Графики реальных зависимостей. Чтение графиков
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться по графику реальной зависимости определять значение величины по заданному аргументу, находить промежутки изменения величин, характеризовать поведение зависимости и формулировать вывод по ситуации, выполнив не менее 4 из 5 заданий без существенных ошибок.
- Научиться устанавливать, какие величины представлены на осях координат, и определять единицы их измерения.
- Освоить алгоритм чтения графика: найти значение аргумента на горизонтальной оси, провести мысленно или графически перпендикуляр до графика, определить значение зависимой величины и записать ответ с единицами измерения.
- Развивать умение анализировать графическую информацию, сравнивать участки графика и объяснять их смысл в реальном контексте.
- Воспитывать ответственное отношение к точности измерений, сотрудничеству и аргументированному обсуждению различных способов решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность графиков для анализа движения, температуры, расходов и других процессов.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию реальных данных и самостоятельному выбору способа ответа.
- Понимают значение точности, внимательности и проверки единиц измерения.
- Уважительно относятся к мнению одноклассников при обсуждении интерпретаций графика.
Метапредметные
- Извлекают информацию из графика, таблицы и краткого описания ситуации.
- Планируют последовательность чтения графика и контролируют правильность результата.
- Сравнивают значения, анализируют возрастание и убывание зависимости, формулируют выводы.
- Аргументируют ответ, используя математические термины и данные графика.
Предметные
- Знать назначение координатных осей, масштаба, единиц измерения и точек графика реальной зависимости.
- Уметь находить по графику значение зависимой величины при заданном значении аргумента.
- Уметь определять промежутки возрастания, убывания и постоянства величины по графику.
- Уметь находить на графике наибольшее и наименьшее значения величины на заданном промежутке.
- Уметь записывать ответ с указанием единиц измерения и объяснять его смысл в исходной ситуации.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают связь математической модели с повседневными ситуациями и будущими профессиями.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать уровень задания и отвечать за результат.
- Формируют установку на проверку правдоподобия полученного ответа.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы с графиком и составляют алгоритм действий.
- Планируют решение, распределяя время между чтением осей, анализом графика и записью вывода.
- Сверяют ответ с графиком, масштабом и единицами измерения.
- Обнаруживают ошибку в определении координаты и корректируют решение.
Познавательные УУД
- Читают и преобразуют информацию, представленную графически.
- Выделяют существенные признаки: оси, масштаб, точки, участки изменения.
- Сравнивают два участка графика и устанавливают причинно-смысловую связь с описанием процесса.
- Строят словесную модель зависимости и используют её для прогноза.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный ответ и подтверждают его координатами на графике.
- Задают уточняющие вопросы о масштабе и единицах измерения.
- Распределяют роли в паре или группе и согласуют общий вывод.
- Корректно обсуждают разные ответы и приводят доказательство своей позиции.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с графиком зависимости температуры воздуха от времени и отдельным графиком движения велосипедиста.
- Распечатать карточки трёх уровней с графиками реальных зависимостей — по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Подготовить по одному листу с координатной сеткой на пару и маркеры трёх цветов.
- Вывести на доску памятку: «Оси — масштаб — точка — значение — единицы — вывод».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на каждого ученика.
- Подготовить эталон с ответами для самостоятельной проверки и лист самооценки — по одному на каждого ученика.
- Проверить работу проектора или интерактивной доски; иметь распечатанный вариант графиков на случай технического сбоя.
