Уравнение и его корни
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие уравнения, корня уравнения и линейного уравнения через решение практических задач и анализ математических моделей.
- Образовательная задача: Познакомить учащихся с определениями уравнения и корня, научить проверять, является ли число корнем, и решать простейшие линейные уравнения.
- Развивающая задача: Развивать навыки математической речи, логическое мышление и умение переводить условия текстовых задач на язык алгебры.
- Воспитательная задача: Воспитывать интерес к истории математики и культуру работы в парах.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению на основе исторического опыта развития математики.
- Развитие критичности мышления при анализе верности числовых равенств.
- Осознание важности математических моделей для решения реальных жизненных задач.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенные признаки понятий, работать с текстом учебника, строить логические цепочки рассуждений.
- Регулятивные: умение ставить учебную задачу, осуществлять самоконтроль и коррекцию своих действий при проверке корней.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию, слушать собеседника и вести диалог в паре.
Предметные
- Знать определения уравнения, корня уравнения, линейного уравнения.
- Уметь определять левую и правую части уравнения, его члены.
- Уметь доказывать, является ли данное число корнем уравнения, методом подстановки.
- Владеть навыком составления уравнений по условию текстовой задачи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между целью изучения уравнений и их применением в будущей профессии.
Регулятивные УУД
- Планирование пути достижения цели: постановка этапов решения уравнения.
Познавательные УУД
- Моделирование: преобразование условий задачи в буквенную символику.
Коммуникативные УУД
- Управление поведением партнёра: контроль и оценка действий напарника при работе в паре.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для работы в парах (Задание №75 со стр. 44) — 15 шт.
- Подготовить презентацию со слайдами: портрет Мухаммеда ал-Хорезми, цитата о Пифагоре, схема структуры уравнения.
- Заранее выписать на доске задачу №1 про конверт и открытку со страницы 42 учебника.
- Подготовить листы самооценки для этапа рефлексии.
- Убедиться в наличии учебника «Алгебра 7 класс» (авторы по источнику) у каждого ученика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (5 мин)
Цель этапа: психологически подготовить учащихся, создать интригу через исторический контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Здравствуйте, ребята! Сегодня мы начинаем изучение одной из самых важных глав алгебры. Посмотрите на экран. Перед вами портрет великого учёного IX века Мухаммеда ал-Хорезми. Именно его трактат "Китаб ал-джабр ва-л-мукабала" дал название нашей науке. Слово "ал-джабр" превратилось в "алгебру". Как вы думаете, что он называл искусством решать задачи?» Учитель подводит к теме уравнений. | Слушают учителя, смотрят на слайд. Высказывают предположения: «Наверное, это способы решения примеров», «Это работа с буквами». |
3 мин | «Верно. Ал-Хорезми писал, что алгебра — это искусство решать уравнения. Но ещё раньше, в Древней Греции, Пифагор задавал своим ученикам загадки. Посмотрите на страницу 41 учебника. Там приведена легенда о том, как Пифагор ответил на вопрос о количестве своих учеников. Попробуйте дома на досуге решить её арифметически, а сегодня мы научимся делать это с помощью математических моделей — уравнений». | Открывают учебник на стр. 41, бегло читают легенду о Пифагоре. Записывают тему урока в тетрадь: «Уравнение и его корни». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, уравнения сопровождают человечество тысячи лет. Чтобы овладеть этим искусством, нам нужно вспомнить базовые правила работы с числами».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить понятие верного числового равенства и подготовить почву для введения неизвестного.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте выполним небольшую разминку. Посмотрите на задание №1 на странице 44. Вместо знака * нужно вставить такое число, чтобы равенство стало верным. Разберем пункты 1, 3 и 6. Кто готов прокомментировать первый пункт: 17 + * = 25?» | Ученики устно решают: «В первом пункте нужно вставить 8, так как 17 + 8 = 25. В третьем пункте: 48 делить на -16 равно -3. В шестом: -3 умножить на 1/3 равно -1, значит нужно число -27». |
2 мин | «Молодцы. А теперь представьте, что вместо звездочки мы поставим латинскую букву x. Что у нас получится? Мы получим равенство, содержащее неизвестное число. Именно это мы и будем называть уравнением». | Слушают учителя, осознают переход от арифметического действия к алгебраическому понятию. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как находить неизвестные компоненты. Теперь давайте дадим строгое научное определение тому, с чем мы работаем».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести строгие определения уравнения, корня и линейного уравнения, используя математический язык.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Обратимся к задаче №1 на странице 42. Конверт с открыткой стоит 65 р. Конверт дешевле открытки на 35 р. Нам нужно найти стоимость открытки. Давайте обозначим стоимость открытки через x. Как тогда записать стоимость конверта? Составьте равенство». Учитель записывает на доске: x + (x - 35) = 65. | Один ученик у доски, остальные в тетрадях: «Если открытка x, то конверт x - 35. Вместе они стоят x + (x - 35) = 65». Ученики упрощают выражение: 2x - 35 = 65, находят x = 50. |
4 мин | «Теперь внимание на экран и учебник (стр. 42). Прочитаем определение. Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Обратите внимание на терминологию: выражение слева от знака равенства — левая часть, справа — правая часть. В нашем уравнении 2x - 35 = 65, что является левой частью? Какие члены уравнения вы видите?» | Читают определение вслух. Отвечают: «Левая часть — это 2x - 35, правая — 65. Члены уравнения: 2x, -35 и 65». |
4 мин | «Переходим к самому важному. Мы нашли, что x = 50. Если мы подставим 50 вместо x, уравнение превратится в верное числовое равенство: 65 = 65. Такое число называется корнем. Прочитайте определение на стр. 43. Всегда ли у уравнения один корень? Посмотрите на примеры в учебнике: x * x = 25 имеет два корня, а x + 5 = x + 3 — ни одного. Что значит "решить уравнение"?» | Читают определение корня. Записывают в тетрадь: «Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что их нет». Обсуждают примеры уравнений с разным количеством корней. |
Запись в тетрадях
- Уравнение — равенство с неизвестной буквой.
