Алгебраические равенства. Формулы
Цели и задачи
- Цель: научить учащихся переводить условия практических задач на язык алгебраических формул и выполнять вычисления по ним.
- Образовательная задача: сформировать навыки записи формул чётных и нечётных чисел, а также умение выражать одну переменную через другие в простейших равенствах.
- Развивающая задача: развивать абстрактное мышление через моделирование реальных ситуаций (физика, экономика, геометрия).
- Воспитательная задача: способствовать формированию интереса к истории науки на примере деятельности Франсуа Виета.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению на основе мотивации к познанию.
- Осознание математики как универсального языка науки, связывающего разные области знаний.
- Развитие критичности мышления при анализе условий задач.
Метапредметные
- Умение создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства для решения учебных задач.
- Навыки смыслового чтения при работе с текстом учебника и выделении главного.
- Умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность в парах.
Предметные
- Знать определения алгебраического равенства и формулы.
- Уметь записывать в виде формул свойства арифметических действий и закономерности числовых рядов.
- Владеть навыком вычисления значения величины по заданной формуле при известных значениях переменных.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом.
- Оценка своих достижений на уроке.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Планирование последовательности действий при решении текстовых задач.
- Самоконтроль правильности вычислений по эталону.
Познавательные УУД
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач.
- Анализ объектов с целью выделения существенных признаков (чётность, кратность).
- Построение логической цепи рассуждений.
Коммуникативные УУД
- Умение слушать и вступать в диалог.
- Интеграция в группу сверстников и построение продуктивного взаимодействия в парах.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для парной работы с заданиями разного уровня сложности (15 комплектов).
- Подготовить презентацию с портретами ал-Хорезми и Франсуа Виета (стр. 17 учебника).
- Выписать на доску ключевые формулы из параграфа: $a = 2n$, $b = 2n - 1$.
- Подготовить листы самооценки для этапа рефлексии.
- Проверить наличие мела/маркеров и готовность проектора.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, создать интригу через исторический контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Здравствуйте, ребята! Сегодня мы начинаем изучение темы, которая превращает арифметику в настоящую алгебру. Посмотрите на экран. Перед вами Франсуа Виет. Знаете ли вы, что он был не только математиком, но и успешным юристом, советником королей и даже расшифровщиком секретной переписки? Именно он ввёл буквенную символику, которой мы пользуемся сегодня. Как вы думаете, зачем математикам понадобились буквы вместо слов?" | Слушают учителя, рассматривают портрет на стр. 17. Выдвигают предположения: "Чтобы записывать быстрее", "Чтобы решать задачи в общем виде", "Чтобы формулы были короткими". |
2 мин | "Верно! До XV века решения записывались полностью словами — это называлось 'риторической алгеброй'. Представьте, как долго было бы записывать решение задачи на три страницы текстом. Сегодня мы научимся говорить на лаконичном языке формул. Откройте тетради, запишите дату и тему урока: 'Алгебраические равенства. Формулы'." | Записывают дату и тему урока в тетради. Настраиваются на работу с учебником. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, буквы — это наши помощники в сокращении записей. Давайте вспомним, какие формулы из курса математики и геометрии нам уже знакомы."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить опорные понятия (периметр, площадь, компоненты действий) для успешного освоения новой темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Обратимся к рубрике 'Нужно вспомнить' на странице 18. Вспомните формулы площади и периметра прямоугольника. Кто может записать их на доске, используя буквы $a$ и $b$?" | Один ученик выходит к доске и записывает: $S = ab, P = 2(a + b)$. Остальные проверяют записи в учебнике. |
2 мин | "Хорошо. А теперь вспомним свойства действий. Как раскрыть скобки в выражении $a - (b + c)$? Посмотрите на равенство (1) в учебнике. Почему там стоит минус перед $c$?" | Отвечают: "Потому что мы вычитаем сумму, значит, вычитаем каждое слагаемое". Записывают свойство в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили базу. Теперь перейдём к тому, как с помощью букв записывать свойства чисел, которые мы раньше описывали только словами."
