Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать систему двух линейных уравнений с двумя переменными, понимать её решение как общую пару значений и проверять решение подстановкой в оба уравнения.
- Сформировать представление о системе двух линейных уравнений с двумя переменными и записи решения системы в виде упорядоченной пары.
- Научить устанавливать, является ли заданная пара чисел решением системы, выполняя проверку в каждом уравнении.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, сравнивать результаты вычислений и аргументировать ответ в паре.
- Воспитывать ответственность за точность вычислений, готовность к сотрудничеству и уважение к различным способам рассуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность совместного решения задач, в которых нужно учитывать два условия одновременно.
- Проявляют интерес к поиску нескольких способов проверки математического утверждения.
- Развивают самостоятельность и уверенность при объяснении собственного рассуждения.
- Понимают значение аккуратности и самопроверки в математической деятельности.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и цель урока на основе предложенной ситуации.
- Извлекают информацию из условия задачи, переводят её на математический язык и работают с таблицей значений.
- Сравнивают гипотезы, выявляют общее решение двух уравнений и аргументируют вывод.
- Планируют последовательность проверки, осуществляют самоконтроль и исправляют вычислительные ошибки.
- Организуют работу в паре, задают уточняющие вопросы и представляют результат классу.
Предметные
- Знать понятия «система двух линейных уравнений с двумя переменными» и «решение системы».
- Уметь распознавать систему и записывать её в фигурной скобке.
- Уметь проверять, является ли заданная пара чисел решением системы, подставляя её в оба уравнения.
- Уметь формулировать вывод: решение системы должно одновременно удовлетворять каждому уравнению.
- Владеть алгоритмом первичной проверки решения системы.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения систем как способа описывать ситуации с несколькими взаимосвязанными условиями.
- Проявляют познавательную инициативу при выборе способа рассуждения.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и результат деятельности.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока.
- Составляют план проверки пары чисел в системе.
- Сверяют промежуточные вычисления с эталоном.
- Находят причину ошибки и корректируют решение.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные условия задачи и переводят их в уравнения.
- Сравнивают две математические записи и устанавливают их связь.
- Строят таблицу соответствий между парами чисел и уравнениями.
- Выдвигают и проверяют гипотезу о решении системы.
- Моделируют условие жизненной ситуации с помощью двух уравнений.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель и проверяющий, затем меняются ролями.
- Формулируют полный устный ответ с математическим обоснованием.
- Задают вопросы о непонятном шаге и корректно обсуждают различия в решениях.
- Представляют общий результат и аргументируют выбор ответа.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске: жизненная задача, определения, алгоритм проверки и три пары чисел для самостоятельной работы.
- Распечатать карточки с жизненной ситуацией и таблицей проверки — по одной на парту.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика.
- Подготовить листы самооценки и небольшие стикеры для рефлексии — по одному на каждого ученика.
- Заранее разделить доску на части: «Проблема», «Гипотеза», «Эталон», «Итог».
- Подготовить цветные маркеры или мел, таймер и проектор с ноутбуком.
- На отдельном листе иметь эталон проверки системы $\begin{cases}x+y=7\\2x-y=2\end{cases}$ для самопроверки.
