Умножение одночленов
Цели и задачи
- Цель: научиться выполнять умножение одночленов и возведение их в натуральную степень, приводя результат к стандартному виду.
- Образовательная задача: вывести алгоритм умножения одночленов на основе переместительного и сочетательного законов умножения и свойств степеней.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление через анализ структуры алгебраических выражений и установление межпредметных связей с геометрией.
- Воспитательная задача: формировать навыки продуктивного сотрудничества при работе в парах и группах, воспитывать ответственность за результат общего дела.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению, готовности к саморазвитию.
- Развитие критичности мышления, умения распознавать логически некорректные высказывания.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
Метапредметные
- Познавательные: умение выбирать наиболее эффективные способы решения задач, структурировать знания.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определение стандартного вида одночлена и правила действий со степенями.
- Уметь умножать одночлены и возводить одночлен в натуральную степень.
- Уметь применять алгоритм умножения для решения текстовых задач с геометрическим содержанием.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом.
- Оценивание усваиваемого содержания исходя из социальных и личностных ценностей.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Поиск и выделение необходимой информации из учебника.
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с основными свойствами степеней и алгоритмом умножения.
- Распечатать карточки для групповой работы (3 уровня сложности: базовый, средний, продвинутый) — по 5 шт. каждого уровня.
- Подготовить листы самооценки для каждого ученика.
- Открыть учебник на странице 86 (параграф 12).
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой на урок, мотивировать учащихся через практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, ребята! Рад вас видеть. Сегодня мы продолжаем погружение в мир алгебры. Скажите, кто из вас планирует стать инженером, архитектором или программистом? В этих профессиях постоянно нужно рассчитывать объемы, площади и масштабировать объекты. Сегодня мы узнаем, как математически описать изменение объема здания, если все его параметры изменятся в несколько раз. Для этого нам понадобится новая операция — умножение одночленов. Проверьте, лежат ли у вас на столах учебники, тетради и ручки. Начнем!» | Ученики приветствуют учителя, проверяют готовность рабочих мест. Поднимают руки те, кто интересуется техническими профессиями. Настраиваются на работу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, все готовы. Чтобы строить новое, нужно крепкое основание — наши знания о степенях. Проверим их!»
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить свойства степеней и понятие стандартного вида одночлена, необходимые для изучения новой темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Давайте вспомним свойства степеней. Я называю начало правила, а вы хором — результат. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели... При возведении степени в степень показатели... При возведении произведения в степень... Отлично! Теперь посмотрите на экран (слайд с №209 из учебника). Назовите одночлены стандартного вида из предложенного списка.» | Ученики отвечают хором: «Складываются!», «Перемножаются!», «Каждый множитель возводится в эту степень!». Затем по списку называют: «10, 2a^2b^2c, -7,3ab^2c, 3ab, 3aabc (нет, это не стандартный)». |
3 мин | «Теперь выполним устное упражнение №1 со страницы 87. Запишите в виде степени выражения: 1) m^4 * m^5; 2) a^8 * a; 3) x * x^10. Кто готов ответить?» | Ученики устно называют ответы: «1) m^9; 2) a^9; 3) x^11». Один ученик комментирует: «Мы сложили показатели, помня, что у 'a' и 'x' показатель равен 1». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Фундамент готов. Теперь переходим к задаче, которая потребует от нас умения перемножать сразу несколько одночленов.»
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (8 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: на основе геометрической задачи вывести алгоритм умножения одночленов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Откройте учебник на странице 86. Разберем задачу о параллелепипеде. Его объем V = abc. Что произойдет, если длину увеличить в 5 раз, ширину в 2n раз, а высоту в 3n раз? Учитель записывает на доске: V1 = (5a) * (2nb) * (3nc). Как нам упростить это выражение? Какие законы умножения мы можем применить?» | Ученики анализируют текст: «Нужно перемножить коэффициенты и буквы». Предлагают: «Можно применить переместительный и сочетательный законы — сгруппировать числа с числами, а буквы с буквами». |
4 мин | «Верно! Учитель записывает решение: (5 * 2 * 3) * (a * n * b * n * c) = 30n^2abc. Посмотрите на пример ниже: (3a^2b^3c) * (4ab^2). Какой здесь будет алгоритм? Сформулируйте его по шагам. Что мы делаем сначала, что потом?» | Ученики формулируют алгоритм: «1. Перемножить числовые коэффициенты. 2. Перемножить степени с одинаковыми основаниями. 3. Записать остальные буквенные множители». Записывают пример в тетрадь. |
Запись в тетрадях
Алгоритм умножения одночленов:
1. Перемножить коэффициенты.
2. Найти произведение степеней с одинаковыми основаниями (показатели сложить).
3. Записать в результат все остальные буквенные множители.
1. Перемножить коэффициенты.
2. Найти произведение степеней с одинаковыми основаниями (показатели сложить).
3. Записать в результат все остальные буквенные множители.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели правило. Но одночлены можно не только умножать, но и возводить в степень. Посмотрите на пример (5a^3b^2c)^2 на стр. 86. Здесь работает свойство возведения произведения в степень.»
