Задачи на части и проценты
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться составлять математическую модель и решать не менее 4 из 5 практических задач на нахождение части, целого и процента, выполняя проверку полученного ответа.
- Закрепить алгоритмы решения задач на нахождение части от числа, числа по его части и процентного отношения двух величин.
- Развивать умение выделять условие, требование и связь между величинами, выбирать рациональный способ решения и аргументировать его.
- Формировать навыки самоконтроля: оценивать реалистичность ответа, находить и исправлять ошибки в вычислениях.
- Воспитывать ответственное отношение к математическим расчётам, связанным с покупками, бюджетом и планированием деятельности.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность процентов при принятии решений в бытовых и финансовых ситуациях.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа решения.
- Формируют ответственное отношение к точности вычислений и достоверности вывода.
- Оценивают собственный прогресс и спокойно воспринимают необходимость исправления ошибки.
Метапредметные
- Выделяют в текстовой задаче известные и неизвестные величины, представляют условие в виде краткой записи или схемы.
- Выбирают алгоритм решения, планируют последовательность действий и проверяют результат.
- Работают с информацией из таблицы и текста, переводят проценты в дробь и обратно.
- Обсуждают решение в паре, формулируют вопрос и аргументируют выбор математического действия.
Предметные
- Знают смысл понятий «часть», «целое», «процент», «процентное отношение».
- Умеют находить часть от числа, число по его части и процентное отношение двух чисел.
- Умеют составлять краткую запись и математическую модель задачи на части и проценты.
- Владеют навыком проверки ответа по смыслу условия и обратным действием.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную значимость умения рассчитывать скидки, расходы и доли.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать задание посильного и повышенного уровня.
- Осознают необходимость точности математической информации в повседневной жизни.
- Формируют положительное отношение к совместному поиску решения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и планируют действия по алгоритму.
- Контролируют единицы измерения, знак процента и соответствие ответа условию.
- Сверяют решение с эталоном, находят место ошибки и вносят исправления.
- Оценивают достижение цели по количеству верно решённых задач.
Познавательные УУД
- Классифицируют задачи по типу неизвестной величины.
- Строят схему «целое — часть — процент» и используют её при выборе действия.
- Преобразуют текстовую информацию в таблицу, выражение или уравнение.
- Сравнивают два способа решения и выбирают более рациональный.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: объясняющий и проверяющий.
- Задают уточняющие вопросы о выборе действия и формулировке ответа.
- Аргументируют решение, используя математические термины.
- Корректно принимают замечания и предлагают способ исправления ошибки.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Подготовить карточки с краткими условиями пяти задач для работы в парах — по одной на парту, всего 15 экземпляров.
- Подготовить листы самооценки и билеты на выход — по одному на каждого ученика.
- Вывести на доску схему «целое — часть — процент» и три алгоритма решения.
- Подготовить слайд с реальным контекстом: скидка 20% на товар стоимостью 1500 рублей.
- Подготовить эталон решения для взаимопроверки и цветные маркеры.
- Организовать таймер на 3 и 5 минут; обеспечить работу проектора или интерактивной доски.
- Разделить карточки по цветам: зелёные — базовый уровень, синие — повышенный, фиолетовые — дополнительный.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и показать применение процентов в повседневной ситуации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и калькулятора только как средства самопроверки, а не замены вычислений. Сегодня мы будем работать как консультанты, которым нужно проверить расчёты и принять обоснованное решение." | Проверяют готовность, записывают дату, открывают тетради. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "Товар стоил 1500 рублей, магазин объявил скидку 20%. Сколько заплатит покупатель? Подумайте самостоятельно, затем обсудите решение с соседом. Важно не только назвать число, но и объяснить, от чего находится процент." Учитель фиксирует два возможных способа на доске. | В течение 30 секунд обдумывают решение, затем обсуждают его в паре и формулируют ответ: "Скидка равна 300 рублям, цена после скидки — 1200 рублей". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что процент появляется в реальной ситуации и требует понимания связи между целым и частью. Теперь проверим, насколько уверенно мы владеем необходимыми способами расчёта."