- Корень — значение буквы, превращающее уравнение в верное равенство.
- Линейное уравнение: ax = b, где a и b — числа.
- Пример: 3x = 1 (линейное), x² = 25 (не линейное).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вооружились теорией и математическим языком. Теперь проверим, как эти правила работают на практике».
Этап 4. Первичное закрепление и работа в парах (8 мин)
Цель этапа: отработать навык проверки корней уравнения через взаимопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Работаем в парах. Перед вами карточки с заданием №75 (стр. 44). Вам даны числа 3 и -2. Нужно выяснить, какое из них является корнем для четырех предложенных уравнений. Распределите роли: один проверяет число 3, другой — число -2, затем сравните результаты и докажите друг другу свою правоту». | Распределяют задачи в паре. Начинают вычисления в тетрадях. |
6 мин | Учитель проходит по рядам, контролирует использование математического языка («подставим значение в левую часть», «получим числовое равенство»). «Давайте проверим пункт 4: 5x + 10 = 2x + 4. Кто из вашей пары нашел верный ответ?» | Обсуждают в парах. Для пункта 4 отвечают: «При x = -2 получаем: 5*(-2)+10 = 0 в левой части, и 2*(-2)+4 = 0 в правой. 0 = 0 — верно. Значит, -2 является корнем. Число 3 не подходит, так как 25 не равно 10». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы отлично справились с командной работой. Теперь пришло время индивидуальных испытаний разной сложности».
Этап 5. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: закрепить материал на заданиях разного уровня сложности, учитывая индивидуальные особенности учеников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «Ребята, выберите свой уровень сложности.
Уровень А (базовый): №76 (устно проговорить решение) и №78 (составить уравнение по корню).
Уровень Б (средний): №82 (1, 2) — уравнения, где корней может быть несколько.
Уровень В (повышенный): №83 (1, 4) — уравнения с модулем.
Приступайте, через 8 минут мы сверимся с эталоном на доске». | Ученики выбирают уровень и самостоятельно решают задачи в тетрадях. Ученики уровня В анализируют свойства модуля. |
2 мин | Учитель открывает на доске скрытую часть с ответами. «Сверьте свои результаты. Если есть ошибки — не стирайте, а зачеркните и рядом напишите верное решение. Кто решил уровень В без ошибок?» | Сверяют ответы. Поднимают руки те, кто справился с выбранным уровнем. Задают вопросы по сложным моментам (например, почему в №82 два корня). |
Эталон решения (Уровень В)
№83 (4): |x - 1| = 2.
1) x - 1 = 2 => x = 3;
2) x - 1 = -2 => x = -1.
Ответ: 3; -1.
1) x - 1 = 2 => x = 3;
2) x - 1 = -2 => x = -1.
Ответ: 3; -1.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы увидели, что уравнения могут быть очень разными — от простых линейных до уравнений с модулем и квадратом».
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить изученное и дать инструкции по выполнению домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вернемся к нашим вопросам со страницы 44. Что мы называем корнем уравнения? Что значит решить уравнение? И последний вопрос для знатоков истории: как Диофант обозначал неизвестное число? Ответ вы найдете в рубрике "Диалог об истории" на стр. 45». | Отвечают на вопросы, используя терминологию. Находят в учебнике информацию про греческую букву «сигма концевая». |
2 мин | «Запишите домашнее задание. Оно также разделено по уровням. Обратите внимание на творческое задание — оно связано с историей математики». | Записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно выполнены задания выбранного уровня (А, Б или В), при проверке корней использована правильная запись, нет логических ошибок.
- «4» — Выполнено более 75% работы, допущены 1-2 вычислительные ошибки при верном алгоритме подстановки.
- «3» — Выполнен только базовый уровень А, есть затруднения в формулировке определений и оформлении решения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое определение сегодня было самым трудным для понимания? | Выявление пробелов в усвоении математического языка. |
Сможете ли вы объяснить товарищу, как проверить, является ли число корнем? | Оценка уровня владения алгоритмом проверки. |
Что нового вы узнали об истории слова «алгебра»? | Проверка усвоения межпредметных связей. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы сделали первый шаг в большой мир уравнений. Мы узнали, что уравнение — это не просто пример с буквой, а мощный инструмент, который люди оттачивали веками — от Пифагора до наших дней. Помните, что корень — это то, что держит всё равенство в равновесии. На следующем уроке мы научимся не просто проверять корни, а добывать их с помощью специальных свойств. Спасибо за работу!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | § 6 (читать), №74, №77 | Записать утверждения в виде равенств и проверить корни методом подстановки. |
Средний (повышающий) | №79, №81 | Подобрать коэффициент 'a' так, чтобы число стало корнем; работа с процентами. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовательская работа №2 или №4 (стр. 40) | Подготовить краткое сообщение (5-7 предложений) об истории становления алгебры или о Ф. Виете. |
Контрольный вопрос перед выходом: «Если при подстановке числа в уравнение получилось 5 = 7, является ли это число корнем?»