Рабочий лист на тему:

Логарифмические уравнения, неравенства и выражения

Алгебра11 класс26 заданий

Истина / ЛожьСоединениеТаблицаРеши задачуРеши примерыКраткий ответМножественный выбор

Типы заданий

Истина / ЛожьСоединениеТаблицаРеши задачуРеши примерыКраткий ответМножественный выбор

11 класс · средний

Ф.И.
Класс

Сегодня мы закрепим навыки работы с логарифмами. Нам предстоит преобразовывать выражения, решать уравнения с учётом ОДЗ и не забывать про смену знака в неравенствах.

№1 · ТЕОРИЯ

3 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

1. Логические основы и равносильность

Проанализируйте утверждения о логарифмических преобразованиях. Учитывайте тонкие нюансы ОДЗ и монотонности функций.

Область определения функции $y = lo g_{3} (x - 1) + lo g_{3} (x - 2)$ совпадает с областью определения функции $y = lo g_{3} ((x - 1) (x - 2))$ .
Равенство $lo g_{a} (x^{2}) = 2 lo g_{a} x$ является тождеством для любого действительного $x \neq = 0$ из области определения левой части.
При $a > 1$ неравенство $lo g_{a} f (x) < lo g_{a} g (x)$ равносильно системе $0 < f (x) < g (x)$ .

№2 · СООТВЕТСТВИЕ

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

2. Тождественные преобразования и ОДЗ

Установите соответствие между логарифмическим выражением и его эквивалентным видом, учитывающим область допустимых значений.

№3 · ФУНКЦИЯ

3 СТРОКИ · 3 БАЛЛА

3. Анализ логарифмических уравнений и неравенств

Решите предложенные задачи, учитывая область допустимых значений (ОДЗ) и свойства монотонности логарифмической функции. Заполните пустые ячейки таблицы.

Уравнение / Неравенство	ОДЗ (ограничения)	Ответ (корни или интервалы)
$lo g_{x} (x^{2} - 2) = lo g_{x} x$
$lo g_{0, 5} (x^{2} - 3 x) \geq - 2$
$lo g_{x} 3 \cdot lo g_{3 x} 3 = lo g_{9 x} 3$

№4 · НЕРАВЕНСТВА

ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ · 3 БАЛЛА

4. Логарифмическое неравенство с убывающим основанием

Решите неравенство $lo g_{0, 2} (x^{2} - 7 x + 12) \geq lo g_{0, 2} (x - 3) - 1$ . Обоснуйте переход к алгебраическому неравенству и запишите ответ в виде промежутка.

№5 · УРАВНЕНИЯ

ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ · 3 БАЛЛА

5. Логарифмические уравнения с заменой переменной

Решите уравнение $lo g_{3}^{2} (3 x) + lo g_{3} (\frac{x ^{2}}{9}) = 11$ . В ответе запишите найденные корни через точку с запятой в порядке возрастания.

№6 · ВЫЧИСЛЕНИЯ

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 3 БАЛЛА

6. Преобразование логарифмических выражений

Найдите значения выражений, используя свойства логарифмов, формулу перехода к новому основанию и основное логарифмическое тождество.

\frac{l o g _{2} 12}{l o g _{24} 2} - \frac{l o g _{2} 3}{l o g _{96} 2}

4 9^{l o g_{7} 5 + 0, 5}

5^{\frac{1}{l o g _{3} 5}} + lo g_{2} \frac{1}{8}

lo g_{2} lo g_{3} 481

№7 · ПЕРЕМЕННОЕ ОСНОВАНИЕ

1 НЕРАВЕНСТВО · 3 БАЛЛА

7. Логарифмическое неравенство с переменным основанием

Решите неравенство $lo g_{x + 2} (x^{2} - 2 x) \leq lo g_{x + 2} (4 - x)$ . Используйте метод рационализации и учтите ОДЗ.

Заготовка для метода интервалов

№8 · СЛОЖНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

6 ПРИМЕРОВ · 6 БАЛЛОВ

8. Преобразование логарифмических выражений (уровень ЕГЭ)

Вычислите значения выражений. Ответ запишите в виде целого числа или десятичной дроби.

lo g_{3} 2 \cdot lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 9

8 1^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} l o g_{9} 2} \cdot 3 6^{l o g_{6} 2}

lo g_{2} 0, 5 \cdot lo g_{0, 2} 25

2 5^{l o g_{5} 4} + 1 0^{1 - l g 5}

9^{l o g_{81} 16} + lo g_{3} 33

\frac{l o g _{3} 12}{l o g _{36} 3} - \frac{l o g _{3} 108}{l o g _{4} 3}

№9 · СВОЙСТВА

1 УРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

9. Логарифмирование обеих частей

Найдите произведение корней уравнения $x^{l o g_{3} x} = 9 x$ . Если корень один, запишите его в ответ.

