Деление одночлена и многочлена на одночлен
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся научатся выполнять деление одночленов и многочленов на одночлен, применяя свойства степеней и распределительный закон деления.
- Образовательная задача: вывести и закрепить алгоритм деления многочлена на одночлен на основе работы с текстом учебника.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление и навыки самоконтроля при выполнении дифференцированных заданий.
- Воспитательная задача: способствовать формированию познавательного интереса через знакомство с историей отечественной математики (учебник Л.Ф. Магницкого).
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению и готовности к саморазвитию.
- Развитие эстетического сознания через знакомство с историческими математическими текстами.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять главное в тексте учебника, структурировать знания, устанавливать причинно-следственные связи.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение работать в паре, аргументировать свою позицию и координировать её с позицией партнёра.
Предметные
- Знать правила деления степеней с одинаковыми основаниями.
- Уметь делить одночлен на одночлен, находя частное коэффициентов и степеней переменных.
- Владеть алгоритмом деления многочлена на одночлен почленным делением.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
- Мотивация к изучению нового через исторический контекст развития символики.
Регулятивные УУД
- Сличение способа действия и его результата с заданным эталоном.
- Оценка — выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации из учебной литературы.
- Анализ объектов с целью выделения признаков (делится ли многочлен на одночлен нацело).
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с портретом Л.Ф. Магницкого и слайдом «Необычные обозначения» (стр. 112).
- Распечатать карточки для парной работы с заданиями №288 и №291 для дифференцированного подхода.
- Выписать на доску опорные формулы свойств степеней: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$, $a^n : a^m = a^{n-m}$.
- Подготовить листы самооценки для каждого ученика.
- Проверить наличие учебников на столах (Параграф 18, стр. 109).
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учащихся на работу, создать эмоциональный контакт через исторический экскурс.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, ребята! Сегодня мы продолжаем изучать мир одночленов и многочленов. Но прежде чем мы перейдем к новой теме, посмотрите на экран. Перед вами страница первого русского учебника арифметики Леонтия Магницкого, изданного в 1703 году (стр. 108). Знаете ли вы, что буквой R тогда обозначали неизвестное число, а знаком «+» — вычитание? М.В. Ломоносов называл этот учебник "вратами учёности". Сегодня мы с вами тоже пройдём через свои "врата" к новой операции — делению.» | Слушают учителя, рассматривают изображение на слайде, удивляются необычным обозначениям прошлого. Проверяют наличие учебников и тетрадей. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Как видите, математический язык менялся веками, но правила логики остались прежними. Чтобы успешно делить сегодня, нам нужно вспомнить, как мы умножали вчера.»
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить свойства степеней, необходимые для изучения новой темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Давайте проведем блиц-опрос. Откройте учебник на стр. 111, раздел "Вводные упражнения". Задание №1: запишите в виде степени частное $x^{12} : x$ и $a^{21} : a^7$. Задание №2: вычислите $-1 : \frac{2}{3}$. Работаем устно, по цепочке. Кто готов ответить первым?» Учитель фиксирует правильные ответы на доске. | Ученики устно решают примеры. Отвечают: «$x^{12} : x = x^{11}$, так как при делении показатели вычитаются»; «$a^{21} : a^7 = a^{14}$»; «$-1 : \frac{2}{3} = -\frac{3}{2}$ или $-1,5$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, свойства степеней вы помните. А теперь попробуем применить их к более сложным конструкциям.»
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: создать ситуацию затруднения, подвести к формулировке темы и цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Посмотрите на доску. Нам нужно разделить многочлен на одночлен: $(2a^2b + 4ab^2 + 8abc) : (2ab)$. Мы умеем умножать многочлен на одночлен, используя распределительный закон. Как вы думаете, можно ли применить похожую логику для деления? Какова будет тема нашего урока?» Учитель записывает тему на доске. | Ученики предполагают: «Наверное, нужно каждый член разделить на $2ab$». Формулируют тему: «Деление многочлена на одночлен». Записывают тему в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Верно. Наша цель сегодня — вывести правило и научиться быстро и безошибочно выполнять такие действия.»
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: изучение алгоритма деления через работу с текстом учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Откройте учебник на стр. 110. Найдите пункт 2 "Деление многочлена на одночлен". Прочитайте правило в рамке. Проанализируйте пример деления $(9a^3b^2 - 3a^2b^3 + a^2b^2) : (3a^2b^2)$. Почему в ответе получилось число $\frac{1}{3}$?» | Читают правило. Анализируют пример. Один ученик объясняет: «Потому что последний член $a^2b^2$ мы разделили на $3a^2b^2$, буквы сократились, осталось $1:3$». |
5 мин | «Давайте запишем алгоритм в тетрадь. Шаг 1: Разделить каждый член многочлена на одночлен. Шаг 2: Сложить полученные результаты. Важное замечание: всегда ли возможно деление? Посмотрите на пример $ab + ac$ и делитель $ab$. Что вы скажете?» | Записывают алгоритм. Отвечают: «Деление не всегда возможно нацело, если в члене многочлена нет какой-то переменной, которая есть в делителе в большей степени». Записывают пример неделимости из учебника. |
Запись в тетрадях
Правило: Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить.
