Вычисление значений функции по формуле
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться находить значения функции по заданной формуле и аргументу, выполняя не менее 4 из 5 учебных заданий с правильной подстановкой и вычислениями.
- Сформировать представление о функции как зависимости переменной $y$ от переменной $x$ и закрепить понятия «аргумент» и «значение функции».
- Научить составлять последовательность вычисления значения функции: записать формулу, подставить значение аргумента в скобках, выполнить вычисления и записать ответ.
- Развивать умение анализировать запись, находить ошибки в подстановке, объяснять ход решения и проверять полученный результат.
- Воспитывать ответственное отношение к вычислениям, готовность к сотрудничеству и осознанный выбор уровня сложности задания.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность точных вычислений при работе с формулами в математике, технике и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют учебную самостоятельность, выбирая посильный и повышенный уровень задания.
- Понимают, что ошибка в одном этапе подстановки может изменить весь результат.
- Развивают готовность спокойно воспринимать затруднение как этап поиска способа решения.
Метапредметные
- Познавательные: извлекают информацию из формулы, преобразуют буквенную запись в числовое выражение и анализируют соответствие результата условию.
- Регулятивные: принимают учебную цель, планируют вычисления по алгоритму, выполняют самопроверку и исправляют ошибки.
- Коммуникативные: объясняют способ подстановки в паре, задают уточняющие вопросы и аргументированно оценивают решение.
- Используют интерактивную доску или калькулятор для проверки вычислений, сопоставляя цифровой результат с письменным решением.
Предметные
- Знают, что аргументом функции называют значение переменной $x$, а соответствующее значение $y$ называют значением функции.
- Умеют находить значение функции $y=f(x)$ при заданном значении аргумента.
- Умеют правильно подставлять положительные и отрицательные значения аргумента в формулу.
- Владеют алгоритмом вычисления значения функции и умеют применять его к линейным и содержащим степень формулам.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения функции для описания зависимостей между величинами.
- Проявляют интерес к применению формул в задачах, связанных с тарифами, временем, расстоянием и расходами.
- Оценивают собственную готовность к самостоятельному вычислению.
- Сохраняют положительную мотивацию при обнаружении и исправлении ошибки.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока вместе с учителем и соотносят её с результатом работы.
- Планируют решение по шагам: формула, подстановка, вычисление, ответ.
- Проверяют знаки, скобки и арифметические действия.
- Сравнивают решение с эталоном, устанавливают причину ошибки и вносят исправления.
Познавательные УУД
- Выделяют в формуле зависимую и независимую переменные.
- Моделируют вычисление значения функции числовым выражением.
- Сравнивают правильную и ошибочную подстановку отрицательного аргумента.
- Используют таблицу значений и цифровой инструмент для проверки закономерности.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по правилу «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Формулируют полный устный ответ с использованием терминов «аргумент» и «значение функции».
- Задают партнёру вопрос о причине выбранного знака или действия.
- При взаимопроверке дают конкретную обратную связь: называют два удачных шага и один способ улучшения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с формулами $y=2x+3$, $y=x^2-4$ и таблицей значений функции.
- Подготовить интерактивное задание для быстрой проверки подстановки и вычислений; предусмотреть вариант работы без сети.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать мини-листы самооценки и билеты на выход — по одному комплекту на каждого ученика.
- Подготовить карточки с ошибочными решениями для работы в парах, по одной карточке на пару.
- Вывесить на доску памятку: «1. Запиши формулу. 2. Подставь значение в скобках. 3. Выполни вычисления. 4. Проверь ответ».
- Подготовить маркеры, стикеры трёх цветов и таймер на 3–5 минут.