- Разместить на доске проблемный вопрос: «Как по графику понять, что происходило с величиной, не имея таблицы значений?»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в деятельность и показать практическую значимость чтения графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране график изменения температуры воздуха в течение дня: «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем читать график как сообщение о реальном событии. Посмотрите на экран: здесь нет текста, но можно узнать, когда было теплее, когда холоднее и как менялась температура. Проверьте, что у вас есть тетрадь, ручка и линейка». | Готовят принадлежности, рассматривают график, называют возможные вопросы: «Когда температура была максимальной?», «В какое время она повышалась?». |
2 мин | Учитель использует приём «Крючок»: «Представьте, что вы планируете поездку и видите только этот график погоды. Достаточно ли просто посмотреть на линию? Что ещё нужно проверить? Обратите внимание на подписи осей и единицы измерения. Сегодня наша задача — научиться превращать линию графика в точный рассказ о процессе». | Обсуждают ситуацию, называют оси, единицы измерения и формулируют предположение: «Без масштаба и подписей нельзя правильно понять график». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «График действительно может заменить длинное описание, но только если мы внимательно читаем его элементы. Сейчас вспомним, какие сведения уже умеем находить на координатной плоскости».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о координатной плоскости, координатах точки и масштабе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре лист с координатной сеткой и говорит: «Приём “Подумай — обсуди в паре — поделись”. Сначала самостоятельно отметьте точку с координатами $(2;3)$, затем за минуту сравните построение с соседом. Назовите, какая координата откладывается по горизонтали, а какая — по вертикали. Объясните, почему запись координат имеет именно такой порядок». | Отмечают точку $(2;3)$, обсуждают в парах, отвечают: «Первая координата откладывается по горизонтальной оси, вторая — по вертикальной». |
3 мин | Учитель показывает две шкалы: на первой одно деление соответствует 1 км, на второй — 5 км: «Сравните эти шкалы. Если точка расположена на третьем делении второй шкалы, какое значение она обозначает? Почему нельзя считать каждую клетку единицей без проверки подписи оси?». | Определяют значение 15 км, объясняют роль масштаба и отмечают в тетради правило: «Сначала читаем цену деления». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «График зависимости показывает, как изменяется одна величина при изменении другой. Горизонтальная ось обычно содержит аргумент, вертикальная — зависимую величину. Перед чтением графика необходимо определить подписи осей, масштаб и единицы измерения».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили координаты и масштаб. Но одной точки недостаточно, чтобы рассказать о всём процессе. Теперь выясним, какие вопросы возникают при чтении реального графика».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать алгоритм чтения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает график расстояния от дома до школы в зависимости от времени, но закрывает подписи осей: «Можно ли по одной линии точно сказать, что происходило? Какие сведения нам недоступны? Запишите один вопрос, на который пока нельзя ответить уверенно». | Фиксируют затруднение: «Неизвестно, что измеряется», «нельзя назвать единицы», «неясно, чему соответствует точка». |
2 мин | Учитель открывает подписи осей и предлагает приём «Снежный ком»: «Сначала каждый назовите один шаг чтения графика, затем объединитесь в пары и выберите важные шаги, а после мы составим общий алгоритм. Какую цель поставим на урок?». | Предлагают и упорядочивают шаги: определить величины и единицы, проверить масштаб, найти значение аргумента, определить значение зависимой величины, сформулировать вывод. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы обнаружили, что линия сама по себе не даёт готового ответа. Нужен последовательный алгоритм. Сейчас применим его к графику реального процесса и проверим, какие выводы можно сделать».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать алгоритм чтения графика на примере зависимости расстояния от времени.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует график движения велосипедиста: по горизонтальной оси время от 0 до 40 минут, по вертикальной оси расстояние от дома от 0 до 8 км; график проходит через точки $(0;0)$, $(10;2)$, $(20;4)$, $(25;4)$, $(35;1)$, $(40;1)$. Учитель говорит: «Рассмотрите график целиком. Что обозначают оси? В каких единицах измеряются величины? Почему участок от 20 до 25 минут горизонтальный?». | Называют: «По горизонтали время в минутах, по вертикали расстояние в километрах». Формулируют: «На горизонтальном участке расстояние не меняется, значит, велосипедист остановился». |
