График функции y = |x|: симметрия и свойства
Цели и задачи
- Цель: изучить свойства функции y = |x| и научиться строить её график, используя знания о линейной функции и модуле числа.
- Образовательная задача: сформировать умение строить график функции y = |x| по точкам и описывать его геометрическую форму.
- Развивающая задача: развивать навыки критического мышления через сопоставление аналитической записи функции и её графического образа.
- Воспитательная задача: воспитывать аккуратность при выполнении чертежей и уважение к мнению сверстников в ходе дискуссии.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Развитие критичности мышления при анализе графических объектов.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определение функции y = |x| и её свойства.
- Уметь строить график функции y = |x| на координатной плоскости.
- Уметь находить значение функции по заданному значению аргумента и наоборот.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ценности здорового и безопасного образа жизни.
- Осознание значения математики как части общечеловеческой культуры.
Регулятивные УУД
- Самоконтроль и коррекция при построении графиков.
- Оценка правильности выполнения учебной задачи.
Познавательные УУД
- Моделирование функциональных зависимостей с помощью графиков.
- Извлечение информации из графических представлений.
Коммуникативные УУД
- Аргументация своей позиции при обсуждении свойств функции.
- Адекватное использование речевых средств для решения коммуникативных задач.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с динамическими моделями в GeoGebra для демонстрации графика.
- Распечатать рабочие листы с координатной сеткой для каждого ученика (25 шт.).
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
- Подготовить карточки для этапа рефлексии (билеты на выход).
- Открыть учебник Алгебры 7 класса на параграфе, посвященном графику модуля.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и подготовить учащихся к восприятию нового материала через визуальный образ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, ребята! Посмотрите на экран. Вы видите фотографии: крылья бабочки, очертания гор, отражение дерева в воде. Что объединяет все эти изображения с точки зрения геометрии?» Учитель делает паузу, давая возможность высказаться. «Верно, это симметрия. Сегодня мы познакомимся с функцией, график которой обладает идеальной симметрией и напоминает один из этих образов. Как вы думаете, может ли математическая формула быть красивой?» | Ученики рассматривают изображения, отвечают: «Они симметричны», «Левая часть как зеркальное отражение правой». Включаются в диалог о красоте математики. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Красота в математике часто кроется в простоте и гармонии. Сегодня мы увидим это на примере новой функции».
Этап 2. Актуализация опорных знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить понятие модуля и линейной функции, необходимые для построения нового графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Давайте вспомним, что такое модуль числа. Я называю число, а вы — его модуль: 5, -8, 0, -12.5. Что делает модуль с отрицательным числом?» | Ученики отвечают хором или по одному: «5», «8», «0», «12.5». Объясняют: «Модуль делает число положительным или оставляет нулем». |
3 мин | «Теперь вспомним линейную функцию. На доске записаны функции: y = 2x, y = -x, y = 3. Как называются их графики? Как мы их строим?» Учитель просит одного ученика схематично набросать y = x на доске. | Ученики отвечают: «Графики — прямые. Строим по двум точкам». Ученик у доски рисует прямую, проходящую через (0,0) и (1,1). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как ведут себя прямые и что такое модуль. Теперь объединим эти знания».
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (4 мин)
Цель этапа: создать проблемную ситуацию, подталкивающую к открытию нового знания.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Перед вами функция y = |x|. Попробуйте предположить, как будет выглядеть её график. Будет ли это прямая линия, как у y = x? Попробуйте построить её в тетрадях самостоятельно, взяв несколько положительных и отрицательных значений x. В чем возникла сложность?» | Ученики пытаются строить. Многие замечают, что для отрицательных x значения y становятся положительными, и прямая «ломается». Отвечают: «Это не одна прямая», «График уходит вверх в обе стороны». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Интересное наблюдение! Прямая y = x словно отразилась от оси абсцисс. Давайте проверим это предположение точно по точкам».
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения (открытие нового знания) (12 мин)
Цель этапа: построить график функции y = |x| и сформулировать его свойства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Давайте составим таблицу значений для функции y = |x|. Возьмем x от -3 до 3 с шагом 1. Диктуйте мне значения y.» Учитель заполняет таблицу на доске. | Ученики диктуют: «Если x = -3, y = 3; если x = -2, y = 2...» Заполняют таблицу в своих рабочих листах. |
7 мин | «Теперь перенесем эти точки на координатную плоскость и соединим их. Что у нас получилось? Как бы вы назвали эту фигуру?» Учитель демонстрирует на экране построение в GeoGebra, плавно соединяя точки. | Ученики строят график. Отвечают: «Галочка», «Уголок», «Буква V». Формулируют вывод: график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат. |
Запись в тетрадях
- Функция: y = |x|.