Этап 3. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: ввести понятия формул чётного и нечётного числа, разобрать структуру алгебраического равенства.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Прочитаем определение на стр. 19. Два алгебраических выражения, соединённые знаком '=', образуют алгебраическое равенство. Особое место занимают формулы. Давайте запишем формулу чётного числа. Если число делится на 2, его можно представить как $a = 2n$. Что здесь означает буква $n$?" | Читают текст учебника. Отвечают: "$n$ — это натуральное число". Записывают в тетрадь: $a = 2n$ — чётное число. |
3 мин | "А как записать нечётное число? В учебнике предложено два варианта: $b = 2n - 1$ или $b = 2k + 1$. Давайте проверим. Если $n = 1$, какое число получится по первой формуле? А по второй?" | Вычисляют: "По первой $2 \cdot 1 - 1 = 1$. По второй $2 \cdot 1 + 1 = 3$. Оба числа нечётные". |
3 мин | "Важное замечание внизу страницы 19: деление на ноль невозможно. Поэтому, когда мы видим букву в знаменателе, мы должны помнить, что она не может принимать значения, обращающие знаменатель в ноль. Посмотрите на пример 24 на стр. 21. При каких $b$ выражение $\frac{2}{a-b}$ не имеет смысла?" | Анализируют выражение: "Если $a = b$, то в знаменателе будет ноль. Значит, $a$ не должно равняться $b$". |
Запись в тетрадях
1) $a = 2n, n \in N$ — чётное число.
2) $b = 2n - 1, n \in N$ — нечётное число.
3) На 0 делить нельзя!
2) $b = 2n - 1, n \in N$ — нечётное число.
3) На 0 делить нельзя!
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы узнали, как кодировать свойства чисел буквами. Теперь попрактикуемся в составлении формул для жизненных ситуаций."
Этап 4. Первичное закрепление. Фронтальная работа (8 мин)
Цель этапа: отработать навык составления выражений и нахождения их значений по учебнику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Работаем с номером 19 на стр. 21. Читаем условие: куплено 6 папок по цене $x$ рублей и 3 пачки бумаги по цене $y$ рублей. Составьте формулу стоимости $p$ всей покупки. Кто продиктует?" | Ученик с места: "$p = 6x + 3y$". Все записывают в тетрадь. |
4 мин | "Теперь номер 22. В кинотеатре $m$ рядов по $n$ мест и ещё $k$ откидных мест. Составьте выражение для общего количества мест и вычислите его при $m = 30, n = 25, k = 60$." | Один ученик у доски: "Выражение: $mn + k$. Подставляем: $30 \cdot 25 + 60 = 750 + 60 = 810$". Класс сверяет решение. |
Эталон решения (№22)
$N = m \cdot n + k$
При $m=30, n=25, k=60$:
$N = 30 \cdot 25 + 60 = 750 + 60 = 810$ (мест).
При $m=30, n=25, k=60$:
$N = 30 \cdot 25 + 60 = 750 + 60 = 810$ (мест).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справились с фронтальной работой. Теперь проверим, как вы сможете договориться и решить задачи в парах."
