Свойства уравнений. Равносильные уравнения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют два свойства равносильных уравнений, применят их при решении не менее трёх линейных уравнений и выполнят проверку найденного корня подстановкой.
- Сформировать представление о равносильных уравнениях как об уравнениях, имеющих одно и то же множество корней.
- Научить применять свойства уравнений для переноса слагаемых и умножения или деления обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число.
- Развивать умение анализировать преобразования, находить ошибку и аргументированно объяснять каждый шаг решения.
- Воспитывать ответственность за математическую запись, самоконтроль и готовность обосновывать выбранный способ решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность точного рассуждения и проверки результата как универсального навыка, необходимого в учёбе и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют положительное отношение к самостоятельному поиску способа решения и уважение к иной математически обоснованной точке зрения.
- Развивают мотивацию к изучению алгебры через понимание практической роли уравнений в моделировании задач.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель и планируют последовательность преобразований уравнения.
- Извлекают информацию из записи уравнения, сравнивают множества корней и выявляют логические ошибки.
- Используют математическую речь для объяснения сохранения или изменения множества решений.
- Осуществляют самопроверку по эталону и корректируют решение при обнаружении ошибки.
Предметные
- Знать определение равносильных уравнений и два свойства уравнений.
- Уметь заменять уравнение равносильным уравнением при прибавлении или вычитании одного и того же выражения из обеих частей.
- Уметь умножать или делить обе части уравнения на одно и то же ненулевое число.
- Уметь решать линейные уравнения с использованием свойств и проверять найденный корень подстановкой.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в работу пары и оценивают собственную готовность объяснить решение.
- Связывают аккуратность преобразований с достоверностью полученного результата.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня дополнительного задания.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют решение уравнения по шагам и удерживают последовательность действий.
- Сравнивают собственное решение с эталоном, находят место ошибки и исправляют его.
- Оценивают результат по критериям: правильность преобразований, полнота записи, наличие проверки.
Познавательные УУД
- Сравнивают уравнения и делают вывод об одинаковом или различном множестве корней.
- Выделяют существенные условия в свойствах уравнений, включая ненулевое значение множителя или делителя.
- Строят рассуждение от исходного уравнения к равносильному и моделируют решение цепочкой преобразований.
- Применяют анализ ошибок для проверки допустимости математического действия.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и дают партнёру объяснение с использованием математических терминов.
- Согласовывают в паре общее решение и распределяют роли: решающий и проверяющий.
- Аргументируют, почему преобразование сохраняет корни, и корректно оценивают решение одноклассника.
- Участвуют в обсуждении спорного решения, отделяя верный результат от неверного обоснования.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с парами уравнений: $x+3=7$ и $x=4$, $2x=10$ и $x=5$, а также с вопросом: «Почему решения не изменились?»
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке каждого уровня на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить отдельные карточки с ошибочными решениями для работы в парах и маркеры для выделения ошибочного шага.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я знаю определение», «Я могу применить первое свойство», «Я могу применить второе свойство», «Я умею проверить корень».
- Вывести на доску или экран памятку: «Прибавить или вычесть одно и то же выражение; умножить или разделить на одно и то же ненулевое число».
- Раздать на каждую парту два небольших листа для приёма «Подумай — обсуди в паре — поделись» и один лист для взаимопроверки.
- Подготовить таймер на 2, 3 и 5 минут для самостоятельных шагов.
- Оставить на доске место для темы, определения, свойств и алгоритма решения уравнения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию, связанную с сохранением корней уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и черновика. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и умение доказывать, почему каждый шаг решения допустим. Запишите дату, а тему мы сформулируем после небольшой задачи." | Проверяют принадлежности, открывают тетради, записывают дату, готовят место для новой записи. |
2 мин | Учитель показывает на доске два уравнения: $x+3=7$ и $x=4$, затем спрашивает: "Перед вами две записи. Можно ли считать их разными задачами? Как вы думаете, одинаково ли множество их корней? Подумайте самостоятельно 30 секунд, затем обсудите ответ в паре. Приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Решают оба уравнения, обсуждают в парах и формулируют ответ: "У обоих уравнений единственный корень $x=4$, поэтому они связаны". Несколько пар озвучивают обоснование. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что разные записи могут иметь один и тот же корень. Сегодня выясним, как преобразовывать уравнения так, чтобы множество решений сохранялось, и как распознавать такие уравнения."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия уравнения, корня и проверки решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Вспомним опорные понятия. Что называется уравнением? Что такое корень уравнения? Как проверить, является ли число корнем? Я буду фиксировать точные формулировки на доске." | Отвечают: "Уравнение — равенство, содержащее переменную"; "Корень — значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство"; "Нужно подставить число вместо переменной и вычислить обе части". |
