Разложение на множители с помощью формул сокращённого умножения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать разность квадратов, квадрат суммы и квадрат разности и применять соответствующие формулы для разложения многочленов на множители, самостоятельно выполнив не менее 4 из 5 заданий базового уровня.
- Сформировать умение переходить от многочлена к произведению двух или нескольких множителей с использованием формул $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ и $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.
- Развивать умение анализировать структуру выражения, выделять квадраты и удвоенное произведение, объяснять выбор формулы и проверять результат обратным раскрытием скобок.
- Формировать навыки сотрудничества: обсуждать решение в паре, аргументированно выбирать формулу и корректно оценивать решение одноклассника.
- Воспитывать ответственное отношение к математической записи, аккуратность преобразований и понимание практической ценности алгоритмов для решения задач и моделирования.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску более короткого способа преобразования алгебраического выражения.
- Осознают значение аккуратной записи и проверки результата для получения достоверного ответа.
- Принимают возможность выбора способа решения и уважительно относятся к обоснованным вариантам одноклассников.
- Оценивают собственную готовность применять формулы сокращённого умножения в новых ситуациях.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки выражения и классифицируют его по структуре формулы.
- Планируют последовательность преобразований, контролируют знаки и проводят самопроверку.
- Формулируют математическое объяснение выбора формулы и участвуют в обсуждении решений.
- Работают с таблицей-напоминанием и преобразуют символическую информацию в алгоритм действий.
Предметные
- Знать формулы разности квадратов, квадрата суммы и квадрата разности.
- Уметь распознавать в многочлене части $a^2$, $b^2$ и $2ab$.
- Уметь раскладывать на множители выражения вида $x^2-a^2$, $x^2+2ax+a^2$ и $x^2-2ax+a^2$.
- Уметь выполнять проверку разложения раскрытием скобок и находить типичные ошибки в знаках.
- Владеть алгоритмом выбора формулы сокращённого умножения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения преобразований как способа упрощать вычисления и решать практические задачи.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа проверки.
- Осознают ответственность за точность математического рассуждения.
- Формируют положительное отношение к преодолению затруднения через поиск закономерности.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют учебную цель: научиться раскладывать многочлены на множители по формулам.
- Составляют алгоритм действий и используют его при выполнении упражнений.
- Проверяют знаки, коэффициенты и результат обратным преобразованием.
- Оценивают работу по критериям и корректируют найденные ошибки.
Познавательные УУД
- Сравнивают структуру многочлена с левой частью формул сокращённого умножения.
- Выделяют общий признак, моделируют выражение через переменные $a$ и $b$.
- Классифицируют выражения на разность квадратов, квадрат суммы и квадрат разности.
- Находят ошибку в решении и объясняют, какое условие формулы нарушено.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и математический комментарий к своему решению.
- Обсуждают в паре выбор формулы и приводят доказательство.
- Слушают решение одноклассника и задают уточняющие вопросы.
- Договариваются о единой формулировке алгоритма и корректно дают обратную связь.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с тремя формулами: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$, $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика и по одной дополнительной карточке на каждую пару.
- Подготовить карточки для приёма «Найди пару»: на половине карточек записаны многочлены, на другой половине — соответствующие разложения.
- Разместить на доске памятку-алгоритм: определить вид выражения; найти $a$ и $b$; выбрать формулу; записать произведение; проверить раскрытием скобок.
- Подготовить слайд с проблемным выражением $x^2-16$ и слайд с ошибочным решением $x^2+6x+9=(x+3)(x-3)$.
- Распечатать лист самооценки и мини-билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить маркеры, магниты или стикеры трёх цветов для обозначения формул.
