Линейная функция. Построение графика линейной функции
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться распознавать линейную функцию вида $y=kx+b$, составлять таблицу её значений и строить график по двум или нескольким точкам, объясняя роль коэффициентов $k$ и $b$.
- Образовательная задача: сформировать представление о линейной функции и алгоритме построения её графика.
- Развивающая задача: развивать умение исследовать зависимость между величинами, моделировать её таблицей и координатной плоскостью, сравнивать результаты.
- Коммуникативная задача: формировать умение работать в парах и группах, задавать вопросы, аргументировать выбор и корректно проверять решение партнёра.
- Воспитательная задача: показать практическую ценность математических моделей и развивать ответственность за общий результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к исследованию зависимостей, описывающих реальные процессы.
- Понимают ценность точности, проверки и сотрудничества при решении математических задач.
- Осознают связь алгебры с профессиями, связанными с анализом данных, проектированием и экономикой.
- Оценивают собственный прогресс и выбирают посильный уровень задания.
Метапредметные
- Преобразуют формулу в таблицу значений и графическую модель.
- Смыслово читают условие практической задачи и выделяют зависимые величины.
- Планируют последовательность построения, проверяют результат и исправляют ошибки.
- Используют интерактивную координатную плоскость для проверки гипотез.
- Распределяют роли в группе и представляют общий результат.
Предметные
- Знать определение линейной функции и обозначение её коэффициентов в записи $y=kx+b$.
- Уметь находить значения функции по заданным значениям аргумента.
- Уметь составлять таблицу значений и строить график линейной функции.
- Уметь определять угловой коэффициент и ординату точки пересечения графика с осью $Oy$.
- Уметь применять график линейной функции для решения простых практических задач.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе уровня задания.
- Осознают смысл изучения функции как способа описывать изменения величин.
- Уважительно относятся к ответам одноклассников и принимают необходимость проверки.
- Формируют положительное отношение к исследовательской деятельности.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования и планируют построение графика.
- Сверяют таблицу и график с алгоритмом.
- Находят и исправляют ошибки в вычислениях и координатах точек.
- Оценивают достижение цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки линейной функции.
- Устанавливают связь между формулой, таблицей и графиком.
- Сравнивают графики функций с различными коэффициентами.
- Выдвигают и проверяют гипотезу о влиянии коэффициента $k$ на наклон прямой.
- Моделируют практическую ситуацию с помощью линейной функции.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе при исследовании.
- Обсуждают решение в паре и формулируют общий вывод.
- Аргументируют расположение точек на координатной плоскости.
- Задают уточняющие вопросы и дают корректную обратную связь.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемной ситуацией, координатной плоскостью и примерами графиков $y=2x+1$, $y=-x+3$, $y=4$.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего 25 экземпляров.
- Подготовить исследовательские листы для групп по одному на группу: формула, таблица, координатная плоскость, вопросы для вывода.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры, стикеры, линейки и координатную бумагу по одному комплекту на группу.
- Вывести на доску памятку: «1. Выбрать значения $x$. 2. Вычислить $y$. 3. Построить точки. 4. Провести прямую. 5. Проверить».
- Подготовить ноутбук, проектор и интерактивную координатную плоскость для проверки групповых гипотез.
- Разделить класс на группы по 4 человека с ролями: вычислитель, строитель графика, контролёр, докладчик.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и создать проблемную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки, линейки и телефона или планшета, если он используется по учебному заданию. Сегодня мы будем не просто слушать объяснение, а исследовать, как формула превращается в рисунок." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "Такси берёт 150 рублей за посадку и 25 рублей за каждый километр. Как можно быстро узнать стоимость поездки на 1, 3 и 6 километров? Можно ли представить изменение стоимости графически? Запишите свои предположения." Используется приём «Проблемный вопрос». | Индивидуально записывают формулу стоимости, обсуждают с соседом и предполагают: "$y=25x+150$", «график будет прямой». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что формула может описывать реальную зависимость. Сегодня выясним, как такие зависимости называются и как по формуле построить их график."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (5 мин)
Цель этапа: актуализировать координатную плоскость, вычисление значений выражений и обнаружить необходимость нового алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит фронтальный блиц: "Назовите координаты точки, расположенной на оси $Ox$; что означает первая координата; как построить точку $(2;3)$? Почему точки $(2;3)$ и $(3;2)$ различны?" На доске отмечает правильные ответы. | Отвечают: «На оси $Ox$ вторая координата равна нулю», «первая координата — значение $x$», «сначала двигаемся по оси $Ox$, затем по оси $Oy$». |
3 мин | Учитель записывает: $y=2x+1$ и спрашивает: "Вычислите значение $y$ при $x=0$, $x=1$, $x=2$. Как по этим числам получить точки? Что пока мешает построить весь график?" | Вычисляют $y=1$, $3$, $5$, называют точки $(0;1)$, $(1;3)$, $(2;5)$ и формулируют затруднение: «Нужно понять, достаточно ли нескольких точек и как провести график». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем находить отдельные значения и отмечать точки, но нам нужен общий способ построения графика. Сформулируем цель исследования."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и план исследовательских действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует «Проблемный диалог»: "Перед нами несколько вопросов. Какую функцию называют линейной? Какие данные нужны для построения её графика? Как коэффициенты влияют на положение прямой? Предложите план исследования, а я зафиксирую его на доске." | В парах формулируют вопросы и предлагают план: «узнать определение; составить таблицу; построить точки; сравнить графики; сделать вывод». |
