Геометрический смысл производной

1 БАЛЛ

1. Найди лишнее значение

Среди предложенных характеристик касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$, где $f^{\prime }(x_0)=-1$, найдите ту, которая противоречит условию.

1. Угловой коэффициент касательной $k=-1$
2. Угол наклона касательной к оси $Ox$ равен $135^{\circ }$
3. $\tan \alpha =-1$, где $\alpha$ — угол наклона
4. Касательная параллельна прямой $y=x+10$

1 БАЛЛ

2. Геометрический смысл

Выберите верное утверждение, раскрывающее геометрический смысл производной функции в точке касания.

• Производная в точке определяет ординату точки пересечения касательной с осью $Oy$.
• Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.
• Производная в точке равна расстоянию от начала координат до точки касания.
• Производная функции в точке всегда совпадает со значением самой функции.

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

3. Истинность суждений о касательной

Определите истинность следующих математических утверждений о производной и касательной.

1. Если $f^{\prime }(x_0)<0$, то касательная в точке $x_0$ образует тупой угол с положительным направлением оси $Ox$.ИстинаЛожь
2. Если касательная параллельна оси абсцисс, то производная функции в этой точке равна $1$.ИстинаЛожь
3. Производная функции $y=\sin (x^3)$ равна $3x^2\cos (x^3)$.ИстинаЛожь
4. Уравнение касательной к графику $y=f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$.ИстинаЛожь

2 БАЛЛА

4. Уравнение касательной

Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x)=(2x+1{)}^2$ в точке с абсциссой $x_0=0$.

2 БАЛЛА

5. Поиск лишнего наклона

Вычислите значения производных функций в точке $x_0=0$. Найдите функцию, угловой коэффициент касательной к которой в данной точке отличается от остальных.

1. $f(x)=3x^2+x$
2. $f(x)=3\sin x$
3. $f(x)=\ln (3x+1)$
4. $f(x)=e^{3x}$

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 3 БАЛЛА

6. Многослойные сложные функции

Найдите производные указанных функций, применяя правило дифференцирования сложной функции последовательно.

1 БАЛЛ

1. Найди лишнее значение

Дана функция $f(x)$, для которой значение производной в точке $x_0$ равно $\sqrt{3}$. Выберите характеристику касательной, которая противоречит этому условию.

1. Угловой коэффициент касательной $k=\sqrt{3}$
2. Угол наклона касательной к положительному направлению оси $Ox$ равен $60^{\circ }$
3. $\tan \alpha =\sqrt{3}$, где $\alpha$ — угол наклона
4. Касательная параллельна прямой $y=-\sqrt{3}x+1$

1 БАЛЛ

2. Геометрический смысл

Какое из следующих утверждений корректно описывает геометрический смысл производной в точке $x_0$?

• Производная равна площади под графиком функции на отрезке от $0$ до $x_0$.
• Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
• Производная равна значению аргумента, при котором функция обращается в нуль.
• Производная равна расстоянию от начала координат до точки касания.

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

3. Истинность суждений о касательной

Проанализируйте утверждения и укажите, являются ли они верными или ложными.

1. Если $f^{\prime }(x_0)<0$, то касательная к графику в этой точке образует тупой угол с положительным направлением оси $Ox$.ИстинаЛожь
2. Уравнение касательной в точке $x_0$ можно записать как $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$.ИстинаЛожь
3. Если $f^{\prime }(x_0)=0$, то касательная к графику функции в этой точке строго параллельна оси $Oy$.ИстинаЛожь
4. Производная функции $y=\sin (x^3)$ вычисляется по формуле $3x^2\cos (x^3)$.ИстинаЛожь

2 БАЛЛА

4. Уравнение касательной

Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x)=(3x-2{)}^4$ в точке с абсциссой $x_0=1$.

2 БАЛЛА

5. Поиск лишнего наклона

Вычислите угловые коэффициенты касательных для каждой функции в точке $x_0=0$. Укажите функцию, угловой коэффициент которой отличается от остальных.

1. $f(x)=x^2+3x$ в $x_0=0$
2. $f(x)=3\tan x$ в $x_0=0$
3. $f(x)=e^{3x}$ в $x_0=0$
4. $f(x)=\sqrt{2x+1}$ в $x_0=0$

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 3 БАЛЛА

6. Многослойные сложные функции

Вычислите производные представленных функций, последовательно применяя правило цепочки (chain rule).