Этап 2. Актуализация знаний и инструктаж по алгоритмам (6 мин)
Цель этапа: восстановить алгоритмы решения трёх основных типов задач и подготовить учащихся к практической работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает схему: "Посмотрите на доску: целое обозначим буквой $a$, часть — $b$, процент — $p\%$. Если нужно найти часть, умножаем целое на $p/100$. Если ищем целое по известной части, делим часть на $p/100$. Если сравниваем часть и целое, находим отношение $b/a$ и умножаем на 100%. Назовите, какой тип задачи соответствует каждому алгоритму." | Называют три типа: "Нахождение части от числа", "нахождение числа по его части", "нахождение процентного отношения"; записывают формулы в тетради. |
3 мин | Учитель организует приём "Светофор": "Покажите зелёную карточку, если алгоритм понятен, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если требуется объяснение. После этого решим короткий пример: 35% от 240. Проговорите каждое действие." | Показывают карточки, решают пример: $240\cdot0,35=84$, формулируют ответ: "35% от 240 равны 84". |
Запись в тетрадях
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
$p\% = p/100$. Часть от числа: $a\cdot p/100$. Число по его части: $b\div(p/100)$. Процентное отношение: $b/a\cdot100\%$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм зависит от того, какая величина неизвестна. На практикуме мы будем сначала определять тип задачи, затем выполнять вычисления и обязательно проверять ответ по смыслу."
Этап 3. Практическая работа в парах: разбор задач (10 мин)
Цель этапа: применить алгоритмы в реальных контекстах и научиться объяснять выбор математической модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки и объясняет приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала каждый самостоятельно определяет тип первой задачи. Затем сравните записи и договоритесь о едином решении. Один участник объясняет ход решения, второй проверяет вычисления и смысл ответа." | Читают условие первой задачи: "В школьной библиотеке 2400 книг, 18% из них — справочная литература. Сколько справочных книг?" Определяют тип задачи и записывают краткую модель. |
5 мин | Учитель наблюдает и задаёт вопросы: "Что является целым? Что означает 18%? Почему вы умножаете, а не делите? Как проверить результат?" При необходимости напоминает: "Процент переводим в десятичную дробь, затем сопоставляем ответ с общим количеством книг." | Решают задачу: $2400\cdot0,18=432$. Объясняют: "Справочных книг 432, это меньше общего количества, поэтому ответ реалистичен". |
3 мин | Учитель предлагает вторую задачу: "После скидки 15% рюкзак стал стоить 1700 рублей. Какова была его первоначальная цена? Запишите, какую часть первоначальной цены составляет новая цена." Две пары представляют разные способы. | Составляют модель: новая цена составляет $100\%-15\%=85\%$ первоначальной. Решают $1700\div0,85=2000$ и формулируют ответ: "Первоначальная цена — 2000 рублей". |
Эталон решения
В задаче о рюкзаке после скидки осталось $100\%-15\%=85\%$ цены. $85\%=0,85$. Первоначальная цена равна $1700:0,85=2000$ рублей. Проверка: $2000\cdot0,85=1700$ рублей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы определили целое и часть и увидели, что скидка меняет процент от первоначальной цены. Теперь каждый попробует решить задачи самостоятельно, выбрав подходящий уровень сложности."
Этап 4. Самостоятельная практическая работа с дифференциацией (12 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение решать задачи на части и проценты и выполнять самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: "Выберите зелёную карточку для закрепления базового алгоритма или синюю карточку для более сложной работы. Фиолетовая карточка — дополнительный вызов. Выбор уровня не влияет на вашу оценку, но должен быть осознанным." | Выбирают карточку и записывают её цвет в листе самооценки. |
7 мин | Учитель раздаёт задания. Зелёная карточка: 1) найти 24% от 350; 2) найти число, если 30% этого числа равны 72; 3) определить, сколько процентов составляет 45 от 180. Синяя карточка: задача о семейном бюджете: из 32000 рублей 12% направили на транспорт, 25% — на питание; найти расходы по каждой статье и оставшуюся сумму. Учитель напоминает: "Оформляйте решение, а не только ответ." | Решают выбранные задания, записывают формулы, вычисления и ответы с единицами измерения. |
4 мин | Учитель выводит эталон: $350\cdot0,24=84$; $72:0,3=240$; $45:180\cdot100\%=25\%$. Для бюджетной задачи показывает последовательность проверки. | Сверяют решения, отмечают совпадения зелёной отметкой, ошибку обводят и исправляют другим цветом. |
Эталон решения
Для задачи о бюджете: транспорт — $32000\cdot0,12=3840$ рублей; питание — $32000\cdot0,25=8000$ рублей; оставшаяся сумма — $32000-3840-8000=20160$ рублей. Проверка: $3840+8000+20160=32000$ рублей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы умеете применять формулы, но точность зависит от правильного определения целого. Сейчас разберём типичные ошибки и научимся их предупреждать."