- Подготовить карточки с ролями «вычислитель» и «проверяющий» для парной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость учитывать два условия одновременно.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня нам понадобится не только точность вычислений, но и умение договариваться. На уроке вы сможете выбрать, каким способом объяснять свою проверку: устно, в таблице или у доски." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске условие: "Для школьного проекта купили 7 тетрадей и ручек. Всего предметов 7, а стоимость покупки составила 32 рубля, если тетрадь стоит 2 рубля, а ручка — 6 рублей". Учитель спрашивает: "Достаточно ли одного условия, чтобы проверить найденные количества? Что изменится, если условий станет два?" | Читают условие, выделяют два условия, предполагают: "Нужно найти такую пару чисел, которая одновременно удовлетворяет обоим условиям". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы увидим, как математически записать сразу два связанных условия и как проверить общий ответ. Сначала вспомним, что уже умеем делать с линейными уравнениями."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать умения решать линейные уравнения и проверять пару значений в уравнении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает устную разминку: "Решите уравнение $x+4=9$. Назовите корень и объясните, как его проверить. Теперь рассмотрите уравнение $2x-y=6$: какая пара может ему удовлетворять?" | Решают: "$x=5$"; предлагают пару, например "$x=3$, $y=0$", и проверяют: "$2\cdot3-0=6$". |
2 мин | Учитель раздаёт карточки с выражениями: $x+y=7$, $2x-y=2$, $3a-5=10$, $y=2x+1$. Говорит: "За одну минуту распределите записи на две группы: уравнения с двумя переменными и остальные. Объясните признак выбора." | Работают в парах, выделяют уравнения $x+y=7$, $2x-y=2$, $y=2x+1$, формулируют: "В записи используются две переменные". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Если одна пара чисел подходит к первому уравнению, достаточно ли этого для двух условий? Почему?" Фиксирует ответ на доске. | Отвечают: "Нет, нужно проверить пару во втором уравнении; общий ответ должен выполнить оба равенства". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили линейные уравнения и проверку пары чисел. Теперь выясним, как назвать и записать ситуацию, когда два таких уравнения должны выполняться одновременно."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: сформулировать понятие системы и учебную задачу урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске две зависимости: $x+y=7$ и $2x-y=2$. Говорит: "Каждое равенство по отдельности задаёт условие. Но в задаче оба условия относятся к одним и тем же значениям $x$ и $y$. Как обозначить, что их нужно рассматривать вместе?" | Предлагают объединить уравнения фигурной скобкой, объясняют: "Обе записи относятся к одной паре переменных". |
2 мин | Учитель вводит термин: "Система двух линейных уравнений с двумя переменными — это два уравнения, рассматриваемые одновременно. Решением системы называется пара значений переменных, которая обращает в верное равенство каждое уравнение системы." Затем спрашивает: "Какую цель поставим на урок?" | Записывают определение, формулируют цель: "Научиться распознавать систему и проверять, является ли пара чисел её решением". |
1 мин | Учитель предлагает выбрать формат работы на следующем этапе: "Можно анализировать готовые пары в таблице или сначала составить собственную гипотезу. Выберите вариант, в котором вам легче рассуждать." | Выбирают формат, распределяются по парам, получают материалы. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях: ученики записывают определения системы и её решения, а также систему $\begin{cases}x+y=7\\2x-y=2\end{cases}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нужно найти не отдельное решение каждого уравнения, а общую пару. Сейчас исследуем пары чисел и сами откроем способ проверки."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм проверки пары чисел как решения системы через исследование и обсуждение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку с системой $\begin{cases}x+y=7\\2x-y=2\end{cases}$ и парами $(3;4)$, $(2;5)$, $(4;3)$. Говорит: "Приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись». Сначала самостоятельно проверьте первую пару в обоих уравнениях, затем сравните запись с соседом. Не ограничивайтесь ответом «подходит»: покажите вычисления." | Индивидуально подставляют $x=3$, $y=4$: $3+4=7$, $2\cdot3-4=2$. Делают вывод: пара $(3;4)$ подходит. |
