Умножение многочлена на одночлен
Цели и задачи
- Цель: научиться выполнять умножение многочлена на одночлен на основе распределительного закона умножения и применять этот навык для упрощения выражений и решения уравнений.
- Образовательная задача: сформулировать алгоритм умножения многочлена на одночлен и закрепить его при решении типовых упражнений из учебника.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление и навыки математического моделирования через анализ геометрических задач и математических фокусов.
- Воспитательная задача: формировать культуру учебного сотрудничества при работе в парах и ответственность за результат при выполнении самостоятельных заданий.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Способность определять цели обучения, ставить и формулировать для себя новые задачи.
- Умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать алгоритм умножения многочлена на одночлен.
- Уметь выполнять преобразование произведения многочлена и одночлена в многочлен стандартного вида.
- Уметь решать линейные уравнения, содержащие операцию умножения многочлена на одночлен.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие познавательных интересов и учебных мотивов.
Регулятивные УУД
- Проектирование маршрута преодоления затруднений в обучении через самоконтроль.
- Оценка правильности выполнения учебной задачи, собственных возможностей её решения.
Познавательные УУД
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач.
- Давать определение понятиям, структурировать знания.
Коммуникативные УУД
- Умение работать в паре — устанавливать рабочие отношения, эффективно сотрудничать.
- Отображать в речи содержание совершаемых действий.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображением дома-параллелепипеда (рис. 8 из учебника, стр. 101).
- Распечатать карточки для работы в парах с дифференцированными заданиями (упр. 258, 259) — 15 экземпляров.
- Подготовить листы самооценки для каждого ученика.
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
- Выписать на доску ключевые термины: распределительный закон, одночлен, многочлен, стандартный вид.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и заинтересовать учеников через математический фокус.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята! Присаживайтесь. Сегодня мы продолжаем исследовать мир многочленов. Но начнем мы с необычного вопроса. Любите ли вы фокусы?» Учитель проверяет наличие учебников и тетрадей на столах. | Приветствуют учителя, организуют рабочее место, настраиваются на работу. |
2 мин | «На странице 100 вашего учебника описан фокус профессора. Задумайте трехзначное число, найдите сумму его цифр и отнимите её от задуманного числа. Зачеркните одну любую цифру в результате и скажите мне две оставшиеся. Я угадаю зачеркнутую! В основе этого фокуса лежит работа с многочленами. Сегодня мы узнаем, как умножение помогает раскрывать такие секреты». | Слушают учителя, просматривают текст на стр. 100. Несколько учеников пробуют выполнить действия в уме или на черновике. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Математика — это не только сухие цифры, но и логика, скрытая за простыми действиями. Чтобы понимать такие фокусы, нам нужно в совершенстве владеть инструментами преобразования выражений».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить правила работы с одночленами и распределительный закон.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вспомним базу. Посмотрите на доску. Выполним устно Вводное упражнение №1 со страницы 102. Как записать в виде одночлена стандартного вида выражение \( 5a^2 \cdot 6a^3b \)? А второе: \( -0,8x^2y \cdot 5xy^4 \)?» | Отвечают с места: «Первое будет \( 30a^5b \), так как показатели степеней с одинаковыми основаниями складываются». «Второе будет \( -4x^3y^5 \)». |
2 мин | «Молодцы. А теперь вспомните распределительный закон умножения относительно сложения. Как умножить число на сумму? Запишите формулу буквами в тетрадях». | Записывают в тетрадях: \( a(b + c) = ab + ac \). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как работают одночлены и распределительный закон. Теперь объединим эти знания, чтобы научиться умножать многочлен на одночлен».
Этап 3. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм умножения многочлена на одночлен через геометрическую задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Откройте учебник на странице 101. Посмотрите на рисунок 8. Перед нами дом в форме прямоугольного параллелепипеда. Его высота равна \( 3ab \), а стороны основания состоят из отрезков \( a, 2b \) и \( c \). Как найти объем этого здания? Запишем выражение». Учитель пишет на доске: \( V = (a + 2b + c) \cdot 3ab \). | Анализируют рисунок. Записывают выражение для объема в тетрадь. Один ученик комментирует: «Нужно площадь основания \( (a + 2b + c) \) умножить на высоту \( 3ab \)». |
4 мин | «Используя распределительный закон, который мы только что повторили, раскройте скобки. Помните: мы умножаем одночлен на КАЖДЫЙ член многочлена». Учитель демонстрирует на доске: \( a \cdot 3ab + 2b \cdot 3ab + c \cdot 3ab \). | Выполняют умножение в тетрадях, проговаривая про себя: «\( a \) на \( 3ab \) — это \( 3a^2b \), \( 2b \) на \( 3ab \) — это \( 6ab^2 \)...» Получают результат: \( 3a^2b + 6ab^2 + 3abc \). |
2 мин | «Давайте сформулируем правило. Оно выделено в учебнике на странице 102. Прочитайте его вслух». | Читают правило: «Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
Алгоритм умножения многочлена на одночлен:
1. Умножить одночлен на каждый член многочлена.
2. Записать полученные произведения в виде суммы.
3. Привести полученный многочлен к стандартному виду (если это возможно).
1. Умножить одночлен на каждый член многочлена.
2. Записать полученные произведения в виде суммы.
3. Привести полученный многочлен к стандартному виду (если это возможно).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Правило простое, но требует предельного внимания к знакам и степеням. Давайте потренируемся».