- Оборудование: доска или интерактивная доска, проектор, таймер, тетради, ручки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и вызвать интерес к поиску более удобного способа преобразования многочлена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не просто раскрывать скобки, а попробуем двигаться в обратную сторону. Это умение часто используют инженеры, программисты и специалисты, которым нужно быстро упрощать модели." | Проверяют готовность, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражение $x^2-16$ и говорит: "Представьте, что вам нужно упростить вычисление или найти значение выражения при известном $x$. Можно ли представить этот многочлен как произведение? Подумайте молча 30 секунд, затем обсудите идею с соседом. Приём называется "Подумай — обсуди в паре — поделись"." | Самостоятельно замечают, что $16=4^2$, обсуждают в парах и предлагают: "$x^2-16=x^2-4^2=(x-4)(x+4)$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже увидели, что знакомая формула может работать не только слева направо. Сегодня мы научимся узнавать её в многочлене и быстро выполнять обратное преобразование."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить формулы сокращённого умножения и признаки, по которым их можно распознать.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на доску три незавершённые записи: $(a+b)^2=...$, $(a-b)^2=...$, $(a-b)(a+b)=...$. Реплика: "Заполните пропуски устно, но каждый ответ объясняйте через действие раскрытия скобок. Мне важно не только услышать формулу, но и понять, почему в средней части появляется знак плюс или минус." | Восстанавливают формулы: "$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$", "$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$", "$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$". |
2 мин | Учитель предлагает устно вычислить и сравнить: $(x+5)^2$, $(x-5)^2$, $(x-5)(x+5)$. Говорит: "Обратите внимание на средний член и на то, какие слагаемые исчезают в третьем произведении." | Раскрывают скобки: "$x^2+10x+25$", "$x^2-10x+25$", "$x^2-25$"; формулируют: "В произведении сопряжённых скобок средние слагаемые взаимно уничтожаются". |
2 мин | Учитель организует быструю проверку «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если уверенно различаете три формулы, жёлтую — если путаете знаки, красную — если нужна помощь. Это не оценка, а сигнал для выбора темпа работы." | Показывают карточки и фиксируют в листе самооценки, какая формула вызывает затруднение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулы мы вспомнили. Теперь проверим, что происходит, когда выражение уже дано в раскрытом виде и нам нужно найти его скрытую структуру."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при выборе формулы и сформулировать учебную цель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает выражения $x^2-25$, $x^2+10x+25$, $x^2-10x+25$ и спрашивает: "Все три многочлена нужно разложить на множители. Что общего вы видите? Чем они отличаются? Как понять, какую формулу использовать, если скобок перед нами нет?" | Рассматривают выражения, выделяют квадраты и средние члены, предполагают: "В первом есть разность квадратов, во втором — квадрат суммы, в третьем — квадрат разности". |
2 мин | Учитель фиксирует ответы в виде кластера и говорит: "Сформулируйте цель урока одним предложением. Какой результат должен появиться в вашей тетради к концу занятия?" При необходимости уточняет: "Нам нужно не просто назвать формулу, а выполнить преобразование и проверить его." | Формулируют цель: "Научиться распознавать формулы в многочленах и раскладывать многочлены на множители". Записывают тему урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение состоит в распознавании структуры и контроле знаков. Составим алгоритм, который позволит действовать уверенно, а затем проверим его на разных выражениях."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: совместно вывести алгоритм разложения многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель обращается к классу: "Начнём с выражения $x^2-49$. Что можно назвать квадратами? Какое число является квадратом 49? Подставим в формулу разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Что получится?" Учитель подчёркивает на доске квадраты цветными маркерами. | Определяют $49=7^2$, проговаривают: "$x^2-49=x^2-7^2=(x-7)(x+7)$". Записывают признак: два квадрата соединены знаком минус. |
3 мин | Учитель записывает $x^2+12x+36$ и ведёт эвристическую беседу: "Первый и последний члены являются квадратами. Какое число нужно возвести в квадрат, чтобы получить 36? Чему равно $2\cdot x\cdot 6$? Совпадает ли средний член с $12x$? Какую формулу выбираем?" | Находят $36=6^2$, вычисляют $2\cdot x\cdot6=12x$, делают вывод: "$x^2+12x+36=(x+6)^2$". |
3 мин | Учитель записывает $4x^2-20x+25$ и говорит: "Теперь выражение выглядит сложнее. Представьте первый член как квадрат: $4x^2=(2x)^2$, последний — как $25=5^2$. Проверьте средний член по формуле квадрата разности. Не торопитесь: знак перед средним членом определяет знак в скобке." | Определяют $a=2x$, $b=5$, проверяют $2ab=20x$, выбирают квадрат разности и записывают: "$4x^2-20x+25=(2x-5)^2$". |
Запись в тетрадях
- $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ — разность квадратов.
- $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ — квадрат суммы.
- $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ — квадрат разности.
- Алгоритм: определить вид выражения; представить крайние члены квадратами; проверить средний член; выбрать формулу; записать разложение; выполнить проверку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не набор отдельных примеров, а общий алгоритм. Теперь применим его сначала вместе, затем вы будете выбирать формулу самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление. Приём «Найди пару» (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание формул и проговаривание каждого шага алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки для приёма «Найди пару»: на одних карточках записаны многочлены $y^2-81$, $z^2+8z+16$, $9m^2-12m+4$, на других — разложения $(y-9)(y+9)$, $(z+4)^2$, $(3m-2)^2$. Инструкция: "Найдите карточку-пару, но не просто соедините записи. Объясните партнёру, по какому признаку вы сделали выбор." | В парах сопоставляют выражения и разложения, проговаривают: "Это разность квадратов", "Это квадрат суммы", "Это квадрат разности". |
3 мин | Учитель предлагает разобрать у доски выражение $25p^2-30p+9$: "Назовите $a$ и $b$, проверьте средний член и только после этого запишите результат. Остальные выполняют в тетрадях и подают сигнал готовности." | Записывают $25p^2=(5p)^2$, $9=3^2$, проверяют $2\cdot5p\cdot3=30p$, получают $(5p-3)^2$. |
2 мин | Учитель показывает ошибочное решение $x^2+6x+9=(x+3)(x-3)$ и спрашивает: "Найдите ошибку. Какая формула применена неверно? Как записать ответ правильно?" | Находят ошибку в знаке и форме записи, отвечают: "Это квадрат суммы, поэтому $x^2+6x+9=(x+3)^2$". |
Эталон решения
Для выражения $25p^2-30p+9$: $25p^2=(5p)^2$, $9=3^2$, $2\cdot5p\cdot3=30p$. Средний член имеет знак минус, поэтому используется формула $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$. Ответ: $25p^2-30p+9=(5p-3)^2$. Проверка: $(5p-3)^2=25p^2-30p+9$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь вы умеете не только получать ответ, но и объяснять, почему именно эта формула подходит. Перейдём к самостоятельной работе: каждый выберет уровень и проверит собственную точность."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и обеспечить дифференциацию заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Базовый обязателен для всех, средний можно выбрать после него, продвинутый — по желанию. Перед началом прочитайте критерии: важны не только ответы, но и распознавание формулы, промежуточные записи и проверка." | Выбирают карточку, записывают номер варианта и готовят место для решения. |
6 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: разложить $a^2-36$, $b^2+14b+49$, $4c^2-20c+25$. Средний уровень: разложить $16x^2-40x+25$, $9y^2-64$, $25t^2+20t+4$. Продвинутый уровень: найти ошибку в записи $q^2-12q+36=(q-6)(q+6)$ и разложить $4r^2+12r+9$. Учитель напоминает: "Работайте тихо, но при затруднении отметьте место вопросительным знаком и продолжайте следующий пункт." | Индивидуально выполняют задания, под каждым примером кратко указывают вид формулы. Сильные ученики выполняют дополнительное задание. |
3 мин | Учитель выводит эталон на доску: $a^2-36=(a-6)(a+6)$; $b^2+14b+49=(b+7)^2$; $4c^2-20c+25=(2c-5)^2$. Затем говорит: "Проверьте каждую строку раскрытием скобок. Отметьте плюс за верный пункт и кружком ошибку, которую нужно исправить." | Сверяют решения, раскрывают скобки в одном выбранном примере, исправляют ошибки и заполняют лист самооценки. |
Эталон решения
