Понятие функции и линейная зависимость
Цели и задачи
- Цель: Сформировать представление о функции как о зависимости одной переменной от другой, научить распознавать линейную функцию и строить её график.
- Образовательная задача: Познакомить с понятиями «аргумент», «функция», «область определения», «график»; отработать алгоритм построения графика линейной функции.
- Развивающая задача: Развивать навыки анализа графической информации и умение переводить реальные зависимости (физические, экономические) на язык математики.
- Воспитательная задача: Формировать культуру графического труда и критическое мышление через проверку гипотез в ходе проблемного диалога.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к адаптации в динамично изменяющейся информационной среде.
- Умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Понимание роли математики как универсального языка науки для описания реальных процессов.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, аргументировать свою позицию.
Предметные
- Знать определение функции, аргумента, области определения и области значений.
- Уметь находить значение функции по заданному значению аргумента и наоборот по формуле и по графику.
- Уметь строить график линейной функции $y = kx + b$ и понимать смысл коэффициентов $k$ и $b$.
- Распознавать график функции $y = |x|$ и описывать его свойства.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие логического мышления и воображения.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
- Выбор оснований и критериев для сравнения.
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с графиками реальных зависимостей (движение автомобиля, изменение температуры, зарядка смартфона).
- Распечатать рабочие листы с координатной плоскостью для каждого ученика (30 шт.).
- Подготовить карточки для дифференцированной самостоятельной работы (3 уровня сложности).
- Вывесить на доску плакат-шпаргалку «Алгоритм построения линейной функции».
- Проверить наличие мела/маркеров разных цветов для построения графиков на доске.
- Открыть учебник на странице с темой «Линейная функция» (например, учебник Макарычева).
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и подготовить учеников к восприятию новой темы через жизненный контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята! Присаживайтесь. Сегодня мы начинаем одну из самых важных тем в математике. Но прежде чем мы откроем учебники, ответьте мне на вопрос: от чего зависит уровень заряда вашего телефона в течение дня?» | Ученики приветствуют учителя, включаются в диалог. Отвечают: «От времени использования», «От яркости экрана», «От того, играем мы или нет». |
2 мин | «Верно. В жизни всё связано: путь зависит от скорости, стоимость покупки от количества товара, ваше настроение — часто от оценки в дневнике. В математике такие зависимости называют функциями. Сегодня мы научимся их видеть, строить и понимать». | Слушают учителя, осознают значимость темы. Записывают дату и тему урока в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, мир полон зависимостей. Давайте вспомним инструменты, которые помогут нам их описать математически».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить опорные понятия (координаты, числовые промежутки), необходимые для работы с графиками.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «На доске отмечены точки А(2; 3), В(-1; 5), С(0; -4). Вспомним, как называется первая координата? А вторая? Кто хочет отметить их на координатной плоскости?» Учитель вызывает одного ученика к доске. «Также посмотрите на запись: $x \in [-2; 4)$. Что это за промежуток? Как он называется?» | Ученики отвечают: «Первая — абсцисса (x), вторая — ордината (y)». Один ученик отмечает точки на доске, остальные проверяют в тетрадях. Отвечают про промежуток: «Это полуинтервал, от -2 до 4, включая -2». |
2 мин | «А теперь посчитайте расстояние между точками на координатной прямой: М(5) и К(-3). Какую формулу мы используем?» | Ученики вычисляют: $d = |5 - (-3)| = 8$. Проговаривают правило: «Чтобы найти расстояние, нужно из координаты конца вычесть координату начала и взять модуль». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, координаты и промежутки мы вспомнили. Это наш фундамент. Переходим к главному вопросу урока».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: через проблемный диалог вывести определение функции и познакомиться с линейной зависимостью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель рисует на доске две таблицы. В первой: каждому числу ставится в соответствие его квадрат. Во второй: каждому человеку в классе — его номер телефона. «Посмотрите на эти правила. В чем разница? Может ли у одного числа быть два квадрата? А у одного человека два номера телефона?» Учитель подводит к мысли: «Функция — это правило, где каждому значению X соответствует ЕДИНСТВЕННОЕ значение Y». | Ученики обсуждают: «У числа только один квадрат, это однозначно. А номеров может быть два». Делают вывод: «Значит, вторая зависимость не всегда является функцией в строгом смысле, если мы хотим однозначности». |
4 мин | «Откройте учебник на стр. 116. Найдите определение линейной функции. Как она выглядит в общем виде?» Учитель записывает на доске: $y = kx + b$. «Давайте разберем, что делают коэффициенты. Если я иду со скоростью 5 км/ч, мой путь $S = 5t$. Это линейная функция? Чему равны k и b?» | Ученики находят формулу, записывают её. Отвечают: «Да, это линейная функция, k = 5, b = 0». Предполагают, что k отвечает за крутизну (скорость), а b — за начальную точку. |
4 мин | «А теперь особый гость — функция $y = |x|$. Давайте заполним таблицу для значений x: -2, -1, 0, 1, 2. Что получится в y?» Учитель строит график-«галочку» на доске. | Ученики диктуют значения: 2, 1, 0, 1, 2. Замечают симметрию графика относительно оси ординат. Зарисовывают график в тетрадь. |
Запись в тетрадях
- Определение: Функция — зависимость, при которой каждому значению независимой переменной (аргумента) соответствует единственное значение зависимой переменной.
