Что такое функция
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока сформулировать определение функции, распознавать функциональную зависимость среди предложенных ситуаций, называть область определения и множество значений на простых примерах и представлять зависимость с помощью формулы, таблицы или графика.
- Сформировать представление о функции как зависимости, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.
- Научить различать независимую и зависимую переменные, аргумент и значение функции, находить область определения и множество значений по таблице и формуле в несложных случаях.
- Развивать умение анализировать жизненные ситуации, переводить их на математический язык, сравнивать способы задания функции и аргументировать свой ответ.
- Воспитывать ответственность за точность математической записи, интерес к применению функций в профессиях и готовность к сотрудничеству.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску математической модели реальной ситуации.
- Осознают значение точности и однозначности данных в математике, технологиях и будущей профессиональной деятельности.
- Принимают право одноклассника на другую гипотезу и учатся аргументированно отстаивать собственное мнение.
- Формируют положительное отношение к самостоятельному открытию нового знания.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки функциональной зависимости и формулируют определение на основе примеров.
- Переводят информацию из текста в таблицу, формулу и графическое представление.
- Планируют решение учебной задачи, проверяют соответствие результата условию и исправляют ошибки.
- Используют интерактивную доску или цифровой графический сервис для наблюдения за зависимостью величин.
- Участвуют в диалоге, формулируют вопросы и аргументируют выбор ответа.
Предметные
- Знать определение функции, понятия «аргумент», «значение функции», «область определения» и «множество значений».
- Уметь определять, является ли зависимость функциональной.
- Уметь находить значение функции по формуле при заданном значении аргумента.
- Уметь задавать функцию таблицей, формулой и графиком на простых примерах.
- Уметь читать отдельные значения функции по таблице и координатной плоскости.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения функций через связь с графиками, программированием, экономикой и естественными науками.
- Оценивают собственную готовность работать с буквенными обозначениями и графиками.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа представления зависимости.
- Осознают ценность проверки однозначности математического результата.
Регулятивные УУД
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Планируют последовательность действий: определить величины, установить связь, выбрать способ задания, проверить результат.
- Сверяют решение с эталоном и находят место ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
- Корректируют формулировку вывода после обсуждения с одноклассниками.
Познавательные УУД
- Сравнивают ситуации и выделяют признак однозначного соответствия.
- Строят таблицу значений по формуле и устанавливают закономерность.
- Моделируют зависимость с помощью формулы, таблицы и графика.
- Классифицируют зависимости на функциональные и нефункциональные.
- Извлекают информацию из текста, таблицы, формулы и цифровой визуализации.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают гипотезу в паре и формулируют общий вывод.
- Задают уточняющие вопросы о независимой и зависимой величинах.
- Аргументируют решение математическими примерами.
- Распределяют роли при выполнении групповой карточки.
- Корректно сравнивают разные ответы и принимают обоснованное решение.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями такси, температуры воздуха и стоимости покупки, а также с таблицами значений зависимостей.
- Подготовить интерактивную доску или проектор, ноутбук и заранее открыть цифровой графический сервис для построения графика $y=2x+1$.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить цветные стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по три набора на парту.
- Вывесить на доске памятку: «Функция: каждому $x$ соответствует единственное $y$» и схему «аргумент → правило → значение функции».
- Подготовить маркеры, магниты, линейку и чистые листы для групповой работы.