- Проверить работу проектора, ноутбука, интерактивной доски и калькулятора; открыть заготовленные задания до начала урока.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл вычисления значения функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране две записи: «Стоимость поездки: $C=50+18x$, где $x$ — число километров» и «Температура: $T=20-3t$». Учитель говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать не просто с буквами, а с формулами, которые описывают реальные зависимости. Представьте, что вам нужно быстро узнать стоимость поездки длиной 4 километра. Как получить конкретное число из формулы?" | Рассматривают записи, называют жизненные ситуации и предполагают: «Нужно вместо буквы подставить число». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом, какие действия нужно выполнить с формулой $C=50+18x$, если $x=4$. Не торопитесь считать, сначала назовите порядок действий." | Записывают краткий вариант действий, обсуждают его в парах и формулируют: «Подставить 4 вместо $x$, затем вычислить выражение». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже догадались о главном действии — числовое значение аргумента нужно подставить в формулу. Теперь проверим, какие знания помогут делать это без ошибок."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать правила действий с числами, скобками, степенями и понятия переменной.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на доску выражения $2+3\cdot4$, $(-3)^2$, $5-(-2)$ и говорит: "Перед вычислением значения функции вспомним порядок действий. Выполните три коротких примера в тетради и объясните, почему знак минус нужно учитывать особенно внимательно." | Решают выражения и отвечают: «$2+3\cdot4=14$», «$(-3)^2=9$», «$5-(-2)=7$». Объясняют роль скобок. |
2 мин | Учитель показывает формулу $y=3x-1$ и спрашивает: "Какая переменная зависит от другой? Что произойдёт с $y$, если мы выберем конкретное значение $x$?" Затем уточняет терминологию. | Отвечают: «$y$ зависит от $x$», «при выбранном $x$ можно найти конкретное значение $y$». Записывают устные определения. |
1 мин | Учитель предлагает сигнал «Светофор»: "Покажите зелёный стикер, если уверенно работаете со скобками, жёлтый — если нужна тренировка, красный — если пока трудно." | Поднимают стикеры, фиксируют индивидуальную потребность в повторении. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили порядок действий и работу со знаками. Теперь выясним, почему даже знакомое вычисление иногда приводит к неверному ответу."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить типичную ошибку подстановки и совместно сформулировать алгоритм урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два решения для $y=x^2-4$ при $x=-3$: «1) $y=-3^2-4=-9-4=-13$; 2) $y=(-3)^2-4=9-4=5$». Учитель говорит: "Оба решения выглядят похожими. Какое из них верно? Найдите не только ответ, но и место, где возникло различие." | Сравнивают записи в парах, указывают на отсутствие скобок в первом решении и отвечают: «Верно второе решение, потому что отрицательное значение аргумента подставляют в скобках». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Какой универсальный порядок действий позволит нам вычислять значение функции по любой доступной формуле и не терять знак аргумента? Сформулируйте цель урока и предложите план." Учитель фиксирует предложения на доске. | Формулируют цель: «Научиться находить значение функции по формуле». Предлагают план: «Записать формулу, выполнить подстановку, посчитать, проверить». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема найдена: ошибка часто возникает не в арифметике, а при записи подстановки. Сейчас мы выведем точный алгоритм и применим его к разным формулам."
Этап 4. Открытие нового знания (8 мин)
Цель этапа: сформировать алгоритм вычисления значения функции по формуле через анализ примеров и таблицы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: $y=2x+5$, $x=3$. Говорит: "Запишем решение полностью. Сначала указываем формулу, затем заменяем $x$ числом 3: $y(3)=2\cdot3+5$. После этого выполняем умножение и сложение: $y(3)=6+5=11$. Значение функции при $x=3$ равно 11. Обратите внимание: запись $y(3)$ показывает, при каком аргументе найден результат." | Поэтапно переписывают решение, проговаривают: «При $x=3$ значение функции равно 11». Выделяют формулу, подстановку и вычисление разными цветами. |
3 мин | Учитель предлагает пример $y=x^2-2x+1$ при $x=-2$: "Подставим отрицательное число только в скобках: $y(-2)=(-2)^2-2\cdot(-2)+1$. Теперь вычислим по порядку. Почему перед вторым слагаемым появляется умножение на отрицательное число?" | Записывают подстановку со скобками, отвечают: «Потому что в формуле есть $-2x$, а $x=-2$». Получают $4+4+1=9$. |
2 мин | Учитель выводит на экран таблицу: формула, аргумент, подстановка, результат. Просит учащихся заполнить строку для $y=3x-4$, $x=-1$. После этого формулирует алгоритм и предлагает сфотографировать или переписать памятку. | Заполняют строку: $y(-1)=3\cdot(-1)-4=-3-4=-7$. Записывают алгоритм из четырёх шагов в тетрадь. |
Запись в тетрадях
Записывают: «Чтобы найти значение функции $y=f(x)$ при заданном $x=a$, нужно: 1) записать формулу; 2) заменить $x$ числом $a$, отрицательное число взять в скобки; 3) выполнить вычисления по правилам порядка действий; 4) записать ответ $f(a)=...$ и проверить его».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм теперь у нас перед глазами. Мы научились выполнять подстановку и сохранять знак аргумента. Далее проверим алгоритм на коротких заданиях с обязательным проговариванием каждого шага."