3 мин | Учитель записывает на доске алгоритм: «Первый шаг — прочитать оси и единицы. Второй — определить масштаб. Третий — отложить заданное значение аргумента и мысленно провести перпендикуляр к графику. Четвёртый — считать значение зависимой величины. Пятый — записать ответ словами». Затем спрашивает: «Какое расстояние было через 10 минут? Через 35 минут?». | Применяют алгоритм и отвечают: «Через 10 минут велосипедист был в 2 км от дома, через 35 минут — в 1 км от дома». |
3 мин | Учитель задаёт аналитические вопросы: «На каком промежутке расстояние увеличивалось? На каком уменьшалось? Что означает горизонтальный участок? Какое наибольшее расстояние достигнуто? Обоснуйте каждый ответ участком графика». | Находят промежутки: расстояние увеличивалось от 0 до 20 минут, не менялось от 20 до 25 минут, уменьшалось от 25 до 35 минут и не менялось от 35 до 40 минут. Называют максимум 4 км и объясняют его смысл. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают алгоритм: «1. Определить величины и единицы измерения. 2. Определить масштаб осей. 3. Найти на оси аргумента заданное значение. 4. Провести мысленно перпендикуляр до графика и считать значение зависимой величины. 5. Записать ответ с единицами и смысловым выводом». Также записывают: «Возрастание графика означает увеличение зависимой величины, убывание — уменьшение, горизонтальный участок — постоянство величины».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились читать отдельные точки и целые участки графика. Теперь проверим алгоритм на коротких вопросах, где важно не только назвать число, но и объяснить его смысл».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм чтения графика через парное обсуждение и объяснение ответов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточку с графиком уровня воды в резервуаре в зависимости от времени. На графике указаны точки: $(0;1)$, $(2;3)$, $(4;3)$, $(6;2)$, $(8;2)$. Реплика: «Выполните задания 1–3. Определите уровень воды через 2 часа, назовите промежуток постоянства уровня и укажите, когда уровень уменьшался. Каждый ответ подтверждайте участком графика». | В парах находят ответы: «Через 2 часа уровень 3 м», «от 2 до 4 часов уровень постоянен», «от 4 до 6 часов уровень уменьшался». Подчёркивают на графике соответствующие участки. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: «Обменяйтесь карточками с соседней парой. Используйте критерии: названо число, указана единица измерения, приведено объяснение по графику. Если нашли ошибку, не исправляйте молча, а задайте вопрос: “На каком участке графика это видно?”». | Проверяют ответы другой пары, отмечают две сильные стороны и одно пожелание, задают уточняющий вопрос при расхождении. |
2 мин | Учитель предлагает вопрос повышенного уровня: «Можно ли по этому графику утверждать, что за первые 8 часов уровень воды всё время уменьшался? Сформулируйте полный ответ». | Отвечают: «Нет. Сначала уровень увеличивался, затем оставался постоянным, потом уменьшился и снова не менялся». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы увидели, что полный ответ состоит не только из числа. В нём должны быть единицы, временной промежуток и объяснение по графику. Теперь каждый проверит, умеет ли выполнять алгоритм самостоятельно».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: индивидуально проверить освоение чтения графиков и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает выбор уровня: «Выберите карточку базового, среднего или повышенного уровня. Базовый уровень содержит прямые вопросы по точкам, средний — анализ участков, повышенный — объяснение реальной ситуации. Выбор уровня — это ответственность за свой результат, а не соревнование». | Выбирают карточку и записывают в тетради название уровня. |
5 мин | Учитель напоминает: «Работайте индивидуально. На каждом ответе указывайте единицы измерения. Если график содержит горизонтальный участок, объясните его смысл словами. Не забывайте проверять, правильно ли вы прочитали масштаб». Учитель наблюдает, задаёт направляющие вопросы, не сообщает готовый ответ. | Индивидуально выполняют задания. Базовый уровень: находят три значения по графику температуры. Средний: определяют промежутки возрастания, убывания и постоянства. Повышенный: анализируют график расхода воды и формулируют прогноз. |
3 мин | Учитель раздаёт эталон: «Проверьте работу по шагам, а не только по конечным числам. Поставьте плюс за правильное чтение осей, масштаб, вычисление и смысловой вывод. Ошибку исправьте другим цветом и подпишите, на каком шаге алгоритма она возникла». | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, заполняют мини-лист: «Я умею определить оси», «Я умею найти значение по графику», «Мне нужно повторить масштаб». |
Эталон решения