- Разместить на экране таблицу значений для задания на открытие нового знания и эталон для самопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к понятию зависимости величин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня вы будете не только решать задания, но и сами открывать математическое понятие. Работать можно будет в паре, а в одном из заданий вы выберете уровень сложности." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: стоимость поездки на такси зависит от расстояния. "Представьте, что приложение мгновенно сообщает стоимость поездки для любого расстояния. Какие величины здесь связаны? Может ли одному расстоянию соответствовать две разные стоимости при неизменном тарифе?" | Называют величины: расстояние и стоимость; предполагают: "Одному расстоянию соответствует одна стоимость". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что в реальной жизни одна величина может зависеть от другой. Сегодня выясним, когда такую зависимость называют функцией и как её записывают."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о переменных, координатах и таблицах значений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске формулу $y=2x+1$ и спрашивает: "Какие буквы здесь являются переменными? Как изменится $y$, если $x$ увеличится на 1? Вычислите значение $y$ при $x=0$ и $x=3$." | Отвечают: "$x$ и $y$ — переменные"; вычисляют $y=1$ и $y=7$, объясняют зависимость. |
3 мин | Учитель раздаёт парам мини-карточку с координатами точек и говорит: "Вспомните, как точка записывается на координатной плоскости. Первая координата связана с осью $x$, вторая — с осью $y$. Заполните две строки таблицы для $y=2x+1$ при $x=-1,0,1,2." | Заполняют таблицу: $x:-1,0,1,2$; $y:-1,1,3,5$, сверяют ответы с партнёром. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем подставлять значение переменной в формулу и получать результат. Теперь проверим, достаточно ли любой зависимости для того, чтобы назвать её функцией."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить признак функции и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает две ситуации: 1) каждому ученику соответствует его дата рождения; 2) каждому ученику соответствует несколько любимых занятий. "В обеих ситуациях есть соответствие. Почему первое кажется однозначным, а второе — нет? Что должно быть главным условием?" | Обсуждают в парах, формулируют: "Одному значению первой величины должно соответствовать только одно значение второй". |
2 мин | Учитель фиксирует гипотезы на доске и спрашивает: "Какую цель поставим? Какие слова нам нужно определить, чтобы проверять зависимости?" | Формулируют цель: узнать определение функции, научиться распознавать её и находить значения по формуле; называют понятия «аргумент» и «значение функции». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема определена: нам нужен строгий признак однозначного соответствия. Давайте исследуем несколько примеров и сами сформулируем определение."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (10 мин)
Цель этапа: открыть определение функции и способы задания функции через исследование таблицы, формулы и графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран таблицу: $x: 1,2,3,4$; $y: 3,5,7,9$. "Посмотрите на таблицу. Каждому ли значению $x$ соответствует ровно одно значение $y$? Какое правило можно предположить?" Учитель принимает гипотезы и показывает формулу $y=2x+1$. | Исследуют пары значений, отвечают: "Да, каждому $x$ соответствует одно $y$"; предполагают правило $y=2x+1$. |
3 мин | Учитель формулирует и записывает на доске: "Функцией называют зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Независимую переменную обозначают $x$ и называют аргументом, зависимую переменную обозначают $y$ и называют значением функции." | Записывают определение и термины в тетрадь, подчёркивают слова «каждому» и «единственное». |
4 мин | Учитель открывает цифровой графический сервис и вводит $y=2x+1$. "Наблюдайте, как таблица значений превращается в график. Выберите одно значение $x$ и проверьте по графику соответствующее $y$. Какими способами можно задать функцию?" | Наблюдают построение графика, называют три способа задания: формулой, таблицей, графиком; проверяют одну точку, например $(2;5)$. |
Запись в тетрадях
Функция — это зависимость, при которой каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$. $x$ — аргумент, $y$ — значение функции. Область определения — значения аргумента, для которых функция задана; множество значений — соответствующие значения функции.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили определение и увидели, что функцию можно представить формулой, таблицей или графиком. Теперь проверим новое правило на конкретных зависимостях."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить применять определение функции и находить значения функции по формуле.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с тремя зависимостями: а) каждому числу соответствует его квадрат; б) каждому человеку соответствуют его родители; в) каждому числу соответствует два противоположных числа. "Подумайте 30 секунд, затем обсудите в паре: какие зависимости являются функциями и почему? Запишите аргумент." | В парах классифицируют зависимости. Формулируют: «а) функция, потому что каждому числу соответствует одно значение квадрата; б) не функция, потому что родителей несколько; в) не функция, потому что одному числу соответствуют два значения». |
4 мин | Учитель предлагает задание: "Для функции $y=3x-2$ найдите значение при $x=-1$, $x=0$ и $x=4$. Запишите вычисления и проверьте ответ по таблице на экране." | Самостоятельно выполняют подстановку: $y(-1)=-5$, $y(0)=-2$, $y(4)=10$; сверяют с эталоном, исправляют ошибки. |
Эталон решения
Для $x=-1$: $y=3\cdot(-1)-2=-3-2=-5$. Для $x=0$: $y=3\cdot0-2=-2$. Для $x=4$: $y=3\cdot4-2=12-2=10$. Ответ: $-5$, $-2$, $10$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Главное при проверке — не просто получить число, а установить однозначность соответствия и правильно указать, какая переменная является аргументом. Теперь каждый выполнит задание самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с выбором уровня (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание определения функции, области определения и способов задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Выберите карточку базового, повышающего или продвинутого уровня. Выбор — это ответственность за собственный результат. Перед началом прочитайте критерии: нужна формула, вычисления и краткое объяснение." | Выбирают уровень карточки и записывают номер уровня в тетради. |