- График: биссектрисы I и II координатных четвертей.
- Свойства: 1) Область определения — любые числа; 2) Область значений — y ≥ 0; 3) График симметричен относительно оси Oy.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили уникальный график, который математики называют «уголком». Теперь проверим, как он работает в динамике».
Этап 5. Первичное закрепление с использованием ИКТ (7 мин)
Цель этапа: закрепить понимание свойств графика через интерактивное исследование.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель открывает апплет GeoGebra: «Посмотрите, я меняю коэффициент перед модулем: y = 2|x|, y = 0.5|x|. Что происходит с нашей «галочкой»? Она сжимается или расширяется? А если я поставлю минус перед модулем y = -|x|?» | Ученики наблюдают за изменениями на экране. Отвечают: «График становится уже или шире», «С минусом он переворачивается вниз, как отражение в воде». |
3 мин | «Решите задачу: принадлежит ли точка A(-15; 15) графику функции y = |x|? А точка B(7; -7)? Обоснуйте без построения.» | Ученики анализируют: «Точка A принадлежит, так как |-15| = 15. Точка B не принадлежит, так как модуль не может быть отрицательным». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы отлично справились с анализом точек. График — это не просто картинка, это множество всех решений уравнения».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения материала через индивидуальное выполнение задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Выполните небольшую самостоятельную работу на карточках. Задание 1: построить график y = |x| для x от -4 до 4. Задание 2: найти по графику значение y при x = -2.5 и значение x, если y = 3.» | Ученики самостоятельно выполняют построения и вычисления в рабочих листах. |
2 мин | Учитель выводит эталон решения на экран: «Сверьте свои графики с образцом. Если у вас получилась ровная «галочка» и верно найдены значения — поставьте себе плюс на полях». | Ученики проводят самопроверку, исправляют ошибки, если они есть. |
Эталон решения
1) Точки для графика: (-4, 4), (-2, 2), (0, 0), (2, 2), (4, 4). 2) При x = -2.5, y = |-2.5| = 2.5. 3) Если y = 3, то |x| = 3, значит x = 3 или x = -3.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, что большинство справилось. Тем, у кого возникли трудности с точкой x = -3, стоит еще раз вспомнить определение модуля».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Наш урок подходит к концу. У вас на столах лежат «билеты на выход». Напишите на них одно самое важное свойство сегодняшнего графика и один вопрос, который у вас остался.» | Ученики заполняют карточки, формулируя итоги урока. |
2 мин | Учитель диктует домашнее задание, поясняя уровни сложности. «Запишите задание в дневники. Обратите внимание на творческое задание для желающих». | Ученики записывают задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — график построен аккуратно, верно указаны все ключевые точки, правильно определены значения функции и аргумента в самостоятельной работе.
- «4» — график построен верно, но допущена одна ошибка в вычислении значения функции по графику или есть неточности в оформлении.
- «3» — график имеет верную форму «галочки», но построение неточное (не по линейке), допущены ошибки в нахождении значений.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Почему график y = |x| не является прямой линией? | Проверка понимания влияния модуля на отрицательные значения аргумента. |
Какая симметрия характерна для этого графика? | Осознание геометрических свойств функции. |
Где в реальной жизни можно встретить форму этого графика? | Связь абстрактной математики с окружающим миром. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы совершили маленькое открытие: увидели, как простая операция модуля превращает знакомую нам прямую в изящную симметричную фигуру. Эта «галочка» — фундамент для понимания более сложных функций, с которыми мы встретимся в 8 и 9 классах. Помните, что математика — это язык, на котором говорит природа, и сегодня вы выучили еще одно его слово. Спасибо за активную работу, до встречи на следующем уроке!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, № 345, 347 | Построение графика y = |x| в тетради, нахождение значений по таблице. |
Средний (повышающий) | № 350, построить y = |x| + 2 | Исследование того, как добавление числа сдвигает график вверх. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческий проект | Создать рисунок в координатной плоскости, используя только графики модулей (например, горы или птицу). |
Контрольный вопрос: «Может ли график функции y = |x| находиться в третьей или четвертой координатных четвертях? Почему?»