Этап 4. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение алгоритма на простых примерах из учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Работаем с номером 213 (1, 2) и 216 (1, 2) фронтально у доски. Вызываю двоих желающих. Остальные работают в тетрадях. Помните про знаки при умножении отрицательных чисел!» | Двое учеников у доски решают: 213: 1) (2p)(-3c^2) = -6pc^2; 2) (-5m^2)(-7n) = 35m^2n. 216: 1) (2a)^3 = 8a^3; 2) (5b)^2 = 25b^2. Класс сверяет решение. |
3 мин | «Теперь работа в парах. Выполните номер 214 (1). Обсудите с соседом, какой коэффициент получится и какие показатели будут у букв 'a' и 'b'.» | Ученики в парах обсуждают решение примера (3a^2b^5c)(6a^3bc^2). Записывают: 18a^5b^6c^3. Проверяют друг друга. |
Эталон решения №214 (1)
(3a^2b^5c) \cdot (6a^3bc^2) = (3 \cdot 6) \cdot (a^2 \cdot a^3) \cdot (b^5 \cdot b^1) \cdot (c^1 \cdot c^2) = 18a^5b^6c^3
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, что с простыми примерами вы справляетесь. Пришло время для командной работы над более сложными проектами!»
Этап 5. Групповая работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: закрепить навыки в условиях группового взаимодействия, обеспечив индивидуальный подход через разные уровни сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Разделимся на группы по 4 человека. Каждая группа получает карточку с заданием. Группа 'Конструкторы' (базовый уровень): №214 (3, 4) — умножение с дробями. Группа 'Инженеры' (средний уровень): №220 (1, 2) — комбинация степени и умножения. Группа 'Аналитики' (продвинутый уровень): №226 (1, 2) — нахождение показателя степени 'n'. Распределите роли: капитан, оформитель, контролер, докладчик.» | Ученики быстро объединяются в группы, распределяют роли. Капитаны забирают карточки у учителя. |
8 мин | Учитель курсирует между группами, дает наводящие вопросы. «Аналитики, обратите внимание: 32 — это какая степень двойки? Инженеры, сначала возводим в степень, потом умножаем — соблюдайте порядок действий!» | Группы решают задания на листах А4. Обсуждают, спорят, приходят к единому мнению. Контролеры проверяют правильность по алгоритму. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Время вышло. Прошу докладчиков вывесить работы на доску. Мы видим, что даже сложные задачи решаемы, если следовать правилам.»
Этап 6. Включение в систему знаний и межпредметные связи (7 мин)
Цель этапа: показать применение темы в геометрии и проверить уровень усвоения через самостоятельную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Решим задачу №222 (1) устно. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 1/5 a и 10b. Как связаны алгебра и геометрия в этой задаче?» | Ученики отвечают: «Площадь — это произведение сторон. S = 1/5 a * 10b = 2ab. Алгебра помогает нам записать формулу площади для любых значений сторон». |
3 мин | «Мини-тест на самопроверку. На экране два примера. Решите их самостоятельно и сравните с эталоном. 1) (-2xy^2)^3 2) (3a^2) * (-4a^3b)» | Ученики решают в тетрадях: 1) -8x^3y^6; 2) -12a^5b. Затем сверяют с ответами на слайде, ставят себе '+' или '-'. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь вы видите, что одночлены — это не просто буквы, а инструменты для решения реальных задач.»
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, оценить свою деятельность и получить дифференцированное задание на дом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Наш урок подходит к концу. Заполните листы самооценки: что было легко, а где возникли трудности? Запишите домашнее задание. Обратите внимание, что вы можете выбрать уровень сложности самостоятельно. Если вы сегодня чувствовали себя уверенно — берите средний или продвинутый.» | Ученики заполняют листы самооценки, анализируют свои ошибки. Записывают ДЗ в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания в группе, ученик активно участвовал в обсуждении, самостоятельная работа выполнена без ошибок.
- «4» — допущена 1 ошибка в знаке или показателе степени, ученик принимал участие в работе группы.
- «3» — верно выполнены только базовые примеры на умножение, допущены ошибки при возведении в степень или работе с дробями.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое правило из свойств степеней сегодня пригодилось чаще всего? | Осознание связи между старым и новым материалом. |
В чем была главная сложность при умножении одночленов с дробями? | Выявление пробелов в вычислительных навыках. |
Где в жизни может пригодиться умение масштабировать объемы? | Связь с практикой и профориентация. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы сделали важный шаг в изучении алгебры — научились умножать одночлены. Это умение станет базой для работы с многочленами, которую мы начнем совсем скоро. Самая частая ошибка сегодня была связана со знаками и забытыми показателями '1' у букв без степени. Будьте внимательны при выполнении домашнего задания. Спасибо за активную работу, особенно группе 'Аналитиков' за смелость! До встречи на следующем уроке!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | №213 (3, 4), №216 (3, 4) | Отработка основных навыков умножения и возведения в степень целых одночленов. |
Средний (повышающий) | №219 (1, 2), №222 (2) | Задания на комбинацию действий и геометрическая задача на площадь. |
Продвинутый (дополнительный) | №226 (3, 4, 5) | Логические задачи на нахождение неизвестного показателя степени. |
Контрольный вопрос: «Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 3a раз?»