Расстояние между точками координатной прямой
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться находить расстояние между двумя точками координатной прямой по их координатам, используя формулу $AB=|b-a|$, и применять её в не менее чем четырёх из пяти учебных ситуаций.
- Сформировать понимание расстояния между точками как длины отрезка на координатной прямой и вывести формулу через разность координат.
- Научить определять порядок расположения точек, находить модуль разности их координат и проверять разумность полученного ответа по рисунку.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, сравнивать способы решения, аргументировать выбор формулы и работать с математической информацией в паре.
- Воспитывать самостоятельность, аккуратность записи и готовность проверять результат другим способом.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность умения вычислять расстояние между координатными объектами для работы с картами, схемами, навигацией и цифровыми технологиями.
- Проявляют познавательный интерес к поиску общего правила вместо механического запоминания готовой формулы.
- Развивают ответственное отношение к точности вычислений и оформлению математического рассуждения.
- Получают опыт выбора уровня задания и оценки собственных затруднений без сравнения себя с одноклассниками.
Метапредметные
- Познавательные: извлекают данные из координатной прямой, устанавливают связь между длиной отрезка и разностью координат, формулируют обобщённое правило.
- Коммуникативные: обсуждают гипотезы в паре, задают уточняющие вопросы, приводят аргументы и корректно сравнивают решения.
- Регулятивные: принимают учебную цель, планируют последовательность действий, выполняют самопроверку по эталону и исправляют ошибки.
- Развивают математическую и читательскую грамотность при работе с координатной моделью и текстовыми задачами.
Предметные
- Знать смысл координаты точки и понятие расстояния между точками координатной прямой.
- Уметь находить расстояние между точками по рисунку и по их координатам.
- Уметь применять формулу $AB=|b-a|$ и объяснять необходимость модуля разности координат.
- Уметь решать обратные задачи на нахождение неизвестной координаты точки по заданному расстоянию.
- Владеть навыком проверки ответа с помощью изображения точек на координатной прямой.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к работе с координатной прямой и выбирают посильный вариант задания.
- Формируют смыслообразование через понимание применения координат в картах, навигаторах и компьютерной графике.
- Проявляют устойчивость при поиске ошибки и воспринимают затруднение как этап обучения.
- Соблюдают культуру математического диалога и уважительно относятся к иному способу рассуждения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель: вывести и применить правило нахождения расстояния между двумя точками.
- Планируют действия: определить координаты, найти разность, взять модуль, проверить ответ.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль по чек-листу и сопоставляют результат с эталоном.
- Выявляют причину ошибки: перепутан порядок вычитания, пропущен модуль или неверно считаны координаты.
Познавательные УУД
- Моделируют ситуацию на координатной прямой и переводят рисунок в математическую запись.
- Сравнивают расстояние между точками с разностью их координат в двух взаимно противоположных случаях.
- Выделяют существенный признак расстояния: оно не может быть отрицательным.
- Формулируют, обосновывают и применяют общее правило $AB=|b-a|$.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один строит модель, второй фиксирует вычисления, затем выполняют взаимную проверку.
- Формулируют полный ответ с математическим обоснованием, а не только называют число.
- Задают вопросы по условию и уточняют ход рассуждения партнёра.
- Согласуют общий вывод и корректно аргументируют, почему модуль необходим.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить координатную прямую на доске от $-8$ до $8$ с единичным отрезком и отметками $-1$, $0$, $1$.
- Подготовить презентацию или один экран с двумя координатными прямыми: точки $A(-3)$ и $B(5)$, затем точки $C(4)$ и $D(-2)$.
- Распечатать карточки для работы в парах — по одной карточке на парту, всего по числу парт; включить задания трёх уровней.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы — по одному на каждого ученика и два резервных экземпляра.
- Подготовить лист формирующего оценивания с чек-листом: «считал координаты», «нашёл разность», «взял модуль», «проверил ответ».
- Заранее записать на доске пустой алгоритм: 1) ..., 2) ..., 3) ..., 4) ...; формулу открыть после вывода учащихся.
- Подготовить стикеры зелёного, жёлтого и красного цветов для приёма «Светофор».