2 мин | Учитель уточняет цель: "Запишите цель: научиться строить график функции вида $y=kx+b$ и объяснять его свойства. Работать будем сначала в группе, затем самостоятельно. Выберите цвет карточки: зелёная — базовый уровень, синяя — повышенный, красная — творческий." | Записывают цель, выбирают уровень задания и распределяют роли в группе. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План принят: формула — таблица — точки — прямая — вывод. Теперь группы проверят этот план на разных функциях."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследовательская групповая работа (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно вывести признаки линейной функции и алгоритм построения её графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт исследовательские листы и говорит: "Каждая группа получает функцию. Заполните таблицу для четырёх значений $x$, постройте точки на координатной плоскости и соедините их линейкой. Не забудьте проверить координаты. На листе есть вопросы: сколько точек достаточно, чтобы провести прямую; что происходит при изменении $k$; где график пересекает ось $Oy$?" | Получают функции $y=2x+1$, $y=-x+3$, $y=0{,}5x-2$ или $y=4$, распределяют роли и начинают расчёты. |
5 мин | Учитель консультирует группы: "Сначала выберите удобные значения $x$. Затем подставьте их в формулу. Точка $(x;y)$ записывается именно в таком порядке. После построения проверьте, лежит ли третья точка на той же прямой. Контролёр сверяет вычисления, а докладчик готовит вывод." | Заполняют таблицу, отмечают точки, проводят прямую, проверяют работу друг друга и фиксируют ответы на вопросы листа. |
3 мин | Учитель приглашает представителей групп: "Покажите результат на экране или доске. Сравните ваши графики. Что общего у всех графиков, кроме функции $y=4$? Как изменяется направление прямой при положительном и отрицательном $k$?" | Представляют результаты: «График линейной функции — прямая», «при $k>0$ функция возрастает», «при $k<0$ функция убывает», «при $k=0$ получается горизонтальная прямая». |
Запись в тетрадях
Линейная функция — функция вида $y=kx+b$, где $k$ и $b$ — заданные числа. Её график — прямая. Коэффициент $k$ называют угловым коэффициентом: при $k>0$ прямая возрастает, при $k<0$ убывает, при $k=0$ горизонтальна. Число $b$ показывает ординату точки пересечения графика с осью $Oy$: точка $(0;b)$. Для построения достаточно найти две точки, но третья точка используется для проверки.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы сами установили главное свойство линейной функции: её график является прямой. Теперь закрепим алгоритм на конкретных заданиях и научимся быстро проверять построение."
Этап 5. Первичное закрепление в парах. Игра «Математический конструктор» (7 мин)
Цель этапа: отработать связь между формулой, таблицей, точками и графиком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре набор карточек: формулы $y=3x-2$, $y=-2x+4$, $y=5$; таблицы; изображения графиков. Инструкция: "Соберите три правильные цепочки: формула — таблица — график. Обоснуйте каждое соответствие по двум признакам: значению $b$ и направлению прямой." | В парах сопоставляют карточки, проверяют точку на оси $Oy$ и направление графика, формулируют объяснение. |
3 мин | Учитель предлагает задание: "Для функции $y=-2x+4$ найдите значение $y$ при $x=0$ и $x=2$, назовите две точки и объясните, почему график пересекает ось $Oy$ выше начала координат." | Решают: $y(0)=4$, $y(2)=0$; называют точки $(0;4)$ и $(2;0)$, объясняют роль коэффициента $b$. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Обменяйтесь листами. Поставьте две звезды за верную таблицу и правильно проведённую прямую, а пожелание сформулируйте только по конкретному шагу алгоритма." | Проверяют работу партнёра по памятке, записывают две сильные стороны и один совет. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь вы умеете переходить от формулы к графику и обратно. Следующий шаг — самостоятельная проверка, где каждый выберет уровень и покажет собственный результат."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом построения графика и применить его к практической модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает карточки уровней. Базовый: "Постройте график $y=x+2$ по таблице для $x=-2,0,2$ и укажите точку пересечения с осью $Oy$." Повышенный: "Постройте график $y=-2x+1$, определите, возрастает или убывает функция, и найдите её нуль." Творческий: "Составьте формулу линейной функции, график которой проходит через точки $(0;3)$ и $(2;7)$, затем постройте его." | Индивидуально решают выбранный вариант, составляют таблицу и строят график на координатной сетке. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте сначала вычисления, затем координаты двух точек, затем направление прямой. Исправление выполняйте другим цветом, чтобы увидеть место ошибки." | Сверяют решение с эталоном, отмечают ошибки другим цветом и исправляют их. |
2 мин | Учитель предлагает самооценку: "Поставьте знак плюс напротив утверждений: я могу распознать $y=kx+b$; я умею построить график по двум точкам; я понимаю роль $k$ и $b$. Если есть минус, запишите конкретный вопрос." | Заполняют лист самооценки и формулируют индивидуальный вопрос или затруднение. |
Эталон решения
Для творческого задания: $k=(7-3)/(2-0)=2$, поэтому $b=3$ и функция имеет вид $y=2x+3$. Для проверки: при $x=0$ получаем точку $(0;3)$, при $x=2$ — точку $(2;7)$. Через эти точки проводится прямая.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что алгоритм уже работает не только в группе. Осталось связать его с реальной ситуацией и сформулировать, что именно мы сегодня открыли."