Этап 4. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение алгоритма на простых примерах из учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Работаем фронтально. Выполним упражнение №255 (1, 3). К доске приглашаются два человека. Остальные работают в тетрадях. Пример 1: \( 2(3a^2 - 4a + 8) \). Пример 3: \( (3a - 5b + bc)(-3) \). Будьте внимательны со знаками во втором примере!» | Два ученика решают у доски с комментариями. Класс сверяет решение. Ответы: 1) \( 6a^2 - 8a + 16 \); 3) \( -9a + 15b - 3bc \). |
3 мин | «Теперь усложним задачу. №256 (1). Здесь одночлен содержит переменные: \( 7ab(2a + 3b) \). Кто готов объяснить?» | Ученик с места объясняет: «Сначала \( 7ab \) умножаем на \( 2a \), получаем \( 14a^2b \). Потом \( 7ab \) на \( 3b \), получаем \( 21ab^2 \). Итого: \( 14a^2b + 21ab^2 \)». |
Эталон решения (№256, 1)
\( 7ab(2a + 3b) = 7ab \cdot 2a + 7ab \cdot 3b = (7 \cdot 2) \cdot (a \cdot a) \cdot b + (7 \cdot 3) \cdot a \cdot (b \cdot b) = 14a^2b + 21ab^2 \).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Базовые навыки освоены. Теперь проверим, как вы справитесь в команде».
Этап 5. Практическая работа в парах (10 мин)
Цель этапа: дифференцированное закрепление материала через совместную деятельность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Сейчас вы будете работать в парах. Я раздаю карточки с заданиями. Выберите уровень сложности вместе. Желтая карточка — базовый (упр. 258), зеленая — средний (упр. 259), синяя — повышенный (упр. 260). Распределите примеры между собой, но проверяйте друг друга». | Обсуждают в парах выбор уровня. Распределяют обязанности. Готовят тетради. |
6 мин | Учитель обходит класс, помогает парам, выбравшим синие карточки, следит за дисциплиной. «Обратите внимание на №259 (1): здесь нужно не только раскрыть скобки, но и привести подобные слагаемые». | Работают в парах. Выполняют умножение, записывают промежуточные результаты. Сравнивают ответы, исправляют ошибки друг друга. |
2 мин | «Время вышло. Сверьте свои ответы с эталоном на экране». Учитель выводит ответы на проектор. | Проводят самопроверку и взаимопроверку. Выставляют друг другу предварительные баллы в лист самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Работа в парах показала, что многие из вас уже уверенно владеют алгоритмом. Самым сложным оказалось не умножение, а последующее вычитание многочленов».
Этап 6. Включение в систему знаний (7 мин)
Цель этапа: показать применение темы при решении уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Умножение многочлена на одночлен — это ключ к решению сложных уравнений. Давайте решим №261 (1): \( 3(x - 1) - 2(3 - 7x) = 2(x - 2) \). Один человек к доске. Помните о распределении знака "минус" перед второй скобкой!» | Ученик решает у доски: 1) \( 3x - 3 - 6 + 14x = 2x - 4 \) 2) \( 17x - 9 = 2x - 4 \) 3) \( 15x = 5 \) 4) \( x = 1/3 \). Класс записывает решение. |
2 мин | «Вернемся к нашему фокусу с начала урока. Посмотрите на стр. 100 еще раз. Вы видите выражение \( 100a + 10b + c - (a + b + c) = 99a + 9b \). Если мы вынесем 9 за скобку, получим \( 9(11a + b) \). Что это значит?» | Отвечают: «Это значит, что результат всегда делится на 9! Поэтому, зная две цифры, можно легко найти третью, дополнив сумму до ближайшего числа, кратного 9». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь вы видите, что алгебра — это инструмент, позволяющий видеть структуру чисел и даже творить "магию"».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, оценить уровень усвоения материала и дать инструкции по ДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Наш урок подходит к концу. Поднимите зеленую карточку те, кто сегодня чувствовал себя уверенно при умножении. Желтую — если были сомнения. Красную — если тема осталась непонятной». | Поднимают карточки соответствующего цвета, оценивая свою работу. |
2 мин | «Запишите домашнее задание. Оно также дифференцировано. Выберите тот уровень, с которым вы справитесь, но я советую попробовать хотя бы один пример из среднего уровня. Спасибо за урок!» | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня (базовый/средний/продвинутый), нет ошибок в знаках и степенях, работа оформлена аккуратно.
- «4» — допущена 1 негрубая ошибка в вычислениях или приведении подобных слагаемых, при этом алгоритм умножения применен верно.
- «3» — верно выполнено более половины заданий базового уровня, допущены ошибки в знаках или правилах работы со степенями.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое правило из предыдущих тем сегодня пригодилось больше всего? | Актуализация связи между темами (степени, распределительный закон). |
В каком моменте умножения легче всего допустить ошибку? | Осознание зон риска (знаки минус, умножение коэффициентов). |
Сможете ли вы теперь объяснить секрет фокуса родителям? | Проверка понимания практической значимости темы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы сделали важный шаг в изучении алгебры. Умножение многочлена на одночлен — это фундамент, на котором строятся почти все преобразования выражений в будущем. Большинство из вас отлично справились с "фонтанчиком" (так часто называют распределительный закон). На следующем уроке мы перейдем к обратной операции — вынесению общего множителя за скобки. Это будет еще интереснее! До свидания!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | №255 (2, 4), №257 (1) | Отработка навыка умножения на целое число и одночлен с одной переменной. |
Средний (повышающий) | №258 (3, 4), №261 (2) | Упрощение выражений с несколькими скобками и решение линейного уравнения. |
Продвинутый (дополнительный) | №262 (1, 2) | Задачи на нахождение значения x, при котором выражения принимают равные значения (работа с дробями). |
Контрольный вопрос: «Как изменится знак произведения, если мы умножаем многочлен на отрицательный одночлен?»