Этап 5. Практическая работа в парах (10 мин)
Цель этапа: дифференцированное закрепление материала, развитие коммуникативных навыков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Ребята, сейчас вы будете работать в парах. У вас на столах карточки с тремя уровнями сложности. Выберите тот уровень, который вам по силам, или попробуйте решить всё. На работу 7 минут." | Распределяют роли в паре, выбирают уровень сложности. |
7 мин | Учитель обходит класс, консультирует пары. "Обратите внимание на задачу 29 — там нужно выразить одну букву через другие. Это как в физике, когда мы ищем время, зная путь и скорость." | Работают в парах. Уровень А: №1, 2 (стр. 20). Уровень Б: №23, 26 (стр. 21). Уровень В: №29 (выразить переменные). |
2 мин | "Время вышло. Посмотрите на слайд с ответами и проведите самопроверку. Если у вас возник спор с напарником — поднимите руку." | Сверяют ответы с эталоном на экране. Обсуждают ошибки. |
Эталон для самопроверки (Уровень В, №29)
1) $C = 2\pi R \Rightarrow R = \frac{C}{2\pi}$
2) $s = vt + l \Rightarrow v = \frac{s - l}{t}$
3) $V = \frac{m}{\rho} \Rightarrow \rho = \frac{m}{V}$
2) $s = vt + l \Rightarrow v = \frac{s - l}{t}$
3) $V = \frac{m}{\rho} \Rightarrow \rho = \frac{m}{V}$
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Работа в парах показала, что вы умеете применять формулы. А теперь — немного межпредметной магии на стыке геометрии и алгебры."
Этап 6. Межпредметные связи и обобщение (5 мин)
Цель этапа: показать связь алгебры с геометрией и историей через 'фигурные числа'.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Заглянем на страницу 22, рубрика 'Геометрия помогает алгебре'. Древние греки представляли числа в виде камешков, выложенных в фигуры. Посмотрите на квадратные числа. Какая формула позволяет найти количество камешков в $n$-м квадрате?" | Изучают рисунок на стр. 22. Отвечают: "Формула $N = n^2$". Проверяют для третьего квадрата: $3^2 = 9$. |
2 мин | "А теперь посмотрите на треугольные числа. Формула там сложнее: $N = \frac{n(n+1)}{2}$. Посчитайте, сколько камешков будет в 4-м треугольнике?" | Считают по формуле: "$\frac{4 \cdot (4+1)}{2} = \frac{20}{2} = 10$". Сверяют с рисунком в учебнике. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Как видите, алгебраическая формула может описать даже расположение камней на песке. Это и есть универсальность математики."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: подвести итоги, оценить уровень понимания и дать инструкции по самоподготовке.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1.5 мин | "Ребята, заполните, пожалуйста, короткий лист самооценки. Что сегодня было самым трудным? Составление формулы или вычисления?" | Заполняют листки, отмечая галочками свои успехи и затруднения. |
1.5 мин | "Домашнее задание на доске. Обратите внимание на задачу №30 — она потребует от вас умения работать с процентами. Всем спасибо за работу!" | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены задания выбранного уровня, нет ошибок в вычислениях, формулы записаны корректно, работа в паре была продуктивной.
- "4" — допущены 1-2 негрубые ошибки в вычислениях при верно составленных формулах или выполнено более 70% заданий.
- "3" — верно составлены только самые простые формулы (уровень А), допущены ошибки в логике решения задач с переменными.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую формулу сегодня было легче всего запомнить? | Выявление наиболее усвоенного материала (обычно чётные числа). |
В чём разница между просто равенством и формулой? | Проверка понимания функциональной зависимости величин. |
Где в жизни нам может пригодиться умение выражать одну величину из формулы? | Осознание практической значимости (физика, бытовые расчёты). |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы сделали важный шаг — перешли от чисел к буквам. Мы узнали, что Франсуа Виет не просто придумал символы, а подарил нам мощный инструмент для решения задач любой сложности. Если сегодня вам было трудно составлять формулы — не переживайте, это навык, который мы будем оттачивать на каждом уроке. На следующем занятии мы научимся преобразовывать эти выражения. До свидания!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | стр. 20, №1, 2; стр. 21, №21 | Найти значения выражений и составить формулу массы зерна. Отработка базовых вычислений. |
Средний (повышающий) | стр. 21, №25, 27 | Найти порядковые номера чисел и составить формулу скорости. Требует логического анализа. |
Продвинутый (дополнительный) | стр. 22, №30 | Задача про посадку деревьев с использованием процентов. Развитие функциональной грамотности. |
Контрольный вопрос: "Как изменится формула чётного числа $a = 2n$, если мы захотим записать число, кратное пяти?"