Для задания о графике движения велосипедиста: 1) находим на горизонтальной оси $t=35$ минут; 2) проводим мысленно вертикаль до графика; 3) с графика считываем $s=1$ км; 4) записываем вывод: «Через 35 минут велосипедист находился на расстоянии 1 км от дома». Для определения промежутка покоя рассматриваем горизонтальный участок: при изменении времени от 20 до 25 минут расстояние остаётся равным 4 км, значит, движение отсутствовало.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала, на каком шаге чаще всего возникает ошибка: при чтении масштаба, выборе точки или формулировке вывода. Осталось связать отдельные умения в общий способ анализа и оценить, насколько уверенно вы можете объяснить график другому человеку».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить способ чтения графика, выявить затруднения и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если вы уверенно читаете значение по графику; жёлтую — если иногда путаете масштаб или единицы; красную — если алгоритм пока требует помощи. Цвет не является оценкой, он показывает, какую поддержку нужно организовать». | Поднимают карточку, формулируют личное затруднение: «Путаю координаты», «забываю единицы», «легко нахожу точку, но трудно объяснить участок». |
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: «На отдельной полоске ответьте на вопрос: “Как по графику определить, что величина не изменялась?” и запишите один пример реальной зависимости, которую удобно представить графиком». | Пишут: «Горизонтальный участок показывает постоянство величины» и приводят пример: температура, расстояние, уровень воды или расход электроэнергии. |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание: «Выберите уровень с учётом сегодняшней самооценки. В каждом решении обязательно укажите оси, масштаб, единицы и смысловой вывод». | Записывают выбранный уровень домашнего задания и контрольные вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы научились читать график как модель реального процесса: определять значения, видеть изменение и объяснять смысл участков. На следующем уроке будем строить графики по таблице данных и сравнивать несколько зависимостей».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания карточки, правильно прочитаны оси и масштаб, ответы записаны с единицами измерения, для участков графика приведены содержательные объяснения.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, допущена одна неточность в чтении точки, масштабе или формулировке вывода, но общий алгоритм применён верно.
- «3» — выполнено не менее 60% заданий, ученик определяет основные значения по графику, однако допускает ошибки в анализе участков или не всегда указывает единицы измерения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие элементы графика нужно определить в первую очередь? | Проверка понимания роли осей, масштаба и единиц измерения. |
Как по графику найти значение зависимой величины при заданном значении аргумента? | Выявление освоения алгоритма чтения точки. |
Какой участок графика оказался самым сложным для объяснения и почему? | Выявление точек затруднения при анализе возрастания, убывания и постоянства. |
Где в повседневной жизни вам может понадобиться чтение графика? | Осознание практической ценности темы и развитие мотивации. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы увидели, что график — это не просто линия на координатной плоскости, а краткая модель реального процесса. Главная ошибка при чтении графика — сразу искать число, не проверив оси, масштаб и единицы измерения. Если вы последовательно выполняете алгоритм, то можете обосновать любой ответ данными графика. На следующем уроке мы попробуем построить график по таблице значений и сравнить несколько процессов».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания на чтение графика реальной зависимости: определить значение величины в заданный момент, найти максимальное и минимальное значения, указать промежуток возрастания или убывания. В каждом ответе записать единицы измерения. | Закрепляет чтение осей, масштаба и отдельных точек; при проверке обратить внимание на точность чисел и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 заданий по графикам движения, температуры или уровня воды, включая определение горизонтального участка и формулировку вывода по двум соседним участкам. | Развивает анализ графика и перевод математической информации в описание реального процесса; при проверке смотреть на обоснование ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить по собственному сюжету таблицу из 6–8 значений и построить график зависимости, затем написать 4 вывода: где величина увеличивается, уменьшается, постоянна и какого значения достигает. | Формирует умение создавать математическую модель и объяснять её; при проверке оценивать соответствие графика таблице, масштаб и содержательность выводов. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какая величина обычно откладывается по горизонтальной оси? Что нужно проверить до считывания значения? Что означает горизонтальный участок графика? Почему ответ по графику должен содержать единицы измерения?»