№10 · НЕРАВЕНСТВА

ВЫБОР ОТВЕТА · 3 БАЛЛА

10. Логарифмическое неравенство с анализом ОДЗ

Укажите множество решений неравенства $lo g_{5} (x^{2} - 4 x) \leq lo g_{5} (3 x - 10)$ . Будьте внимательны при пересечении условий области допустимых значений.

$(4; + \infty)$
$[2; 5]$
$(4; 5]$
$(3, 33; 5]$

№11 · ГРАФИК

АНАЛИЗ ГРАФИКА · 3 БАЛЛА

11. Восстановление параметров функции по графику

На рисунке изображён график функции $f (x) = b + lo g_{a} (x + c)$ . Найдите значение $f (13)$ .

График функции $f (x) = b + lo g_{a} (x + c)$

№12 · УРАВНЕНИЯ

3 ШАГА · 2 БАЛЛА

12. Уравнение с переменным основанием

Укажите множество всех действительных корней уравнения $lo g_{x} (3 x^{2} - 10 x + 8) = 2$ .

1
Корней нет
4
1; 4

№13 · ПРИКЛАДНАЯ ЗАДАЧА

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

13. Логарифмы в физических процессах

При медленном опускании на дно водолазного колокола работа воды вычисляется по формуле $A = α ν T lo g_{2} \frac{p _{2}}{p _{1}}$ , где $α = 5, 75$ Дж/(моль $\cdot$ К), $ν = 3$ моля, $T = 200$ К, $p_{1} = 2$ атм. Найдите давление $p_{2}$ (в атм), если совершена работа $A = 6900$ Дж.

№1 · ВЫЧИСЛЕНИЯ

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 3 БАЛЛА

1. Преобразование логарифмических выражений

lo g_{2} lo g_{2} 42

2 5^{l o g_{5} 6 + 0, 5}

\frac{l o g _{3} 18}{l o g _{54} 3} - \frac{l o g _{3} 2}{l o g _{486} 3}

7^{\frac{1}{l o g _{2} 7}} + lo g_{3} \frac{1}{9}

+13 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№2 · СВОЙСТВА

1 УРАВНЕНИЕ · 3 БАЛЛА

2. Логарифмирование обеих частей

Найдите произведение корней уравнения $x^{l o g_{2} x} = 4 x$ . Если корень один, запишите его в ответ.

№3 · УРАВНЕНИЯ

3 ШАГА · 2 БАЛЛА

3. Уравнение с переменным основанием

Укажите множество всех действительных корней уравнения $lo g_{x} (2 x^{2} - 5 x + 4) = 2$ .

4
1
1; 4
Корней нет

№4 · УРАВНЕНИЯ

ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ · 3 БАЛЛА

4. Логарифмические уравнения с заменой переменной

Решите уравнение $lo g_{2}^{2} (4 x) + lo g_{2} (\frac{x ^{2}}{8}) = 8$ . В ответе запишите найденные корни через точку с запятой в порядке возрастания.

№5 · НЕРАВЕНСТВА

ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ · 3 БАЛЛА

5. Логарифмическое неравенство с убывающим основанием

Решите неравенство $lo g_{0, 1} (x^{2} - 5 x + 6) \geq lo g_{0, 1} (x - 2) - 1$ . Обоснуйте переход к алгебраическому неравенству и запишите ответ в виде промежутка.

№6 · НЕРАВЕНСТВА

ВЫБОР ОТВЕТА · 3 БАЛЛА

6. Логарифмическое неравенство с анализом ОДЗ

Укажите множество решений неравенства $lo g_{3} (x^{2} - 3 x) \leq lo g_{3} (2 x - 4)$ . Будьте внимательны при пересечении условий области допустимых значений.

$(3; 4]$
$[1; 4]$
$(2; 4]$
$(3; + \infty)$

№7 · ТЕОРИЯ

3 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

7. Логические основы и равносильность

Уравнение $2 lo g_{x} f (y) = lo g_{x} (f (y))^{2}$ является тождеством на всей области определения функции $y = lo g_{x} (f (y))^{2}$ .
При любом $0 < a < 1$ неравенство $lo g_{a} f (x) \leq lo g_{a} g (x)$ равносильно системе условий $f (x) \geq g (x) > 0$ .
Переход от уравнения $lo g_{3} f (x) + lo g_{3} g (x) = 1$ к уравнению $f (x) \cdot g (x) = 3$ является равносильным преобразованием на множестве всех действительных чисел.

№8 · ФУНКЦИЯ

3 СТРОКИ · 3 БАЛЛА

8. Анализ логарифмических уравнений и неравенств

Уравнение / Неравенство	ОДЗ (ограничения)	Ответ (корни или интервалы)
$lo g_{x - 1} (x^{2} - 4) = lo g_{x - 1} (3 x)$
$lo g_{0, 5} (x^{2} - 5 x + 6) \geq - 1$
$lo g_{x} 2 \cdot lo g_{2 x} 2 = lo g_{4 x} 2$

№9 · СООТВЕТСТВИЕ

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

9. Тождественные преобразования и ОДЗ

Установите соответствие между логарифмическим выражением и его эквивалентным видом, учитывающим область допустимых значений и чётность степеней.