- Обеспечить наличие тетрадей, линеек, ручек, проектора или интерактивной доски; при отсутствии проектора использовать рисунок на доске.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобятся тетрадь, ручка и линейка. Расположите их удобно, чтобы вы могли быстро построить координатную прямую и записать вычисления. Работать будем не только по готовому правилу: сначала попробуем сами обнаружить закономерность." | Проверяют готовность рабочего места, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране схему прямой дороги, на которой начало координат обозначено точкой $0$, и говорит: "Представьте, что координаты показывают положение двух роботов на прямом участке маршрута. Первый находится в точке с координатой $-3$, второй — в точке с координатой $5$. Как узнать, сколько единичных отрезков им нужно пройти навстречу друг другу? Можно ли ответить отрицательным числом?" Учитель фиксирует варианты на доске, не сообщая формулу. | Высказывают предположения: "Нужно посчитать промежутки между точками"; "расстояние не может быть отрицательным"; предлагают вычисление $5-(-3)$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что положение точек задаётся числами, а расстояние должно выражаться неотрицательным числом. Сейчас проверим наши предположения на координатной прямой и найдём общее правило."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о координатной прямой, координате точки и модуле числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель чертит координатную прямую и обращается к классу: "Назовите основные элементы координатной прямой. Где находится начало отсчёта? Как выбирается положительное направление? Чему равна длина единичного отрезка?" Учитель отмечает на доске ответы и просит одного ученика показать направление стрелкой. | Отвечают: "Начало отсчёта — точка с координатой 0"; "положительное направление обычно направлено вправо"; "единичный отрезок принимается за единицу". Один ученик показывает стрелкой положительное направление. |
2 мин | Учитель показывает точки $A(-4)$, $B(2)$ и $C(0)$: "Прочитайте координаты точек. Какая точка расположена левее? Какая правее? На сколько единиц точка $B$ правее начала отсчёта?" | Называют координаты, сравнивают числа, отвечают: "$A$ левее $B$; точка $B$ находится на 2 единицы правее нуля". |
2 мин | Учитель предлагает вычислить устно: "$|-6|$, $|4|$, $|0|$, $|{-2}|$. Что показывает модуль числа на координатной прямой?" После ответов формулирует: "Модуль числа — это расстояние от точки с этой координатой до начала отсчёта." | Вычисляют: $6$, $4$, $0$, $2$; формулируют: "Модуль показывает расстояние от точки до нуля и не бывает отрицательным". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как читать координаты и что модуль связан с расстоянием до нуля. Но нам нужно научиться находить расстояние не только от точки до нуля, а между любыми двумя точками."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает ситуацию: "На доске отмечены точки $A(-3)$ и $B(5)$. Найдите расстояние между ними. Сначала решите в паре: 30 секунд подумайте самостоятельно, затем одну минуту обсудите способ и выберите обоснованный ответ. Не пользуйтесь пока готовой формулой." | Индивидуально рассматривают рисунок, затем обсуждают в парах. Считают единичные отрезки или предлагают $5-(-3)=8$. Формулируют ответ: "Расстояние равно 8 единицам". |
2 мин | Учитель показывает вторую ситуацию: точки $C(4)$ и $D(-2)$. Спрашивает: "Если записать $-2-4=-6$, может ли расстояние быть равным $-6$? Как изменить запись, чтобы получить правильный ответ? Сформулируйте, чему мы должны научиться сегодня." | Обнаруживают противоречие, отвечают: "Расстояние равно 6, поэтому нужно взять модуль разности". Формулируют цель: "Научиться находить расстояние между двумя точками по их координатам". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение появилось из-за того, что порядок вычитания может дать отрицательное число. Наша задача — вывести правило, которое будет работать при любом расположении точек и сразу учитывать неотрицательность расстояния."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести формулу расстояния между точками координатной прямой и составить алгоритм её применения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран координатную прямую с точками $A(-3)$ и $B(5)$: "Посмотрите на рисунок. Координаты точек равны $a=-3$ и $b=5$. Расстояние можно найти подсчётом единичных отрезков. Теперь выразим тот же результат через координаты: $5-(-3)=8$. Что произойдёт, если начать с координаты левой точки и вычесть координату правой?" | Пересчитывают промежутки, записывают $5-(-3)=8$. Предполагают: "$-3-5=-8$, это не расстояние, но его модуль равен 8". |
3 мин | Учитель показывает точки $C(4)$ и $D(-2)$: "Теперь левая точка имеет координату $-2$, правая — $4$. Запишем разность координат справа налево: $4-(-2)=6$. А если взять координату $D$ минус координату $C$, получим $-2-4=-6$. Как объединить два случая одной записью?" Учитель направляет к понятию модуля. | Выполняют оба вычисления, сравнивают результаты, формулируют: "Нужно взять модуль разности координат: $|4-(-2)|=6$". |
2 мин | Учитель записывает на доске формулу и проговаривает: "Если точки имеют координаты $a$ и $b$, то расстояние между ними равно модулю разности координат: $AB=|b-a|$. Порядок букв не важен, потому что $|b-a|=|a-b|$. Почему формула надёжна?" | Записывают формулу, объясняют: "Модуль делает результат неотрицательным; при перестановке точек знак разности меняется, но модуль сохраняется". |
2 мин | Учитель вместе с классом составляет алгоритм: "Первый шаг — выписать координаты. Второй — найти их разность. Третий — взять модуль. Четвёртый — записать единицу измерения и проверить результат по рисунку. Применим его к точкам $P(-7)$ и $Q(1)$." | Записывают алгоритм и решают: $PQ=|1-(-7)|=|8|=8$. Формулируют полный ответ: "Расстояние между точками $P$ и $Q$ равно 8 единицам". |
Запись в тетрадях
Записать определение: «Расстоянием между точками координатной прямой называют длину отрезка, соединяющего эти точки». Записать формулу: $AB=|b-a|$, где $a$ и $b$ — координаты точек $A$ и $B$. Алгоритм: 1) определить координаты точек; 2) найти их разность; 3) вычислить модуль разности; 4) проверить ответ по координатной прямой.
Эталон решения
Для точек $P(-7)$ и $Q(1)$: $PQ=|1-(-7)|=|1+7|=|8|=8$. Ответ: расстояние между точками равно 8 единицам.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели формулу $AB=|b-a|$ и поняли, зачем в ней нужен модуль. Теперь проверим новое правило на нескольких примерах, сначала проговаривая каждый шаг вслух."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить применение формулы через решение заданий в парах с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с заданиями: «Найдите расстояние между точками $A(-5)$ и $B(2)$; $C(6)$ и $D(1)$; $E(-3)$ и $F(-8)$. В каждой паре один ученик проговаривает шаги, второй записывает, затем поменяйтесь ролями. На работу — две минуты». | Решают в парах, проговаривают: «Координаты известны, считаем модуль разности». Получают $7$, $5$, $5$. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверяйте не только числа, но и наличие формулы, скобок и полного ответа. Если нашли ошибку, сначала поставьте вопрос: «На каком шаге возникло затруднение?" | Сверяют решения, отмечают сильную сторону и одно исправление. Объясняют ошибки: «Забыли скобки при вычитании отрицательного числа» или «не взяли модуль». |
2 мин | Учитель разбирает типичную ошибку на доске: $AB=-4-3=-7$. Спрашивает: "Что здесь сделано неверно? Как исправить запись?" Затем предлагает дополнительный выбор: "Кто готов, решите обратную задачу: точка $M$ имеет координату $-2$, расстояние до точки $N(3)$ равно 5. Проверьте, может ли быть другое положение точки $N$ при том же расстоянии." | Исправляют: $AB=|-4-3|=|-7|=7$. Сильные ученики рассуждают, что при фиксированной точке $M(-2)$ точки на расстоянии 5 имеют координаты $3$ и $-7$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формула работает и для точек по разные стороны от нуля, и для точек на одной стороне. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение формулы и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы и объясняет уровни: "Выполните обязательные задания 1–3. Затем выберите одно из заданий 4 или 5: обычное применение формулы или обратная задача. Работайте самостоятельно, все вычисления записывайте подробно. Время — шесть минут." | Читают инструкцию, выбирают дополнительное задание с учётом собственной готовности. |
6 мин | Учитель предлагает задания: «1) Найдите расстояние между $A(-4)$ и $B(3)$. 2) Найдите расстояние между $C(-6)$ и $D(-1)$. 3) На координатной прямой отмечены $P(2)$ и $Q(-5)$; найдите $PQ$. 4) Точка $K(-1)$, точка $L$ находится правее неё на расстоянии 6. Найдите координату $L$. 5) Придумайте две точки, расстояние между которыми равно 4, и объясните выбор». Наблюдает, при необходимости задаёт уточняющий вопрос, не сообщает готовое решение. | Самостоятельно решают задания. Получают в первых трёх заданиях соответственно $7$, $5$, $7$. В четвёртом получают координату $5$. В пятом приводят, например, $0$ и $4$ или $-2$ и $2$. |
3 мин | Учитель открывает на доске эталон и говорит: "Проверьте каждую строку по чек-листу. Поставьте плюс, если координаты выписаны верно, разность вычислена, модуль найден и ответ сформулирован. Ошибку не стирайте сразу: подчеркните место, где она появилась, и исправьте рядом." | Сверяют решения с эталоном, заполняют чек-лист, исправляют ошибки. Поднимают зелёную карточку при полном понимании, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если формула пока не применяется самостоятельно. |
Эталон решения
1) $AB=|3-(-4)|=|7|=7$. 2) $CD=|-1-(-6)|=|5|=5$. 3) $PQ=|-5-2|=|-7|=7$. 4) Точка $L$ правее точки $K(-1)$ на 6 единиц: $x_L=-1+6=5$. Проверка: $|5-(-1)|=6$. 5) Возможны любые две координаты, разность которых по модулю равна 4, например $|4-0|=4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, на каком шаге вы уже уверенно действуете, а где требуется внимание. Главное правило проверки — расстояние не может быть отрицательным, а вычисление должно соответствовать расположению точек. Осталось связать новое знание с реальными координатными моделями и подвести итог."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, осознать результат и определить дальнейшую учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает мини-кейс: "На прямой шкале координаты остановок электропоезда равны $-2$ и $4$. Между остановками нет промежуточных отметок. Каково расстояние между ними в условных единицах? Как изменится ответ, если поменять остановки местами?" | Записывают $|4-(-2)|=6$, отвечают: "Расстояние равно 6 единицам и не изменится, если поменять точки местами". |
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутная запись»: "За одну минуту закончите два предложения: «Сегодня я научился...» и «При нахождении расстояния особенно важно...» Затем обсудите ответ с соседом и назовите один полезный совет классу." | Пишут: «Я научился находить расстояние по формуле»; «важно взять модуль и правильно работать со скобками». Обсуждают ответы в парах, озвучивают советы. |
1 мин | Учитель просит заполнить «Светофор» и задаёт контрольный вопрос: "Почему запись $b-a$ сама по себе не всегда является расстоянием?" | Показывают цвет карточки, отвечают: "Разность может быть отрицательной, поэтому нужно взять её модуль". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы прошли путь от подсчёта единичных отрезков до общего правила $AB=|b-a|$. Вы научились не только подставлять числа, но и объяснять, почему формула работает. Дома закрепите алгоритм и выберите задание, которое поможет сделать следующий шаг."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены задания 1–3 и выбранное задание 4 или 5, корректно применена формула $AB=|b-a|$, раскрыты скобки при отрицательных координатах, записаны вычисления и полный ответ.
- «4» — выполнены верно не менее четырёх заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не нарушающая понимания алгоритма.
- «3» — верно выполнены обязательные задания 1–2 либо три задания с одной существенной ошибкой в применении модуля; решение содержит частичную запись алгоритма.
- Ниже базового уровня — ученик правильно считывает координаты хотя бы одной пары точек, но нуждается в помощи при вычислении разности или модуля.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о расстоянии между точками координатной прямой? | Выявление осознания определения и формулы. |
Почему в формуле используется модуль разности координат? | Проверка понимания неотрицательности расстояния и роли модуля. |
На каком шаге алгоритма вы сегодня ошиблись или почувствовали затруднение? | Выявление точек затруднения для коррекционной работы. |
Какое задание вы выбрали бы для дальнейшей тренировки: обычное или обратное? Почему? | Формирование самооценки и осознанного выбора уровня сложности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились находить расстояние между любыми двумя точками координатной прямой с помощью формулы $AB=|b-a|$. Мы убедились, что порядок точек может изменить знак разности, но модуль возвращает нам неотрицательное расстояние. Обращайте особое внимание на скобки при вычитании отрицательных чисел и всегда проверяйте ответ по рисунку. На следующем уроке мы продолжим работать с координатами и применим это правило в более сложных задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение расстояния между парами точек по их координатам: две пары точек по разные стороны от нуля и две пары на одной стороне. В каждой задаче записать формулу, вычисление и ответ. | Закрепить алгоритм $AB=|b-a|$; при проверке обратить внимание на правильное считывание координат, скобки и обязательный модуль. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи: найти неизвестную координату точки, если известна другая точка и расстояние; составить две пары точек с заданным расстоянием; решить текстовую задачу о расстоянии между двумя объектами на прямой шкале. | Развить умение применять формулу в обратном направлении и переносить математическую модель в жизненный контекст. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу, в которой координаты объектов могут быть положительными и отрицательными, а затем объяснить, почему перестановка точек не изменяет расстояние. Дополнительно исследовать все точки с целыми координатами, находящиеся на расстоянии 5 от точки с координатой $-2$. | Развить умение создавать математическую задачу, аргументировать решение и исследовать множество вариантов. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какова формула расстояния между точками с координатами $a$ и $b$? Почему результат не может быть отрицательным? Как найти расстояние между точками $-4$ и $3$? Как проверить полученный ответ без повторного вычисления?»