Пример: $(12a + 6) : 3 = 12a:3 + 6:3 = 4a + 2$.
Пример: $(12a + 6) : 3 = 12a:3 + 6:3 = 4a + 2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Правило кажется простым, но дьявол, как говорят математики, кроется в деталях: в знаках и степенях. Проверим это на практике.»
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработка базового навыка деления одночленов и многочленов фронтально.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Решаем из учебника. №281 (1, 4) — деление одночленов. №286 (1, 3) — деление многочленов. К доске пойдут двое. Остальные работают в тетрадях. Помните о знаках: минус на минус дает плюс!» Учитель комментирует действия учеников у доски. | Ученики у доски решают: 1) $(-6x) : (2x) = -3$; 2) $12ab : (-4ab) = -3$; 3) $(12a + 6) : 3 = 4a + 2$; 4) $(14m - 8) : (-2) = -7m + 4$. Класс проверяет и задает вопросы. |
Эталон решения
№288(1): $(3a^3b - 4ab^3) : (5ab) = \frac{3a^3b}{5ab} - \frac{4ab^3}{5ab} = 0,6a^2 - 0,8b^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Базовые примеры не вызвали затруднений. Теперь поработаем в парах над более сложными задачами.»
Этап 6. Самостоятельная работа в парах с дифференциацией (8 мин)
Цель этапа: закрепление навыка в сотрудничестве, решение задач повышенной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «Работаем в парах. У вас на столах карточки. Выберите уровень сложности сами. Уровень А (Базовый): №287 (1, 2). Уровень Б (Средний): №289 (3, 4). Уровень В (Сложный): №290 (1). После выполнения обменяйтесь тетрадями с соседней парой для взаимопроверки по эталону на слайде.» | Ученики обсуждают решение в парах, выбирают уровень. Выполняют записи. Проверяют работы соседей, выставляют баллы в лист самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Я вижу, многие рискнули взять уровень В. Молодцы! Это показывает вашу уверенность в теме.»
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: подведение итогов, оценка уровня усвоения материала, постановка задач на дом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Подведем итоги. Взгляните на страницу 112. Кто первым ввел знак двоеточия для деления? Это был Готфрид Лейбниц в XVII веке. До этого математики использовали скобки или даже косую черту. Заполните "Билет на выход": напишите один пример, который вы сегодня решили сами и в котором уверены.» | Слушают историческую справку. Заполняют короткие листочки-билеты, указывая решенный пример и свое самочувствие на уроке. |
3 мин | «Запишите домашнее задание. Оно также разделено по уровням сложности. Обратите внимание на №275 — это задача на повторение, она поможет нам связать алгебру с геометрией.» | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня (А, Б или В), нет ошибок в знаках и степенях, работа оформлена аккуратно.
- «4» — выполнено более 75% заданий, допущена 1 негрубая ошибка в вычислениях или знаке.
- «3» — выполнено 50% заданий, есть ошибки в применении свойств степеней или распределительного закона.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое правило из учебника стало для тебя сегодня самым важным? | Осознание ключевого алгоритма урока. |
В чем заключалась главная трудность при делении многочлена на одночлен? | Выявление типичных ошибок (знаки, коэффициенты). |
Как знание истории математики (про Магницкого) помогло тебе настроиться на урок? | Оценка мотивационного компонента и интереса к предмету. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы освоили важный инструмент алгебры. Мы увидели, что современные удобные записи — это результат труда многих поколений ученых, от Магницкого до Лейбница. Помните, что деление многочленов — это не просто манипуляция с буквами, а строгий логический процесс. На следующем уроке мы научимся делить многочлен на многочлен "уголком", как обычные числа. Спасибо за работу, урок окончен!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | №278, №286 (2, 4) | Отработка простейшего деления одночленов и многочленов на число. |
Средний (повышающий) | №288 (2, 4), №292 | Деление многочленов на одночлен с дробными коэффициентами и нахождение значения выражения. |
Продвинутый (дополнительный) | №291 (3), №275 | Упрощение сложных выражений и решение текстовой задачи на площадь прямоугольника с использованием многочленов. |
Контрольный вопрос: «Можно ли разделить многочлен $x^2 + y$ на одночлен $x$? Почему?»