Этап 5. ИКТ-практикум и первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм в парной работе и использовать цифровой инструмент для проверки результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель запускает на интерактивной доске задание с мгновенной проверкой: «Для каждой формулы выберите правильную подстановку. 1) $y=4x-1$, $x=-2$; 2) $y=x^2+3$, $x=-4$. Не угадывайте ответ: сначала обсудите, где должны стоять скобки». | В парах выбирают варианты $y(-2)=4\cdot(-2)-1$ и $y(-4)=(-4)^2+3$, объясняют выбор соседней паре. |
2 мин | Учитель говорит: "Теперь введите ответы в интерактивную форму. Цифровая проверка не заменяет решения в тетради: если ответ неверен, найдите, на каком шаге возникла ошибка." | Вводят результаты: $-9$ и $19$, сверяют с обратной связью, исправляют запись в тетради при необходимости. |
2 мин | Учитель раздаёт карточки с ошибочными решениями: «$y=2x^2+1$, $x=-3$: $y(-3)=2\cdot(-3)^2+1=-18+1=-17$». Просит применить приём «Найди ошибку». | Находят ошибку в порядке действий: сначала нужно вычислить $(-3)^2$. Исправляют: $2\cdot9+1=19$, формулируют объяснение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цифровая проверка помогла быстро увидеть результат, но правильность решения определяется полной записью. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки с выбором уровня: "Выполните обязательное задание, а затем выберите повышенный или творческий пункт. На карточке есть критерии: важны не только ответы, но и скобки, порядок действий и запись вывода." Базовый уровень: найти $y=3x+2$ при $x=-4$ и $y=x^2-5$ при $x=2$. Повышенный: найти $y=2x^2-x-3$ при $x=-2$ и $x=\frac12$. | Индивидуально решают задания. Базовый результат: $-10$ и $-1$. Для повышенного получают при $x=-2$: $8+2-3=7$, при $x=\frac12$: $\frac12-\frac12-3=-3$. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране и говорит: "Проверьте по шагам, а не только по последнему числу. Если ошибка есть, обозначьте её знаком вопроса и рядом запишите исправленный шаг. Это не потеря балла, а материал для обучения." | Сверяют формулу, подстановку, вычисления и ответ; исправляют ошибки другим цветом. |
1 мин | Учитель просит оценить результат: "Поставьте в листе самооценки плюс напротив умения, которое уже получается, и вопрос напротив того, что требует тренировки." | Заполняют самооценку: «умею подставлять положительное число», «нужно потренировать отрицательные числа» и т. п. |
Эталон решения
Для $y=2x^2-x-3$ при $x=-2$: $y(-2)=2\cdot(-2)^2-(-2)-3=2\cdot4+2-3=7$. Для $x=\frac12$: $y\left(\frac12\right)=2\cdot\left(\frac12\right)^2-\frac12-3=2\cdot\frac14-\frac12-3=\frac12- rac12-3=-3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы показали индивидуальный способ работы и увидели, на каком шаге чаще всего появляется ошибка. Осталось связать вычисление с таблицей значений и проверить, как вы понимаете тему целиком."