3 мин | Учитель предлагает устно решить $3x=12$, $x-5=2$ и проверить один ответ: "Не называйте только число. Проговорите действие и покажите, как проверка подтверждает результат. Почему проверка нужна даже тогда, когда решение кажется очевидным?" | Решают: $x=4$, $x=7$; проговаривают: "Подставим $x=7$: $7-5=2$, получаем верное равенство". Формулируют: "Проверка помогает обнаружить ошибку в преобразованиях или вычислениях". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что корень проверяется подстановкой. Теперь посмотрим, какие действия позволяют переходить к более удобной записи без потери корней."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает уравнение $2x+5=13$ и предлагает два варианта: "Первый ученик вычел 5 только из левой части и получил $2x=13$. Второй ученик вычел 5 из обеих частей и получил $2x=8$. Кто рассуждал верно? Объясните, почему одно действие сохраняет равенство, а другое — нет." | Сравнивают два преобразования, указывают ошибку первого ученика: "Изменена только одна часть равенства". Объясняют: "Чтобы равенство сохранилось, одинаковое действие выполняют с обеими частями". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Какую цель поставим? Какие знания нужны, чтобы решать уравнения коротко и без потери корней? Запишем общий вопрос урока: при каких преобразованиях уравнение заменяется равносильным?" | Формулируют цель: "Узнать свойства уравнений, понять смысл равносильности и применять свойства при решении". Записывают тему урока: «Свойства уравнений. Равносильные уравнения». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: нельзя произвольно менять части равенства. Сейчас выведем правила, которые гарантируют сохранение корней, а затем применим их к конкретным уравнениям."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определение равносильных уравнений и сформулировать два свойства уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель обращается к классу: "Рассмотрим уравнение $x+3=7$. Если из обеих частей вычесть 3, получим $x=4$. Корень остался тем же. Запишем первое свойство: если к обеим частям уравнения прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же выражение, то получим уравнение, равносильное данному. Равносильные уравнения — это уравнения, имеющие одно и то же множество корней." | Записывают определение и первое свойство. На примере проговаривают: "$x+3=7$ и $x=4$ равносильны, потому что оба имеют корень $4$". |
3 мин | Учитель записывает $3x=12$ и говорит: "Разделим обе части на 3. Получим $x=4$. Почему делитель должен быть ненулевым? Что произойдёт, если разделить на 0? Теперь сформулируем второе свойство." | Отвечают: "На ноль делить нельзя". Записывают: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, то получится равносильное уравнение. |
3 мин | Учитель показывает алгоритм: "Решая уравнение, переносим слагаемые, меняя знак, что является применением первого свойства, затем делим обе части на коэффициент при переменной, если он ненулевой. Каждый переход можно мысленно дополнить фразой «получаем равносильное уравнение»." Учитель разбирает $4x-7=9$: "Прибавляем 7: $4x=16$. Делим на 4: $x=4$. Проверяем: $4\cdot4-7=9$." | Записывают алгоритм, отмечают свойства около каждого шага и проговаривают: "Прибавили 7 к обеим частям; разделили обе части на 4". Проверяют корень подстановкой. |
Запись в тетрадях
Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одно и то же множество корней. 1. Если к обеим частям уравнения прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же выражение, получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, получится уравнение, равносильное данному. Алгоритм: раскрыть скобки и привести подобные слагаемые; перенести слагаемые с переменной в одну часть, числа — в другую; разделить на коэффициент при переменной; выполнить проверку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили два свойства и увидели, как они работают в решении. Теперь проверим понимание на коротких заданиях, где важно не только назвать ответ, но и указать использованное свойство."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить применение свойств в парной работе с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с заданиями и объясняет: "Выполните первое уравнение вместе: $5x+2=17$. Один ученик предлагает действие, второй проверяет, действительно ли оно выполнено с обеими частями. После каждого шага называйте свойство." | В парах решают: $5x+2=17$; $5x=15$; $x=3$. Проговаривают: "Вычли 2 из обеих частей; разделили обе части на 5". |
3 мин | Учитель предлагает выбор: "Выберите одно из двух уравнений: $7x-4=24$ или $3(x+2)=15$. Решите его в паре, а затем обменяйтесь листами с соседней парой. Проверяющий отмечает две сильные стороны и одно пожелание." | Выбирают уравнение, решают: в первом случае $x=4$; во втором $x=3$. Обмениваются решениями и записывают обратную связь по приёму «Две звезды и пожелание». |
2 мин | Учитель разбирает типичную ошибку на экране: $2x+6=14$, $2x=14-6$, $x=14-3$. Спрашивает: "На каком шаге нарушена логика? Как исправить запись?" | Находят ошибку: после деления на 2 нужно получить $x=4$, а не $14-3$. Объясняют правильную цепочку: $2x=8$, $x=4$. |
Эталон решения
Для уравнения $7x-4=24$: $7x=24+4$; $7x=28$; $x=4$. Проверка: $7\cdot4-4=28-4=24$, получено верное равенство. Для уравнения $3(x+2)=15$: $x+2=5$; $x=3$. Проверка: $3(3+2)=15$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы научились видеть за переносом слагаемого конкретное свойство. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли он выстроить решение и проверить корень без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и организовать самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет уровни: "Выполните обязательное задание. Если справились раньше, выберите повышенный или дополнительный уровень. Записывайте каждый переход отдельной строкой и не забывайте о проверке. Время — 5 минут." | Выбирают уровень с учётом собственной готовности, записывают условия и приступают к работе. |