$a^2-36=a^2-6^2=(a-6)(a+6)$. $b^2+14b+49=b^2+2\cdot b\cdot7+7^2=(b+7)^2$. $4c^2-20c+25=(2c)^2-2\cdot2c\cdot5+5^2=(2c-5)^2$. В ошибочном равенстве $q^2-12q+36=(q-6)(q+6)$ перепутана формула: правильный ответ $q^2-12q+36=(q-6)^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что главный контрольный вопрос звучит так: совпадает ли средний член с $2ab$ и соответствует ли ему знак? Используйте этот вопрос в итоговой рефлексии."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия, выявить оставшиеся затруднения и определить дальнейшую практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт мини-билет и говорит: "Ответьте письменно на два вопроса: какую формулу вы распознаёте быстрее всего; на каком шаге алгоритма чаще всего ошибаетесь? В третьей строке дополните: $x^2-18x+81=...$ и укажите, почему выбрали именно эту формулу." | Заполняют билет: "$x^2-18x+81=(x-9)^2$, потому что $81=9^2$ и $2\cdot x\cdot9=18x$"; называют личное затруднение. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Лист самооценки»: "Поставьте знак плюс рядом с утверждением, которое уже можете выполнить без подсказки: распознать разность квадратов; распознать квадрат суммы или разности; проверить разложение; объяснить ошибку." | Отмечают освоенные действия, формулируют один вопрос, который нужно уточнить. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и говорит: "Выберите уровень осознанно. Продвинутый вариант не является обязательным; его цель — проверить, сможете ли вы объяснить решение, а не только получить ответ." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились видеть формулы сокращённого умножения внутри многочлена и превращать его в произведение. Следующий шаг — использовать разложение на множители для решения уравнений и упрощения выражений."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания базового уровня или не менее пяти заданий базового и среднего уровней; правильно выбраны формулы, промежуточные записи сделаны аккуратно, выполнена хотя бы одна проверка раскрытием скобок.
- «4» — верно выполнены четыре задания, но допущена одна вычислительная или знаковая ошибка, исправленная при самопроверке; алгоритм в целом соблюдён.
- «3» — верно выполнены не менее трёх заданий базового уровня при наличии отдельных ошибок в выборе знака или записи множителей; ученик может исправить ошибку по эталону и объяснить один правильный пример.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как по виду многочлена определить, какую формулу сокращённого умножения нужно применить? | Проверка осознания признаков трёх формул и умения классифицировать выражение. |
На каком шаге алгоритма вы сегодня испытывали затруднение: поиск квадратов, проверка среднего члена или запись ответа? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Как проверить, что разложение на множители выполнено верно? | Проверка понимания обратного раскрытия скобок как способа самоконтроля. |
Какое задание вы выбрали бы для дополнительной тренировки и почему? | Оценка субъективной готовности и развитие навыка самоопределения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились распознавать три формулы сокращённого умножения в уже раскрытом многочлене и выполнять обратное преобразование. Самая частая ошибка — неверно определить знак среднего члена или забыть проверить равенство $2ab$. Если результат вызывает сомнение, раскройте скобки и сравните каждый член. На следующем уроке мы используем разложение на множители при решении уравнений и упрощении более сложных выражений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 выражений на разложение на множители: два примера на разность квадратов, два на квадрат суммы или разности и один смешанный пример; в каждом указать использованную формулу. | Закрепляет распознавание трёх формул; при проверке обратить внимание на знаки и представление крайних членов квадратами. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 выражения с коэффициентами перед переменной, например вида $16x^2-40x+25$, $9y^2-64$, и проверить любые два результата раскрытием скобок. | Формирует умение выделять квадрат двучлена и проводить обратную проверку; проверять соответствие среднего члена $2ab$. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два собственных многочлена, которые раскладываются по разным формулам сокращённого умножения, записать их разложения и кратко объяснить, как был выбран знак в скобках. | Развивает создание математической модели и осознанное объяснение выбора формулы; при проверке оценить корректность примеров и аргументации. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как распознать разность квадратов?», «Каким должен быть средний член квадрата суммы?», «Почему $x^2-10x+25=(x-5)^2$, а не $(x+5)^2$?», «Каким действием можно проверить любое разложение на множители?»