3 мин | Учитель спрашивает: "Проверьте пару $(2;5)$. Какое равенство выполняется? Какое нарушается? Можно ли назвать эту пару решением системы?" На доске фиксирует два столбца: «первое уравнение» и «второе уравнение». | Вычисляют: $2+5=7$, но $2\cdot2-5=-1\ne2$. Формулируют: "Пара не является решением системы, потому что не выполняет второе уравнение". |
2 мин | Учитель предлагает проверить $(4;3)$ и задаёт вопрос: "Что общего у всех действий? Назовите порядок проверки четырьмя шагами." | Проверяют: $4+3=7$, $2\cdot4-3=5\ne2$. Формулируют алгоритм: записать пару, подставить в первое уравнение, подставить во второе, сделать общий вывод. |
2 мин | Учитель оформляет на доске эталон и говорит: "Обратите внимание: знак равенства или неравенства нужно записывать в каждом вычислении. Итог формулируем полностью: «Пара ... является или не является решением системы, потому что ...»." | Сверяют записи с эталоном, исправляют пропущенные вычисления и формулируют полный вывод. |
Запись в тетрадях
Алгоритм проверки пары $(x_0;y_0)$: 1) подставить $x_0$ и $y_0$ в первое уравнение; 2) проверить равенство; 3) подставить значения во второе уравнение; 4) проверить равенство; 5) сделать вывод. Пара является решением системы только тогда, когда оба уравнения обращаются в верные равенства.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили главное условие: решение системы должно одновременно удовлетворять двум уравнениям. Теперь потренируемся проговаривать этот алгоритм и применять его без подсказки."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм проверки решения в парной работе с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки: система $\begin{cases}x-y=1\x+y=7\end{cases}$ и пары $(4;3)$, $(5;2)$. Инструктирует: "Один ученик выполняет подстановку, второй проверяет каждую строку и задаёт вопрос: «Почему этого достаточно или недостаточно?». Через полторы минуты поменяйтесь ролями." | В парах проверяют $(4;3)$: $4-3=1$, $4+3=7$, делают вывод «является решением»; проверяют $(5;2)$: $5-2=3\ne1$, делают вывод «не является решением». |
2 мин | Учитель приглашает одну пару к доске: "Покажите не только подходящую пару, но и контрпример. Объясните, почему одного верного равенства недостаточно." | Один ученик записывает проверку, второй объясняет: "Для системы должны быть верны оба равенства; если хотя бы одно неверно, пара не является решением". |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно проверить пару, жёлтую — если нужен образец, красную — если пока не понимаете порядок действий. По жёлтым сигналам разберём типичную ошибку." | Показывают карточку, называют затруднение: «путаю координаты пары» или «забываю проверить второе уравнение»; исправляют ошибку по образцу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь вы умеете проверять готовую пару в системе. Следующий шаг — выполнить такую проверку самостоятельно и доказать свой ответ вычислениями."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение понятия и алгоритма проверки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выберите уровень: базовый, если нужна уверенная тренировка; повышающий, если хотите проверить себя на двух системах; дополнительный — если готовы объяснить практический смысл. Работайте самостоятельно, запись проверки обязательна." | Выбирают карточку и записывают выбранный уровень. |
4 мин | Учитель наблюдает, не подсказывая ответ, напоминает критерий: "Проверьте каждое уравнение отдельно. Следите за порядком координат: сначала значение $x$, затем значение $y$." Задания: базовый — проверить пару $(2;3)$ в системе $\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}$; повышающий — проверить пары $(1;4)$ и $(3;2)$ в системе $\begin{cases}x+y=5\\3x-y=-1\end{cases}$; дополнительный — составить систему, решением которой является пара $(2;-1)$, и объяснить выбор. | Выполняют выбранное задание, записывают оба вычисления и вывод. Для базового получают: $2+3=5$, $2\cdot2-3=1$, поэтому пара является решением. |
3 мин | Учитель выводит эталон для базового и части повышающего уровня: "Сверьте не только итог, но и каждую строку. Если нашли несовпадение, зачеркните ошибочный шаг одной чертой и рядом запишите исправленный. Это не наказание, а способ увидеть место затруднения." | Сверяют работу, отмечают ошибки, исправляют вычисления, ставят условный знак «+» рядом с выполненными шагами. |
Эталон решения
