Признаки равенства треугольников

1 БАЛЛ

1. Определение равных треугольников

Выберите верное утверждение, определяющее равенство двух геометрических фигур (треугольников).

• Два треугольника называются равными, если у них равны радиусы описанных окружностей.
• Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.
• Треугольники называются равными, если их площади численно совпадают.
• Треугольники равны, если сумма их углов составляет $180^{\circ }$.

1 БАЛЛ

2. Недостающий элемент (СУС)

В треугольниках $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ известно, что $BC=B_1{C}_1$ и $AC=A_1{C}_1$. Какое равенство углов необходимо добавить, чтобы треугольники были равны по первому признаку?

1 БАЛЛ

3. Недостающий элемент (УСУ)

В треугольниках $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ известно, что $\angle B=\angle B_1$ и $\angle C=\angle C_1$. Какое равенство сторон должно выполняться для доказательства их равенства по второму признаку?

1 БАЛЛ

4. Недостающий элемент (ССС)

В треугольниках $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ известно, что $AC=A_1{C}_1$ и $BC=B_1{C}_1$. Какое третье равенство сторон докажет их равенство по третьему признаку?

1 БАЛЛ

5. Верно или неверно?

Оцените истинность следующих геометрических утверждений.

1. Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого, то такие треугольники всегда равны.ИстинаЛожь
2. В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы.ИстинаЛожь
3. Если два треугольника имеют одинаковый периметр, то они обязательно равны.ИстинаЛожь

2 БАЛЛА

6. Доказательство через общую сторону

На рисунке отрезки $MN=NK$ и $MP=PK$. Докажите, что $△MNP=△KNP$.

2 БАЛЛА

7. Вертикальные углы

Отрезки $XY$ и $ZW$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой отрезка $XY$. Известно, что $\angle OXZ=\angle OYW$. Докажите равенство треугольников $XOZ$ и $YOW$.

2 БАЛЛА

8. Признаки в таблице

Заполните пропущенные элементы в таблице признаков равенства для треугольников $XYZ$ и $MNS$.

2 БАЛЛА

9. Равенство в четырехугольнике

В четырехугольнике $MNPQ$ стороны $MN=PQ$ и $NP=MQ$. Докажите, что $△MNP=△PQM$.

2 БАЛЛА

10. Классификация элементов

Распределите формулировки условий по соответствующим признакам равенства треугольников.

Слова для распределения: Сторона и два прилежащих к ней угла, Три стороны, Две стороны и угол между ними

3 БАЛЛА

11. Медианы равных треугольников

Докажите, что в равных треугольниках $XYZ$ и $X_1{Y}_1{Z}_1$ медианы $XM$ и $X_1{M}_1$, проведенные к равным сторонам $YZ$ и $Y_1{Z}_1$, равны.

3 БАЛЛА

12. Общее основание

Треугольники $XZY$ и $XWY$ имеют общее основание $XY$ и лежат по одну сторону от него. Известно, что $XZ=YW$ и $XW=YZ$. Докажите, что $\angle XZY=\angle XWY$.

3 БАЛЛА

13. Цепочка доказательства

Расположите этапы доказательства равенства треугольников в логическом порядке для случая, когда даны равная сторона и два прилежащих к ней угла.

1. Записать равенство соответствующих элементов треугольников как следствие.
2. Указать равенство первой пары прилежащих углов.
3. Указать равенство второй пары прилежащих углов.
4. Указать равенство сторон треугольников по условию.
5. Сделать вывод о равенстве треугольников по второму признаку.

4 БАЛЛА

14. Биссектриса в равнобедренном треугольнике

В треугольнике $PQR$ сторона $PQ=PR$, а $PS$ — биссектриса угла $P$. Докажите, что $QS=RS$ и $PS\perp QR$.

5 БАЛЛОВ

15. Точка на биссектрисе угла

На сторонах угла с вершиной $A$ отмечены точки $B$ и $C$ так, что $AB=AC$. Точка $K$ лежит на биссектрисе этого угла. Докажите, что $KB=KC$.