Этап 7. Межпредметное применение, рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: применить линейную функцию к практической ситуации, осмыслить результат и определить дальнейший способ работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на экране таблицу зависимости стоимости поездки от расстояния: за посадку платят 150 рублей, каждый километр стоит 25 рублей. "Составьте формулу, найдите стоимость поездки на 4 километра и объясните смысл чисел 25 и 150. Как график поможет сравнить две поездки?" | В парах записывают $y=25x+150$, вычисляют $y(4)=250$, объясняют: «25 — цена километра, 150 — начальная стоимость», связывают задачу с экономикой и информатикой. |
2 мин | Учитель организует рефлексию «Билет на выход»: "Ответьте на три вопроса: что такое линейная функция; какие два шага алгоритма нельзя пропускать; как определить направление прямой по коэффициенту $k$?" | Индивидуально отвечают на билет, затем поднимают зелёную, жёлтую или красную карточку самооценки. |
2 мин | Учитель задаёт домашнюю работу и поясняет выбор: "Обязательный уровень выполняют все. Повышающий и дополнительный выбирайте по готовности. В каждом графике подписывайте оси, единичный отрезок и координаты опорных точек." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы и отмечают выбранный уровень. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы установили, что формула линейной функции задаёт прямую, а таблица помогает построить её по точкам. Вы научились видеть в коэффициентах смысл и применять график к задаче о стоимости поездки. На следующем уроке будем сравнивать графики и решать задачи с их помощью."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно распознана линейная функция, без ошибок заполнена таблица, построены минимум две точки и прямая, правильно объяснены значения $k$ и $b$, практическая модель записана корректно.
- "4" — алгоритм выполнен верно, но допущена одна вычислительная или графическая неточность, не повлиявшая на общий вывод.
- "3" — построение выполнено частично: верно записана формула или таблица, но есть две ошибки в координатах, направлении прямой либо объяснении коэффициентов.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о функции вида $y=kx+b$? | Выявление осознания определения и признака графика. |
Какой шаг построения графика оказался самым трудным? | Выявление точек затруднения в алгоритме. |
Как коэффициенты $k$ и $b$ влияют на график? | Проверка понимания смысла параметров. |
Где линейная зависимость может встретиться в жизни или будущей профессии? | Связь учебного материала с практикой и мотивацией. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились превращать формулу линейной функции в графическую модель. Важно не соединять точки приблизительно: сначала проверяйте вычисления и координаты, затем проводите прямую. Вы увидели, что коэффициенты $k$ и $b$ несут конкретный смысл и помогают читать график. На следующем уроке мы будем сравнивать несколько линейных функций и использовать их графики для решения задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания на распознавание функций вида $y=kx+b$, вычисление значений и построение графиков по двум или трём точкам. | Закрепить определение и алгоритм; при проверке смотреть на таблицу, подписи осей и координаты точек. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на сравнение графиков функций с различными $k$ и $b$, определить возрастание или убывание и точку пересечения с осью $Oy$. | Закрепить понимание роли коэффициентов и умение читать график. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и оформить творческую задачу из реальной ситуации с линейной зависимостью, записать формулу, построить график и объяснить смысл коэффициентов. | Развивать моделирование, функциональную грамотность и умение создавать математический текст. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как выглядит формула линейной функции? Что означает коэффициент $k$? Что показывает число $b$? Сколько точек достаточно для построения прямой? Какие действия выполняются после составления таблицы?»