Для системы $\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}$ и пары $(2;3)$: $x+y=2+3=5$ — первое уравнение верно; $2x-y=2\cdot2-3=4-3=1$ — второе уравнение верно. Следовательно, пара $(2;3)$ является решением системы.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без постоянной подсказки. В конце урока мы свяжем систему с реальной задачей и проверим, почему два условия дают один общий ответ."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: применить новое понятие к жизненной ситуации, осмыслить результат и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к ситуации и говорит: "Пусть $x$ — число тетрадей, а $y$ — число ручек. Запишем условие: всего предметов 7, значит $x+y=7$; стоимость покупки 32 рубля, значит $2x+6y=32$. Почему найденная пара должна удовлетворять сразу двум уравнениям?" | Записывают модель $\begin{cases}x+y=7\\2x+6y=32\end{cases}$ и отвечают: "Оба условия относятся к одной покупке, поэтому нужны общие значения $x$ и $y$". |
2 мин | Учитель организует «Одноминутную бумагу»: "Запишите одним предложением, что называется решением системы, и одним предложением — как его проверить. Затем прикрепите лист на доску в колонку «Узнал» или «Остался вопрос»." | Пишут: "Решение системы — пара, которая удовлетворяет обоим уравнениям"; фиксируют оставшийся вопрос или прикрепляют лист в выбранную колонку. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание, задаёт контрольные вопросы: "Какое условие является обязательным для решения системы? Что произойдёт, если пара подходит только к одному уравнению? Почему важно записывать проверку полностью?" | Отвечают: "Оба уравнения должны быть верными"; "пара не является решением"; "полная проверка подтверждает вывод и помогает найти ошибку". Записывают домашнее задание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы открыли смысл системы двух линейных уравнений и научились проверять её решение. На следующем уроке будем искать общую пару значений не перебором, а специальными способами решения системы."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнена проверка всех предложенных уравнений, подстановка записана без ошибок, дан полный вывод о том, является ли пара решением системы.
- «4» — правильно определён результат проверки, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не повлиявшая на общий вывод.
- «3» — выполнена проверка хотя бы одной пары, но пропущено одно из уравнений либо вывод сформулирован неполно; после подсказки ошибка исправлена.
- Ниже базового уровня — работа содержит только отдельную подстановку без проверки обоих уравнений или не позволяет определить общий вывод.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называется решением системы двух уравнений? | Проверка осознания ключевого определения. |
Какие два действия нужно выполнить при проверке пары чисел? | Выявление понимания алгоритма и последовательности шагов. |
Какое задание оказалось самым сложным и на каком шаге возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в подстановке и вычислениях. |
Какой способ работы сегодня помог вам лучше понять тему: таблица, обсуждение в паре или самостоятельная проверка? | Субъективная оценка освоения материала и эффективности выбранной формы работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что система объединяет два уравнения, которые должны выполняться одновременно. Главное правило урока: пара является решением только тогда, когда после подстановки верными оказываются оба равенства. Типичная ошибка — проверить первое уравнение и забыть про второе, поэтому всегда используйте полный алгоритм. На следующем уроке мы научимся находить решение системы способами подстановки и сложения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить проверку 4–5 пар чисел для систем двух линейных уравнений с двумя переменными; в каждом случае записать подстановку в оба уравнения и полный вывод. | Закрепляет понятие решения системы и последовательность проверки; при проверке обратить внимание на порядок координат и наличие двух равенств. |
Средний (повышающий) | Решить 3–4 задания на распознавание систем и проверку предложенных пар, включая случаи, когда пара удовлетворяет только одному уравнению. | Развивает умение отличать частичное совпадение от общего решения; проверить аргументированность вывода. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить две системы, решениями которых являются заданные пары, например $(3;2)$ и $(-1;4)$, а затем составить к одной системе короткую жизненную задачу с двумя условиями. | Формирует умение моделировать и создавать математические объекты; проверить корректность обеих записанных уравнений и связь с условием задачи. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что такое система двух линейных уравнений с двумя переменными?», «Какая пара называется её решением?», «Почему нельзя ограничиться проверкой только одного уравнения?»