5 мин | Учитель предлагает карточки: базовый уровень — решить $6x-5=19$ и $4x+9=25$; повышенный — решить $2(3x-1)=16$ и $5x-3=2x+12$; дополнительный — найти ошибку в решении $3x+8=20$, $3x=20+8$, $x=28/3$ и исправить её. Учитель наблюдает, задаёт уточняющие вопросы, не сообщает ответ сразу. | Индивидуально решают выбранные задания. Для базового уровня получают $x=4$ и $x=4$; для повышенного — $x=3$ и $x=5$; в дополнительном задании указывают, что при переносе 8 нужно получить $3x=12$, поэтому $x=4$. |
3 мин | Учитель открывает эталон: $6x-5=19\Rightarrow6x=24\Rightarrow x=4$; $4x+9=25\Rightarrow4x=16\Rightarrow x=4$. Говорит: "Сверьте не только ответ, но и каждый переход. Если нашли расхождение, обведите место ошибки и рядом запишите исправление." | Сверяют решения, подчёркивают верные шаги, исправляют ошибки другим цветом и отмечают результат в листе самооценки. |
Эталон решения
$2(3x-1)=16$; $6x-2=16$; $6x=18$; $x=3$. Проверка: $2(3\cdot3-1)=2\cdot8=16$. $5x-3=2x+12$; $5x-2x=12+3$; $3x=15$; $x=5$. Проверка: $5\cdot5-3=22$ и $2\cdot5+12=22$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без постоянной подсказки. Осталось связать свойства с более широким вопросом: почему проверка подтверждает именно сохранение множества корней, а не просто случайное совпадение ответа."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, проверить понимание смысла равносильности и оценить собственное продвижение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит мини-дискуссию: "Сравните утверждения. Первое: равносильные уравнения имеют одинаковые корни. Второе: любые два уравнения с одинаковым количеством корней равносильны. Какое утверждение верно? Приведите контрпример ко второму." | Выбирают первое утверждение и объясняют: "Количество корней само по себе не показывает, какие это корни". Приводят пример: уравнения $x=1$ и $x=2$ имеют по одному корню, но не равносильны. |
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Покажите цвет: зелёный — могу решить и объяснить; жёлтый — решаю, но путаюсь в обосновании; красный — нужна помощь. Затем закончите фразу: «Теперь я понимаю, что…»" | Показывают карточку цвета, письменно или устно завершают фразу: "равносильные уравнения имеют одинаковые корни" или "при делении нельзя использовать ноль". |
2 мин | Учитель раздаёт короткий билет на выход: "Ответьте на два вопроса: какое свойство используется при переносе слагаемого; почему делить обе части можно только на ненулевое число? Сдайте билет при выходе." | Заполняют билет: "Прибавление или вычитание одного и того же выражения из обеих частей"; "деление на ноль невозможно, а ненулевое деление сохраняет равенство". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились не просто решать уравнения, а обосновывать, почему преобразования сохраняют корни. На следующем уроке применим этот алгоритм к уравнениям со скобками, дробными коэффициентами и несколькими преобразованиями подряд."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно решены все задания выбранного уровня, каждый переход обоснован свойством уравнений, выполнена проверка и отсутствуют вычислительные ошибки.
- «4» — правильно решены основные уравнения, допущена одна несущественная вычислительная ошибка или пропущена одна проверка, но способ решения выбран верно.
- «3» — решено не менее одного обязательного уравнения, ученик понимает необходимость одинакового действия с обеими частями, но допускает ошибки в переносе или делении и нуждается в коррекции.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое равносильные уравнения? | Проверка осознания ключевого определения темы. |
Какое свойство используется при переносе слагаемого через знак равенства? | Выявление понимания связи между привычным алгоритмом и свойством уравнений. |
Почему нельзя делить обе части уравнения на ноль? | Проверка понимания существенного условия второго свойства. |
На каком шаге решения тебе сегодня потребовалась наибольшая помощь? | Выявление индивидуальных затруднений для планирования коррекционной работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что равносильные уравнения имеют одно и то же множество корней, и научились сохранять это множество при преобразованиях. Помните о типичной ошибке: нельзя менять только одну часть равенства и нельзя делить на ноль. Проверка подстановкой помогает убедиться, что итоговый корень найден верно. На следующем уроке мы продолжим применять свойства к более сложным уравнениям."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 линейных уравнения вида $ax+b=c$, применяя свойства уравнений, и выполнить проверку каждого найденного корня. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на перенос слагаемых, деление на коэффициент и запись проверки. |
Средний (повышающий) | Решить 3 уравнения со скобками и 2 уравнения, в которых переменная находится в обеих частях, подробно записывая равносильные преобразования. | Развивает последовательное применение двух свойств; проверить раскрытие скобок и сбор слагаемых с переменной. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два разных равносильных уравнения с корнем $x=4$, решить их и письменно объяснить, какие свойства использованы при переходе к ответу. | Формирует умение создавать математическую модель и аргументировать сохранение множества корней. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют равносильными уравнениями? Какое действие соответствует переносу слагаемого? При каком условии можно делить обе части уравнения? Как проверить найденный корень?»