Этап 7. Включение знаний в систему (5 мин)
Цель этапа: применить алгоритм к реальному контексту и установить связь между формулой, аргументом и результатом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "Стоимость доставки задаётся формулой $C=120+25x$, где $x$ — расстояние в километрах. Найдите стоимость доставки на 3 км и на 7 км. Объясните, что означает разность полученных значений." | Составляют два вычисления: $C(3)=120+25\cdot3=195$, $C(7)=120+25\cdot7=295$. Формулируют: «При увеличении расстояния на 4 км стоимость увеличилась на 100 рублей». |
2 мин | Учитель спрашивает: "Что в этой задаче является аргументом, а что — значением функции? Можно ли подставить $x=-3$ и почему?" Подводит к проверке смысла ответа. | Отвечают: «Аргумент — расстояние $x$, значение функции — стоимость $C$». Обосновывают: «Отрицательное расстояние в данном контексте не имеет смысла». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что значение функции — это не только результат вычисления, но и число с конкретным смыслом. Теперь зафиксируем, что каждый из вас освоил и что нужно повторить."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и определить индивидуальную траекторию домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Ответьте кратко на три вопроса: какой алгоритм вычисления значения функции вы запомнили; зачем нужны скобки при отрицательном аргументе; какое действие пока требует тренировки?" | Письменно отвечают на вопросы и сдают билет при выходе. |
1 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Зелёный — могу самостоятельно находить значение функции; жёлтый — понимаю алгоритм, но ошибаюсь в вычислениях; красный — нужна совместная тренировка." | Поднимают стикер соответствующего цвета и фиксируют личную цель. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень осознанно. Обязательный минимум выполняют все, а повышенный или дополнительный уровень выбирают те, кто готов усложнить задачу. Перед сдачей проверьте наличие формулы, подстановки, вычислений и ответа." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, задают уточнения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились переходить от формулы к конкретному числу и увидели, что скобки защищают нас от ошибки со знаком. Проверьте себя по алгоритму перед каждой записью. На следующем уроке мы будем составлять таблицы значений и использовать их для построения графика функции."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены оба обязательных задания и задание выбранного повышенного уровня, правильно оформлены подстановки, скобки и вычисления, дан полный ответ.
- «4» — выполнены оба обязательных задания, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, алгоритм подстановки в целом соблюдён.
- «3» — верно выполнено хотя бы одно обязательное задание, но есть ошибки в подстановке, знаках или порядке действий; ученик может исправить ошибку с опорой на эталон.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о вычислении значения функции по формуле? | Выявление осознания основного алгоритма и предметного результата. |
На каком шаге решения нужно быть особенно внимательным при отрицательном аргументе? | Выявление понимания роли скобок и предупреждение типичной ошибки. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Диагностика индивидуальных точек затруднения. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и что хотите улучшить? | Развитие самооценки, автономии и планирования дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились находить значение функции по заданной формуле и аргументу. Главное правило — не пропускать этап подстановки и брать отрицательное число в скобки. Помните, что полный ответ состоит не только из последнего числа, но и из понятной последовательности действий. На следующем уроке мы перенесём полученные значения в таблицу и начнём строить графики функций."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4–5 заданий на вычисление значений линейной функции и функции, содержащей квадрат аргумента, при положительных и отрицательных значениях $x$. В каждом решении записать формулу, подстановку, вычисления и ответ. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на скобки, знаки и порядок действий. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи прикладного содержания, в которых формула задаёт стоимость, расстояние, время или температуру; найти значения функции при двух или трёх аргументах и объяснить смысл результата. | Формирует функциональную грамотность; проверять соответствие ответа единицам измерения и смыслу ситуации. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную формулу зависимости двух величин, выбрать не менее трёх значений аргумента, вычислить соответствующие значения функции и оформить таблицу. | Развивает умение создавать математическую модель и видеть связь между формулой, аргументом и значением функции. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют аргументом функции? Как найти значение функции при заданном аргументе? Почему запись $(-4)^2$ отличается от записи $-4^2$? Какие четыре шага входят в алгоритм вычисления?»