Этап 5. Анализ ошибок и включение в систему знаний (6 мин)
Цель этапа: научить находить ошибку в решении и связывать разные типы задач с общей схемой «целое — часть — процент».
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает ошибочное решение: "В классе 28 учеников, 25% посещают кружок. Ученик записал $28:0,25=112$ и назвал это количеством участников. Найдите ошибку. Какой вопрос нужно задать себе перед вычислением?" | Анализируют решение и отвечают: "Нужно найти часть от целого, поэтому надо умножать: $28\cdot0,25=7$. Ошибка состоит в неверно выбранном действии". |
3 мин | Учитель предлагает приём "Толстые и тонкие вопросы": "Сформулируйте тонкий вопрос на воспроизведение алгоритма и толстый вопрос на объяснение выбора действия. Затем задайте их соседней паре." | Составляют вопросы: "Как найти 15% от числа?" и "Почему при нахождении первоначальной цены после скидки мы делим на оставшуюся долю?" Отвечают с опорой на схему. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы исправили главную ошибку — механический выбор действия без анализа условия. Осталось проверить, какой способ и уровень самостоятельности каждый из вас достиг."
Этап 6. Рефлексия и билет на выход (8 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, выявить затруднения и зафиксировать индивидуальный результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Отметьте, могу ли я определить целое и часть, выбрать формулу, решить задачу и проверить ответ. Напротив каждого пункта поставьте плюс, знак вопроса или отметку о необходимости помощи." | Заполняют лист самооценки, указывают конкретный этап, который требует повторения. |
3 мин | Учитель предлагает билет на выход: "Запишите решение: 40% числа равны 56. Чему равно число? Второй пункт — одной фразой объясните, как проверить ответ." | Решают $56:0,4=140$; записывают проверку $140\cdot0,4=56$ и формулируют ответ. |
2 мин | Учитель просит завершить фразу: "Сегодня я научился...", "Мне нужно потренировать..." и собирает билеты у выхода. | Заполняют две фразы, сдают билет на выход, называют один полезный приём урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не просто вычисляли проценты, а анализировали ситуацию, выбирали модель и проверяли результат. По билетам на выход я определю, какие типы задач нужно повторить в начале следующего урока."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все три задания базовой карточки или не менее двух заданий повышенной карточки; правильно определён тип каждой задачи, записаны вычисления и выполнена проверка.
- «4» — верно решены два задания базовой карточки или одно повышенное задание; допущена одна вычислительная ошибка, не нарушившая понимание алгоритма.
- «3» — верно решено одно задание базовой карточки; ученик понимает связь между целым и частью, но нуждается в помощи при выборе действия или оформлении проверки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как определить, что является целым, а что частью в задаче? | Проверка понимания математической модели. |
Какое действие вы выбирали чаще всего и почему? | Выявление осознанности выбора алгоритма. |
На каком шаге возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в решении и вычислениях. |
Какой способ проверки ответа оказался полезным? | Оценка сформированности навыка самоконтроля. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы закрепили три основных типа задач на части и проценты: нахождение части от числа, числа по его части и процентного отношения. Самая частая ошибка — выбрать действие, не определив, какая величина является целым. Проверяйте ответ обратным действием и оценивайте, реалистичен ли он. На следующем уроке мы применим эти умения к более сложным задачам с изменением величины на несколько процентов."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на нахождение части от числа и две на нахождение числа по его проценту; оформить краткую запись, решение и проверку. | Закрепляет распознавание типа задачи и применение базовых формул; при проверке смотреть на выбор действия и запись ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи на скидку, расходы семейного бюджета и процентное отношение двух величин; к каждой задаче составить краткую математическую модель. | Развивает функциональную и финансовую грамотность; при проверке оценивать самостоятельность модели и реалистичность результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу на части или проценты с реальным контекстом, а затем изменить одно условие и объяснить, как изменится решение. | Формирует умение создавать математическую задачу, анализировать зависимость величин и аргументировать вывод. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как найти часть от числа?», «Как найти число по известной процентной части?», «Как проверить ответ в задаче на проценты?»
