибку после самопроверки.
- Оценивание ниже «3» требует индивидуальной коррекции: ученик вместе с учителем восстанавливает последовательность «формула — таблица — точки — прямая».
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о функции вида $y=kx$? | Выявление осознания определения прямой пропорциональности и роли коэффициента. |
Какие действия нужно выполнить, чтобы построить график прямой пропорциональности? | Проверка понимания алгоритма и последовательности действий. |
Почему график обязательно проходит через начало координат? | Проверка понимания вывода $y=k\cdot0=0$, а не механического запоминания свойства. |
На каком шаге вы испытывали затруднение и какая помощь нужна? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились узнавать прямую пропорциональность по формуле и постоянному отношению $y/x$. Мы увидели, что её график — прямая, проходящая через начало координат, а для построения достаточно двух точек. Самая частая ошибка — неверно выбрать координаты или забыть проверить точку подстановкой в формулу. На следующем уроке мы исследуем, как величина и знак коэффициента $k$ изменяют наклон и положение графика."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: распознать зависимости вида $y=kx$, найти коэффициент $k$, составить по одной таблице значений и построить два графика прямой пропорциональности по двум точкам. | Закрепляет определение и алгоритм построения; при проверке обратить внимание на формулу, координаты и прохождение графика через начало координат. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 задач на восстановление формулы прямой пропорциональности по заданной точке, составление таблицы и проверку принадлежности точки графику. | Формирует умение находить коэффициент по данным и переходить от графического или табличного представления к формуле. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о постоянной стоимости, скорости или расходе ресурса, описать зависимость формулой $y=kx$, выбрать две точки и построить график. | Развивает функциональную грамотность и умение самостоятельно создавать математическую модель реальной ситуации. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как выглядит формула прямой пропорциональности? Что обозначает $k$? Какая точка принадлежит графику любой прямой пропорциональности? Сколько точек достаточно для построения графика? Как проверить, принадлежит ли точка графику?»