- Линейная функция: $y = kx + b$. График — прямая.
- Для построения прямой достаточно 2-х точек.
- График $y = |x|$ — «уголок» с вершиной в начале координат.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теорию мы обсудили, но математика — это прежде всего практика. Давайте научимся строить эти графики быстро и точно».
Этап 4. Первичное закрепление и практика (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм построения графика линейной функции фронтально у доски.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Задание из учебника №584 (а). Построить график $y = 2x - 3$. Составим таблицу. Какие значения x удобнее взять?» Учитель вызывает ученика к доске, контролирует оформление: оси, масштаб, подписи точек. | Ученик у доски выбирает x = 0 и x = 2. Считает y: при x=0, y=-3; при x=2, y=1. Отмечает точки, проводит прямую. Класс выполняет работу в тетрадях. |
3 мин | «А теперь вопрос на засыпку (проблемный диалог): принадлежит ли точка М(10; 17) этому графику? Нужно ли нам для этого продолжать прямую до бесконечности?» | Ученики предлагают: «Нет, можно подставить x=10 в формулу». Считают: $2 * 10 - 3 = 17$. «Да, принадлежит!» |
Эталон решения
Функция $y = 2x - 3$.
1) Таблица:
x | 0 | 2
y | -3 | 1
2) Построение осей $Ox$ и $Oy$.
3) Отметка точек (0; -3) и (2; 1).
4) Проведение прямой через эти точки.
Проверка точки М(10; 17): $17 = 2 \cdot 10 - 3 \Rightarrow 17 = 17$ (истина).
1) Таблица:
x | 0 | 2
y | -3 | 1
2) Построение осей $Ox$ и $Oy$.
3) Отметка точек (0; -3) и (2; 1).
4) Проведение прямой через эти точки.
Проверка точки М(10; 17): $17 = 2 \cdot 10 - 3 \Rightarrow 17 = 17$ (истина).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что формула и график — это одно и то же, просто на разных языках. Теперь попробуйте поработать самостоятельно».
Этап 5. Дифференцированная самостоятельная работа (8 мин)
Цель этапа: проверить усвоение материала, предоставив ученикам выбор уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Перед вами карточки трех цветов. Зеленая — базовый уровень (построить простую прямую). Желтая — средний (найти точки пересечения с осями без графика). Красная — сложный (график с модулем или чтение графика реального процесса из физики). Выберите свой уровень». | Ученики выбирают карточку в соответствии со своей уверенностью в силах. |
7 мин | Учитель проходит по рядам, оказывает индивидуальную помощь, следит за тем, чтобы «сильные» ученики не скучали, а «слабые» справлялись с базой. | Ученики самостоятельно решают задачи. В конце этапа сверяют ответы с ответами на обратной стороне доски (самопроверка). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, что многие справились даже с красным уровнем. Это отличный результат для первого урока по теме».
Этап 6. Межпредметные связи и чтение графиков (5 мин)
Цель этапа: показать применение функций в физике и географии (функциональная грамотность).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель выводит на экран график зависимости температуры воздуха от времени суток (из курса географии). «Ребята, посмотрите на экран. В какое время температура была максимальной? В какие промежутки времени она падала? Является ли этот график линейным?» | Ученики анализируют график: «Максимум был в 14:00», «Температура падала с 16:00 до полуночи». Отвечают: «Нет, это не прямая, значит функция не линейная, но это всё равно функция!» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Математика помогает нам читать графики в новостях, в науке и даже в экономике. Вы сегодня стали немного грамотнее в этом вопросе».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, провести самооценку и дать инструкции по домашнему заданию.
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно построены оба предложенных графика, правильно найдены координаты точек пересечения, работа выполнена аккуратно.
- «4» — Графики построены верно, но допущены мелкие неточности в оформлении или одна вычислительная ошибка в расчете координат.
- «3» — Верно построен только один график (базовый), допущены ошибки в определении принадлежности точки графику.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое условие должно выполняться, чтобы зависимость была функцией? | Проверка усвоения ключевого определения (единственность y). |
Сколько точек вам достаточно, чтобы построить график $y = -3x + 5$? | Проверка понимания алгоритма построения прямой. |
В какой момент урока вы чувствовали себя наиболее уверенно? | Эмоциональная саморегуляция и выявление сильных сторон. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы сделали первый шаг в огромный мир функций. Вы увидели, что за каждой линией стоит формула, а за каждой формулой — реальный процесс. Если сегодня что-то не получилось с модулем — не расстраивайтесь, на следующем уроке мы разберем это подробнее. Вы молодцы, спасибо за активный диалог!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | №585, №587 | Построение графиков линейных функций по точкам. |
Средний (повышающий) | №590, №592 | Нахождение точек пересечения графиков без построения. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Найти в интернете или газете график любой реальной зависимости и описать его свойства (возрастание, убывание, максимумы). |
Контрольный вопрос перед выходом: «Если k в формуле $y = kx + b$ равно нулю, как будет выглядеть график?» (Ответ: горизонтальная прямая).