5 мин | Учитель наблюдает и адресно помогает вопросами: "Какое значение является входным? Сколько выходных значений ему соответствует? Что нужно подставить в формулу?" На карточках: базовый — вычислить $y=2x+3$ при $x=-2,1,4$ и определить область определения таблицы; повышающий — проверить, является ли таблица функциональной; продвинутый — составить формулу линейной зависимости по двум парам значений. | Решают индивидуально, записывают ход рассуждений, при затруднении используют памятку на доске. |
2 мин | Учитель выводит эталон и предлагает самопроверку: "Поставьте рядом с каждым пунктом знак плюс, если он выполнен: определение, вычисления, объяснение, ответ. Одну ошибку исправьте цветной ручкой." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, отмечают выполненные критерии. |
Эталон решения
Для базового задания: $y(-2)=2\cdot(-2)+3=-1$; $y(1)=2\cdot1+3=5$; $y(4)=2\cdot4+3=11$. Область определения таблицы — все указанные в ней значения $x$. Для повышенного задания функция задана, если каждое значение $x$ встречается один раз и связано с единственным $y$. Продвинутое задание выполняется через поиск коэффициентов в линейной формуле $y=kx+b$ и проверку обеих пар значений.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что функция требует точного соответствия входа и выхода. Осталось связать новое понятие с практикой и убедиться, что вы можете объяснить его своими словами."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (8 мин)
Цель этапа: применить понятие функции к жизненному контексту, осознать результат и выявить затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на экране тариф доставки: фиксированная плата 150 рублей и 30 рублей за каждый километр. "Запишите формулу стоимости $C$ в зависимости от расстояния $d$. Что является аргументом? Найдите стоимость доставки на 4 км." | Составляют $C=150+30d$, называют $d$ аргументом, вычисляют $C(4)=270$ рублей. |
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете дать определение функции и привести пример; жёлтую — если понимаете идею, но путаете область определения; красную — если нужна помощь." | Показывают карточку, формулируют индивидуальную потребность в помощи. |
3 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Ответьте письменно на два вопроса: что такое функция и почему зависимость «числу соответствует два его квадратных корня» не является функцией? Добавьте один пример функции из жизни." | Заполняют билет на выход: дают определение, объясняют неоднозначность соответствия, приводят пример зависимости из транспорта, покупок или цифровых сервисов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли признак функции, научились находить значения по формуле и увидели, что функции описывают тарифы, графики и цифровые модели. На следующем уроке будем подробнее работать с областью определения и графиками."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены все функциональные зависимости, без ошибок найдены значения функции, корректно записано определение и решена задача с тарифом.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или терминологическая ошибка, ход решения в основном объяснён.
- «3» — распознана хотя бы одна функция, выполнена часть подстановок по формуле, но есть ошибки в определении или объяснении однозначности.
- Оценивание включает не только итоговый ответ, но и наличие формулы, вычислений и краткого обоснования.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое функция и какое слово в определении является главным? | Проверка понимания признака однозначности. |
Как определить, является ли таблица функциональной? | Выявление сформированности алгоритма анализа таблицы. |
Какое действие при вычислении значения функции оказалось самым сложным? | Выявление точек затруднения при подстановке и работе со знаками. |
Где в жизни вы можете встретить функцию? | Связь нового знания с функциональной грамотностью и мотивацией. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что функция — это не просто любая зависимость, а однозначное соответствие: каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Вы научились распознавать функцию, находить значение по формуле и описывать зависимость в таблице или на графике. Типичная ошибка — перепутать аргумент и значение функции или забыть проверить однозначность соответствия. На следующем уроке мы продолжим работу с областью определения и графическим представлением функций."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: определить, являются ли предложенные зависимости функциями; найти значения функции по формуле $y=2x-5$ при трёх заданных значениях $x$; составить таблицу из пяти пар значений. | Закрепляет определение функции, подстановку и различение аргумента и значения; при проверке смотреть на запись вычислений и однозначность соответствия. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на чтение функции по таблице и графику, определить область определения и множество значений; составить формулу зависимости стоимости покупки от количества одинаковых товаров. | Развивает чтение разных способов задания функции и математическое моделирование жизненной ситуации. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный пример функциональной и нефункциональной зависимости из области транспорта, программирования или экономики, представить каждую таблицей или схемой и письменно обосновать различие. | Формирует умение создавать математическую модель, аргументировать вывод и связывать алгебру с будущей профессиональной деятельностью. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое соответствие называют функцией? Что является аргументом в записи $y=f(x)$? Сколько значений функции может соответствовать одному аргументу? Какими способами можно задать функцию?»