№10 · ГРАФИК

АНАЛИЗ ГРАФИКА · 3 БАЛЛА

10. Восстановление параметров функции по графику

На рисунке изображён график функции $f (x) = b + lo g_{a} (x + c)$ , где $a, b, c$ — постоянные коэффициенты. Найдите значение $f (14)$ .

График функции $f (x) = b + lo g_{a} (x + c)$

№11 · СЛОЖНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

6 ПРИМЕРОВ · 6 БАЛЛОВ

11. Преобразование логарифмических выражений (уровень ЕГЭ)

Вычислите значения выражений, применяя свойства логарифмов, правила перехода к новому основанию и основное логарифмическое тождество. Ответ запишите в виде целого числа или десятичной дроби.

3 6^{l o g_{6} 5} + 1 0^{1 - l g 2}

\frac{l o g _{2} 24}{l o g _{48} 2} - \frac{l o g _{2} 192}{l o g _{6} 2}

lo g_{5} 0, 2 \cdot lo g_{0, 5} 4

7^{l o g_{49} 4} + lo g_{2} 22

lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4 \cdot lo g_{4} 5 \cdot lo g_{5} 16

8 1^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} l o g_{9} 4} \cdot 4 9^{l o g_{7} 2}

№12 · ПРИКЛАДНАЯ ЗАДАЧА

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

12. Логарифмы в физических процессах

При медленном опускании на дно водолазного колокола работа, совершаемая водой при сжатии воздуха в нём, вычисляется по формуле $A = α ν T lo g_{2} \frac{p _{2}}{p _{1}}$ , где $α = 5, 75$ Дж/(моль $\cdot$ К) — постоянная, $ν = 2$ моля — количество воздуха, $T = 300$ К — температура, $p_{1} = 1, 5$ атм — начальное давление. Найдите, какое давление $p_{2}$ (в атм) будет внутри колокола, если при погружении была совершена работа $A = 10350$ Дж.

№13 · ПЕРЕМЕННОЕ ОСНОВАНИЕ

1 НЕРАВЕНСТВО · 3 БАЛЛА

13. Логарифмическое неравенство с переменным основанием

Решите неравенство $lo g_{x + 3} (x^{2} - x) \leq lo g_{x + 3} (3 - x)$ . При решении используйте метод рационализации и обязательно учтите область допустимых значений (ОДЗ). На координатной прямой ниже приведены ключевые точки для удобства работы.

Заготовка для метода интервалов

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Типы заданий

Истина / ЛожьСоединениеТаблицаРеши задачуРеши примерыКраткий ответМножественный выбор

Создайте дополнительно

Другие темы по алгебре для 11 класса

Производная и её применение Система и совокупность уравнений и неравенств Примеры тригонометрических неравенств Решение матричных уравнений третьего порядка Системы и совокупность уравнений и неравенств: задания из ЕГЭ Комбинированные преобразования Переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы Отбор корней тригонометрического уравнения Преобразование выражений, содержащих логарифмы Производная суммы, произведения, частного функций Непрерывные функции; Метод интервалов для решения неравенств; Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы; Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на Производные элементарных функций; Производная суммы, произведения, частного функций

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Логарифмические уравнения и неравенства, преобразование выражений, содержащих логарифмы, логарифм числа»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 26 заданий: истина / Ложь, соединение, таблица, реши задачу, реши примеры, краткий ответ, множественный выбор.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по алгебре для 11 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Логарифмические уравнения, неравенства и выражения

Типы заданий

1. Логические основы и равносильность

2. Тождественные преобразования и ОДЗ

3. Анализ логарифмических уравнений и неравенств

4. Логарифмическое неравенство с убывающим основанием

5. Логарифмические уравнения с заменой переменной

6. Преобразование логарифмических выражений

7. Логарифмическое неравенство с переменным основанием

8. Преобразование логарифмических выражений (уровень ЕГЭ)

9. Логарифмирование обеих частей

10. Логарифмическое неравенство с анализом ОДЗ

11. Восстановление параметров функции по графику

12. Уравнение с переменным основанием

13. Логарифмы в физических процессах

1. Преобразование логарифмических выражений

2. Логарифмирование обеих частей

3. Уравнение с переменным основанием

4. Логарифмические уравнения с заменой переменной

5. Логарифмическое неравенство с убывающим основанием

6. Логарифмическое неравенство с анализом ОДЗ

7. Логические основы и равносильность

8. Анализ логарифмических уравнений и неравенств

9. Тождественные преобразования и ОДЗ

10. Восстановление параметров функции по графику

11. Преобразование логарифмических выражений (уровень ЕГЭ)

12. Логарифмы в физических процессах

13. Логарифмическое неравенство с переменным основанием

Похожие рабочие листы

Производная и её применение

Система и совокупность уравнений и неравенств

Примеры тригонометрических неравенств

Другие темы по алгебре для 11 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы